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1、中考数学特殊三角形（2）复习教案中考数学三角形二复习 初三第一轮复习第26课时：三角形（二）【学问梳理】1全等三角形:、的三角形叫全等三角形.2.三角形全等的判定方法有:、.直角三角形全等的判定除以上的方法还有.3.全等三角形的性质：全等三角形，.4.全等三角形的面积、周长、对应高、相等.【课前预习】1、如图，四边形ABCD是平行四边形，E是CD延长线上的随意一点，连接BE交AD于点O，假如ABODEO，则须要添加的条件是（图中不能添加任何点或线）2、如图，已知1=2=90，AD=AE，那么图中有对全等三角形3、如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分BAC，EFAC交AC于点F.图中与线
2、段BE相等的多有线段是.4、如图所示ABC中，BD为ABC的平分线，DEAB于E，且DE2，AB9，BC6，则ABC的面积为.5、如图所示P是AOB的平分线上的一点，PCAO于C，PDOB于D，写出图中一组相等的线段【解题指导】例1如图11-113所示，BD，CE分别是ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延线上，BPAC，点Q在CE上，CQAB（1）求证APAQ；（2）求证APAQ例2如图所示，已知四边形纸片ABCD中，ADBC，将ABC，DAB分别对折，假如两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上的F处，你能获得哪些结论?例3如图所示，在ABD和ACE中，有下列四个论断：A
3、BAC；ADAE；BC；BDCE请以其中三个论断作为条件余下一个作为结论，写出一个正确的数学命题（用序号的形式写出）：例4两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连结DC（1）请找出图2中的全等三角形，并赐予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明： 【巩固练习】1、如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是.2、如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，ABDE，BF=CE，请添加一个适当的条件，使得AC=DF3、已知ABC中，AB=
4、BCAC，作与ABC只有一条公共边，且与ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出个.4、如图，四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=. 5、已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC=DC，CF平分BCD，DFAB，BF的延长线交DC于点E求证：（1）BFCDFC；（2）AD=DE 【课后作业】班级姓名一、必做题:1如图1所示，在ABC中，CD是ACB的平分线，A80ACB60，那么BDC等于图1图2图3图42如图2所示，EF90，BC，AEAF，则下列结论：EMFN；CDDN；FANEAM；CANBAM其中正确的有.3已知
5、如图3所示的两个三角形全等，则a的度数是4如图4所示,在等腰梯形ABCD中,ABDC,AC，BD交于点O，则图中全等三角形共有对.5如图5所示，在RtABC中，A90，BD平分ABC，交AC于点D，且AD3，则点D到BC的距离是.图5图6图7图86如图6所示，尺规作图作AOB的平分线的方法如下：以O为圆心，随意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP连接CP，DP，由作法得OCPODP的依据是.7如图7所示，已知CDAB，若运用“SAS”判定ADCCBA，从图中可以得到的条件是，须要补充的干脆条件是8如图8所示，已知BFAC，D
6、EAC，垂足分别为F，E，且BFDE，又AECF，则AB与CD的位置关系是9如图所示，已知点B，E，C，F在同一条直线上，ABDE，AD，ACDF（1）求证ABCDEF；（2）求证BECF 10如图所示，在ABC中，ACB90，ACBCCEBE，CE与AB相交于点F，ADCF于点D，且AD平分FAC请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明 二、选做题11如图9所示，在RtABC中，ABAC，ADBC，垂足为DE，F分别是CD，AD上的点，且CEAF假如AED62，那么DBF等于（）12如图10，RtABC中，C90，BAC60，AC2按以下步骤作图：以A为圆心，以小于AC长为半径画弧
7、，分别交AC，AB于点E，D；分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP交BC于点F那么：（1）AB的长等于；（2）CAF13如图11所示，DAAB，EAAC，ABAD，ACAE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，则DOE的度数是图9图10图1114如图所示在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED（1）求证BECDEC；（2）延长BE交AD于F，当BED120时，求EFD的度数 15（1）如图所示，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B，C）上随意一点，P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN90，求证AMMN下面给出一
8、种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AEMC，连接ME在正方形ABCD中，BBCD90NMC180AMNAMB180BAMBMAB下面请你完成余下的证明过程（在同一三角形中，等边对等角） （2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图所示），N是ACP的平分线上一点，则当AMN60时，结论AMMN是否还成立?请说明理由 （3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN时，结论AMMN仍旧成立（干脆写出答案，不须要证明） 相像三角形（2）中考复习教案 教学重点：留意数形结合、分类探讨以及转化的
9、思索方法。 教学过程：例题分析 例1如图，将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子，假设图形中的全部点、线都在同一平面内，回答下列问题： （1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来； （2）图中有相像（不包括全等）三角形吗？假如有，把它们一一写出来。 例2如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=3cm，BC=7cm，B=60，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连结AP，过P点作PE交DC于E，使得APE=B(1)求证：ABPPCE；(2)求等腰梯形的腰AB的长； (3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？假如存在，求BP的长；假如不存在，请说明理由 例3已知：
10、如图，BC为半圆O的直径，ADBC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE. 求证：（1）AB=AF； （2）AHBC=2ABBE. 例4如图矩形ABCD的边长AB=2，AD=3，点D在直线上，AB在x轴上。 （1）求矩形ABCD四个顶点的坐标； （2）设直线与y轴的交点为E，M（x，0）为x轴上的一点（x0），若EOMCBM，求点M的坐标； （3）设点P沿y轴在原点O（0，0），与H（0，-6）点之间移动，问过P、A、B三点的抛物线的顶点是否在此矩形的内部，请说名理由。 例5已知如图，ABC的内接矩形EFGH的一边在BC上，高AD=16，BC
11、=48。 （1）若EF：FH=5：9，求矩形EFGH的面积； （2）设EH=x，矩形EFGH的面积为y，写出y与x的函数关系式； （3）按题设要求得到的多数多个矩形中，是否能够找到两个不同的矩形，使它们的面积之和等于ABC的面积？若能找到，请你求出它们的边长EH，若找不到，请你说明理由。 例6如图（1），ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，EFBD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求证明），若将图中的垂直改为斜交，如图（2），ABCD，AD，BC，相交于点E，过E作EFAB，交BD于F，则： （1）还成立吗？假如成立，请给出证明；假如不成立，请说明理由； （2）若AB、C
12、D是方程的两根，设EF为y，求y与m之间的关系式及m的取值范围。 （3）请给出，间的关系式，并给出证明。 例7.如图1，已知AB是O的直径，AB垂直于弦CD，垂足为M，弦AE与CD交于F，则有结论AD2=AEAF成立(不要求证明) (1)若将弦CD向下平移至与O相切于B点时，如图2，则AEAF是否等于AG2?假如不相等，请探求AEAF等于哪两条线段的积?并给出证明 (2)当CD接着向下平移至与O相离时，如图3，在(1)中探求的结论是否还成立，并说明理由 二同步检测 1在梯形ABCD中ADBC,AC与BD交于点O，假如AD:BC=1:3，下列结论正确（） A.B.C.D. 2已知一个梯形被一条对
13、角线分成两个相像三角形，假如两腰的比为1：4，那么两底的比为（） A.1:2B.1:4C.1:8D:1:16 3一油桶高0.8m，桶内未盛满油，一根木棒长1m，从桶该小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为_m。 4如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，APC的平分线交AB于点D，交AC于点E，求证：(1)AD=AE；(2)ABAE=ACDB 5已知如图，矩形ABCD中，CHBD于点H，P为AD上的一个动点（点P与点A、D不重合），CP与BD交于点E，若CH=60/13，DH：CD=5：13，设AP=x，四边形ABEP的面积为y
14、。 （1）求BD的长； （2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当四边形ABEP的面积是PED面积的5倍时，连接PB，推断PAB与PDC是否相像？假如相像，求出相像比；假如不相像，请说明理由。 6如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，FEEC交AB于F，连接FC（ABAE）。 （1）AEF与EFC是否相像？若相像，证明你的结论；若不相像，请说明理由。 （2）设，是否存在这样的k值，使得AEFBCF？若存在，证明你的结论并求出k值；若不存在，请说明理由。 7如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BFBP，垂足是B。请在射线BF上找一点M，使以点B、M
15、、C为顶点的三角形与ABP相像（请留意：全等三角形是相像图形的特例）。 8如图，在ABC中，点E、F在BC边上，点D、G分别在AB、AC上，四边形DEFG是矩形，若矩形DEFG的面积与ADG的面积相等，设ABC的BC边上的高AH与DG相交于点K。求的值。 9如图，正ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P。 （1）求证：DP=PE； （2）若D为AC的中点，求BP的长。 10如图，直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，对角线ACBD，垂足为E， AD=BD，过点E作EFAB交AD于F。 求证：（1）AF=BE； （2） 中考数学三角形专题总
16、复习 中考数学总复习专题基础学问回顾四三角形 一、单元学问网络： 二、考试目标要求： 1了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出随意三角形的角平分线、中线 和高，了解三角形的稳定性. 2探究并驾驭三角形中位线的性质. 3了解全等三角形的概念，探究并驾驭两个三角形全等的条件. 4了解等腰三角形的有关概念，探究并驾驭等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件； 了解等边三角形的概念并探究其性质. 5了解直角三角形的概念，探究并驾驭直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件. 6体验勾股定理的探究过程，会运用勾股定理解决简洁问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 三、
17、学问考点梳理 学问点一、三角形的概念及其性质 1三角形的概念 由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2三角形的分类 (1)按边分类： (2)按角分类： 3三角形的内角和外角 (1)三角形的内角和等于180. (2)三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻 的内角. 4三角形三边之间的关系 三角形随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边. 5三角形内角与对边对应关系 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边. 6三角形具有稳定性. 学问点二、三角形的“四心”和中位线 三角形中的四
18、条特别的线段是：高线、角平分线、中线、中位线. 1内心： 三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. 2外心： 三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等. 3重心： 三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍. 4垂心： 三角形三条高线的交点. 5三角形的中位线： 连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线. 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 要点诠释： (1)三角形的内心、重心都在三角形的内部. (2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部. (3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角
19、形斜边的中点. (4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部. 学问点三、全等三角形 1定义： 能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2性质： (1)对应边相等 (2)对应角相等 (3)对应角的平分线、对应边的中线和高相等 (4)周长、面积相等 3判定： (1)边角边(SAS) (2)角边角(ASA) (3)角角边(AAS) (4)边边边(SSS) (5)斜边直角边(HL)(适用于直角三角形) 要点诠释： 判定三角形全等至少必需有一组对应边相等. 学问点四、等腰三角形 1定义： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2性质： (1)具有三角形的一切性质. (2)两底角相等(等边对等角) (3
20、)顶角的平分线，底边中线，底边上的高相互重合(三线合一) (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60. 3判定： (1)假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形. 要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特别的等腰三角形. 学问点五、直角三角形 1定义： 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2性质： (1)直角三角形中两锐角互余； (2)直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半. (3)在直角三角形中，假如有一条直角边等于斜边
21、的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30. (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. (5)勾股定理逆定理：假如三角形的三边长a，b，c满意a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. (6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； (7)SRtABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高. 3判定： (1)两内角互余的三角形是直角三角形； (2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，则这个三角形是直角三角形. (3)假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边. 学问点六、线段垂直平分线和角平
22、分线 1线段垂直平分线： 经过线段的中点并且垂直这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段垂直平分线的定理： (1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. (2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的全部点的集合. 2角平分线的性质： (1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等； (2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； (3)角的平分线可以看做是到角的两边距离相等的全部点的集合. 四、规律方法指导 1数形结合思想 本单元中所学的三角形性质、角平分线性质、全等三角形的性质、直角三角形中的勾股定理等，都
23、是在结合图形的基础上，求线段或角的度数，证明线段或角相等.在几何学习中，应会利用几何图形解决实际问题. 2分类探讨思想 在没给图形的前提下，画三角形或三角形一边上的高、三角形的垂心、外心时要考虑分类：三种状况，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 3.化归与转化思想 在解决利用三角形的基础学问计算、证明问题时，通过做协助线、利用所学学问进行精确推理等转化手段，归结为另一个相对较简单解决的或者已经有解决模式的问题，已知与未知之间的转化；数与形的转化；一般与特别的转化. 4留意视察、分析、总结 应将三角形的判定及性质作为重点，对于特别三角形的判定及性质要记住并能敏捷运用，注意积累解题思路和运用数学
24、思想和方法解决问题的实力和培育，淡化纯粹的几何证明. 学会演绎推理的方法，提高逻辑推理实力和逻辑表达实力，驾驭几何证明中的分析，综合，转化等数学思想. 经典例题透析 考点一、三角形的概念及其性质 1（1）（2022山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为234，那么这个三角形是（） A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形 思路点拨：三角形的内角和为180，三个内角度数的份数和是9，每一份度数是20，则三个内角度数分别为40、60、80，是锐角三角形. 答案：B （2）三角形的三边分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是() A-6a-3B-5a-2C2a5Da-5或a-2 思
25、路点拨：涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，留意运算的精确性. 解析：依据三角形三边关系得：8-31-2a8+3，解得-5a-2，应选B. 举一反三： 【变式1】已知a，b，c为ABC的三条边，化简得_. 思路点拨：本题利用三角形三边关系，使问题代数化，从而化简得出结论. 解析：a，b，c为ABC的三条边a-b-c0，b-a-c0 =(b+c-a)+(a+c-b)=2c. 【变式2】有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能() A.1种B.2种C.3种D.4种 解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三种.应选C
26、. 【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4，则三角形的周长是_. 思路点拨：要分类探讨，给出的边长中，可能分别是腰或底.留意满意三角形三边关系. 解析：(1)当腰为3时，周长=3+3+4=10；(2)当腰为4时，周长=3+4+4=11.所以答案为10或11. 2（1）（2022宁波市）如图，在ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（） A5个B4个C3个D2个 考点：等腰三角形 答案：A （2）如图在ABC中，ABC=90，A=50，BDAC，则CBD的度数是_. 考点：直角三角形两锐角互余. 解析：ABC中，C=ABC-A=90-50=
27、40 又BDAC，CBD=C=40. 3已知ABC的三个内角A、B、C满意关系式B+C=3A，则此三角形中() A.肯定有一个内角为45B.肯定有一个内角为60 C.肯定是直角三角形D.肯定是钝角三角形 考点：三角形内角和180. 思路点拨：会敏捷运和三角形内角和等于180这肯定理，即B+C=180-A. 解析：ABC中，A+B+C=180，B+C=180-A B+C=3A，180-A=3A，A=45，选A，其它三个答案不能确定. 举一反三： 【变式1】下图能说明12的是() 考点：三角形外角性质. 思路点拨：本类题目考查学生了解三角形外角大于任何一个不相邻的内角. 解析：A中1和2是对顶角，
28、1=2；B中1和2是同位角，若两直线平行则相等，不平行则不肯定相等；C中1是三角形的一个外角，2是和它不相邻的内角，所以12.D中1和2的大小相等.故选C. 总结升华：三角形内角和180以及边角之间的关系，在习题中往往是一个隐藏的已知条件，在做题时要留意审题，并随时作为检验自己解题是否正确的标准. 【变式2】假如三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定 思路点拨：理解直角三角形定义，结合三角形内角和得出结论. 解析：若ABC的三个内角A、B、C中，A+B=C 又A+B+C=180，所以2C=180，可得C=90，所以选C.
29、【变式3】下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于两个内角的和；(3)三角形中最大的内角不能小于60；(4)锐角三角形中，随意两内角之和必大于90，其中错误的个数是() A.0个B.1个C.2个D.3个 思路点拨：本题的解题关键是要理解定义，驾驭每种三角形中角的度数的确定. 解析：(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；三角形中最大的内角若小于60，则三个角的和就小于180，不符合三角形内角和定理，故(3)正确；(4)三角形中，随意两内角之和若不大于90，则另一个内角就大于或等于90，就不能是锐角三角形.所以中有(2)错，故选B. 考点二、三角形的“四心”和
30、中位线 4（1）与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的() A.二条中线的交点B.二条高线的交点 C.三条角平分线的交点D.三边中垂线的交点 考点：线段垂直平分线的定理. 思路点拨：三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.答案D若改成二边中垂线的交点也正确. （）（2022四川眉山）如图，将第一个图（图）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到其次个图（图）；再将其次个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，则得到的第五个图中，共有_个正三角形 考点：三角形中位线找规律
31、思路点拨：图有个正三角形；图有（）个正三角形； 图有（）个正三角形；图有（）个正三角形； 图有（）个正三角形； 答案：17 5一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形肯定是() A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形 考点：三角形角平分线定理. 思路点拨：本题考查三角形的内心是三角形角平分线的交点，若内心在一条高线上，又符合三线合一的性质.所以该三角形是等腰三角形.故选B. 举一反三： 【变式1】如图，已知ABC中，A=58，假如(1)O为外心；(2)O为内心；(3)O为垂心；分别求BOC的度数. 考点：三角形外心、内心、垂心性质. 解析：A是锐角时，(1)O为外心
32、时，BOC=2A=116； (2)O为内心时，BOC=90+A=119； (3)O为垂心，BOC=180-A=122. 【变式2】假如一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形是() A.锐角三角形B.只有两边相等的锐角三角形 C.直角三角形D.锐角三角形或直角三角形 解析：三角形的内心都在三角形内部；锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形的外心在三角形斜边的中点上、钝角三角形的外心三角形外部.故选A. 【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的() A.中线B.高线C.边的中垂线D.角平分线 思路点拨：三角形面积相等，可利用底、高相等或相同得到. 解析：三角形的
33、一条中线分得的两个三角形底相等，高相同.应选A. 6（1）（2022广东茂名）如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（） A、15米B、20米C、25米D、30米 考点：三角形中位线定理. 思路点拨：=， 答案：C 第23页 共23页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页