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1、学习好资料欢迎下载 考点 15 三角形 利川铜锣坝中学王明利 知识概要 1. 三角形概念和分类 (1) 概念 : 在同一平面内, 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形, 叫做三角形 . (2) 分类 : 三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形, 等腰三角形包括底和腰不等的三 角形和等边三角形; 按角分为斜三角形和直角三角形, 斜三角形包括锐角三角形和钝角三角 形. 2. 三角形的三线( 高线、角平分线、中线) (1) 概念 三角形的高线: 从三角形的一顶点向其对边作垂线, 顶点与垂足间的线段叫做三角形的 高线 . 三角形的角平分线: 三角形中一个角的平分线与对边相交, 交点与顶
2、点间的线段叫做三 角形的角平分线. 三角形的中线:连结三角形一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线. (2) 三角形三线的比较 相同点 : 都是线段 ; 都有三条 ; 三线或延长线都会交于一点. 不同点 : 锐角三角形三条高都在三角形内部, 直角三角形三条高有两条是直角边,钝角三 角形三条高有两条高在三角形外部. 三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形内部. 3. 三角形的性质 (1) 边与边的关系 : 任意两边这和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. (2) 角与角的关系 : 内角和定理:三角形的三个内角之和等于180o; 三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和; 三角形的一个外角
3、大于任何一个与它不相邻的内角. (3) 三角形具有稳定性. 4. 全等三角形 (1) 概念 : 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. (2) 判定 : 三边对应相等的两个三角形全等(简称为“边边边”或“SSS ”); 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等( 简称为“角边角”或“ASA ”); 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等( 简称为“角角边”或“AAS ”); 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等( 简称为“边角边”或“SAS ”); 斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等( 简称为“斜边和直角边”或“HL”). (3) 性质 : 全等三角形的对应角相等, 对应线段 ( 边
4、、高线、角平分线、中线) 相等 ; 全等三角形的周长相等, 面积相等 . 5. 等腰三角形 (1) 概念 : 有两条边相等的三角形叫等腰三角形. (2) 性质 : 等腰三角形的两个底角相等( 简称“等边对等角”); 等腰三角形的顶角平分线平分并且垂直于底边( 三线合一 ). 学习好资料欢迎下载 (3) 判定 : 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角对的边也相等( 简称为“等角对等边”). 6. 等边三角形 (1) 概念 : 三边相等的三角形叫做等边三角形. (2) 性质 : 等边三角形的三边相等, 三个角都等于60o. (3) 判定 : 三个角都相等的三角形是等边三角形; 有一个角等于6
5、0o的等腰三角形是等边三角形. 7. 直角三角形 (1) 勾股定理 : 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. (2) 直角三角形的两锐角互余. (3) 直角三角形中 , 如果有一锐角等于30o, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. (4) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 范例解释 例 1 （2008 山东威海）若三角形的三边长分别为3，4，x-1 ，则x的取值范围是 A0 x8 B 2x8 C0 x6 D2x6 解由三角形任意两边之和大于第三边和三角形任意两边之差小于第三边有 134 143 x x 解这个不等式得2xQPCDPCQCPDPDC即DPDE 故恒成立的有 点评本题
6、中的各种关系较为复杂, 渗透了很多知识, 比如等边三角形的判定和性质, 全 等三角形的判定和性质, 平行线的判定, 等腰三角形的判定, 三角形的一个外角等于与它不相 邻的两内角之和等知识. 这在一定程度上给学生造成思维上的障碍, 易造成推理上的错误. 要 对 5 个结论作出正确的判断, 必须熟悉相关知识并会灵活运用. 例 4 (2008湖北恩施）如图,C为线段BD上一动点 , 分别过点B、D作ABBD,EDBD, 连接AC、EC. 已知AB=5,DE=1,BD=8, 设CD=x. (1) 用含 x 的代数式表示ACCE的长； (2) 请问点 C满足什么条件时,ACCE的值最小 ? (3) 根据
7、 (2) 中的规律和结论, 请构图求出代数式9)12(4 22 xx的最小值 . 解: (1)125)8( 22 xx (2)当A、C、E三点共线时 ,AC+CE的值最小 (3)如下图所示 , 作BD=12, 过点B作 ABBD, 过点D作EDBD, 使AB=2,ED=3, 连结AE交BD于点C.AE的长即为代数式 9)12(4 22 xx的最小值 . 过点A作AFBD交ED的延长线于点F, 得矩形ABDF, 则AB=DF=2,AF=BD=8. 所以 AE= 22 )23(12=13 即 9)12(4 22 xx的最小值为13. 点评本道试题新颖 , 别具匠心 . 它集观察与探究、归纳与发现、
8、 运用与推广于其中, 主要考查了直角三形的有关知识, 同时也考查了数形结合的重要数学思 想, 是一道代数与几何的综合试题, 但试题难度不是很大, 三个问题由浅入深, 循序渐进 ,由特 殊到一般 , 从归纳发现到推广运用环环相扣,引导学生一步一步地去完成. 是值得参加升学考 试的学生关注的题型. 例 5 （2008 湖北荆门）将两块全等的含30角的三角尺如图(1) 摆放在一起，它们的 较短直角边长为3 F E D C B A E D C B A D (1) (2) A C B E D E A C B E D l (3) l D F A C B E D (4) A C B E D l E C 学习
9、好资料欢迎下载 (1) 将ECD沿直线l向左平移到图(2) 的位置，使E点落在AB上，则CC =_； (2) 将ECD绕点C逆时针旋转到图(3) 的位置，使点E落在AB上，则ECD绕点 C旋转的度数 =_； (3) 将ECD沿直线AC翻折到图 (4) 的位置，ED与AB相交于点F，求证AF=FD 解 (1) 3-3； (2)30 ； (3) 证明：在AEF和DBF中， AE=AC-EC, D B=D C-BC， 又AC=D C,EC=BC，AE=D B 又 AEF=D BF=180 -60=120，A=CD E=30， AEFD BFAF=FD 点评这是一道以两块全等的含30o的三角尺为工具的
10、操作题, 涉及到旋转和翻折, 解决 动态几何题要善于从“动”中求“静”, 从变中探索不变. 解决此题时要注意的是，在旋转和 翻折的过程中 , 三角尺只是位置的变化，其形状大小没有改变. 动态几何题也是近年来中考命 题的热点 . 例 6 （2008 浙江杭州）如图，在等腰ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F. （1）证明：CAE=CBF； （2）证明：AE=BF； （3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG （点E与点F重合于点G） ，记 ABC和 ABG的面积分别 为 S ABC和 S ABG，如果存在
11、点P，能使 S ABC=SABG，求C的 取值范围 . 解 (1) ABC是等腰，CH是底边上的高线，BCPACPBCAC,， 又CPCP, ACPBCP， CBPCAP, 即CBFCAE; (2) BCFACE , CBFCAE ， BCAC , ACEBCF， BFAE ; (3) 由(2) 知ABG是以AB为底边的等腰， ABGABC SS 等价于ACAE， 1）当C为直角或钝角时，在 ACE中，不论点P在CH 何处，均有 ACAE ， 所以结论不成立; 2）当C为锐角时，A 90 2 1 C，而ACAE，要使ACAE，只 需使C = CEA，此时， CAE180 2C，只须 180 2
12、C 90 2 1 C， 学习好资料欢迎下载 解得 60 C90 . (也可在 CEA中通过比较C和CEA的大小而得到结论 ) 点评本题是一道几何存在性探究题, 还重视了分类讨论等数学方法的考查. 第 (1) 题并 不 难 , 只 需 证 明 ACPBCP即 可 . 第 (2) 题 运 用 第 (1) 题 的 结 论 证 明 ACE BCF得证 .第 (3) 题要分两种情况讨论: 1）当 C为直角或钝角时 ; 2）当 C为锐角 时. 从而得到不同的结果. 巩固训练 一、选择题 1. （2008 浙江丽水） 如图， 在三角形ABC中，ABAC，D、E 分别是AB、AC上的点，ADE沿线段DE翻折，
13、 使点A落在 边BC上，记为 A 若四边形 ADA E是菱形，则下列说法正确 的是 ( ) A. DE是ABC的中位线 B.AA是BC边上的中线 C.AA是BC边上的高 D. AA是ABC的角平分线 2. (2008 湖南邵阳 )如图，点P是AB上任意一点，ABCABD，还应补充一个条件， 才能推出APCAPD从下列条件中补充一个条件， 不一定能 推出APCAPD的是（） ABCBD BACAD CACBADB D CABDAB 3. （ 2008 黑龙江大庆）如图，在ABC中，ACBCAB， 点P为ABC所在平面内一点，且点P与ABC的 任意两个顶点构成PABPBCPAC， ， 均是 等腰
14、三角形，则满足上述条件的所有点 P的个数为（ ） A3 B4 C6 D7 4. （ 2008 湖北十堰）下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) A1cm，2 cm， 3cm B2cm ，3 cm， 6 cm C4cm，6 cm， 8cm D5cm ，6 cm， 12cm 5. （2008 湖北十堰）如图，将 PQR 向右平 移 2 个单位长度，再向下平移3 个单位长度， 则顶点 P平移后的坐标是 ( ) A (-2,-4) B (-2,4) C (2,-3) D(-1,-3) 6.（2008 山东烟台）如图，在RtABC内有边 长分别为, ,a b c的三个正方形，则, ,a b c满足
15、的关系式是（） A、bac B、bac C、 222 bac D 、22bac A B C D E A C A D P B C B A 学习好资料欢迎下载 7. (2008浙江杭州 ) 如图，记抛物线1 2 xy的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA 分成 n 等份，设分点分别为P1，P2， Pn-1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线 交于点 Q1，Q2， Qn-1，再记直角三角形 OP1Q1，P1P2Q2，的面积分别为S1，S2， 这样就有 3 2 1 2 1 n n S， 3 2 2 2 4 n n S，； 记 W=S1+S2+Sn-1，当 n 越来越大时，你猜 想 W最接近的常数是(
16、 ) A. 3 2 B. 2 1 C. 3 1 D. 4 1 二、填空题 8. （2008 浙江湖州）已知等腰三角形的一个底角为70，则它的顶角为度 9. （ 2008 四川资阳）如图4，ABC D中， 对角线AC、BD交于点O，请你写出 其中的一对全等三角形_ 10.(2008 湖北天门）如图，已知AECF， AC，要使ADFCBE，还需 添加一个条件_ ( 只需写一个 ) 11. （2008 湖北黄冈）如图，ABC和 DCE都是边长为2 的等边三角形， 点BCE， ，在同一条直线上，连接 BD，则BD的长为 12. （2008 广东肇庆）如图3，P是AOB 的角平分线上的一点，PCOA于点
17、 C ， PDOB于点D，写出图中一对相等 的线段（ 只 需 写 出 一 对 即 可 ） . 13. （2008 湖北鄂州）如图，在ABC中，45BAC， ADBC于D点，已知64BDCD，则高 AD的长为 14. （2008 山东荷泽）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小 正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的 正三角形，如此继续下去，结果如下表 所剪次数1 2 3 4 n 正三角形个数4 7 10 13 an 则an（用含n的代数式表示） A D B C D B C F E D A C A B D 学习好资料欢迎下载 三、解答题 15. (2008广东肇庆 ) 如图 4， E、F
18、、G分别是等边ABC的边AB、BC、AC的中点 . （1） 图中有多少个三角形？ （2） 指出图中一对全等三角形，并给出证明. 16. （2008 湖北宜昌）如图，在ABC与ABD中，BCBD设点E是BC的中点，点F是 BD的中点 （1）请你在图中作出点E和点F；( 要求用尺规作图, 保留作图痕迹 , 不写作法与证明） （2）连接AE，AF若ABCABD，请你证明ABEABF 17. (2008河南省 ) 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已 知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使 QAP=BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP”
19、 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析， 证明了ABQACP， 从而证得BQ=CP 之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立， 请你就图给出证明 图 Q P C B A A Q B P C 图 D A B C 学习好资料欢迎下载 18. (2008北京市 ) 已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作 DGBC交AC于点GDEBC于点E，过点G作GFBC于点F，把三角 形纸片 ABC分别沿DGDEGF， 按图1 所示方式折叠，点 ABC， ， 分别落在点 A，B，C处若点A，B，C在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我 们
20、称 A BC （即图中阴影部分）为“重叠三角形” （1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1 的 等边三角形） ，点A BCD， ， ， 恰好落在网格图中的格点上如图2 所示，请直接写 出此时重叠三角形A B C的面积； （2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A B C存在试用含m的代数式表示 重叠三角形A B C的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探 究使用） A G C FB CE B D A 图 1 A G C FB CE B D A 图 2 A C B 备用图 A C B 备用图 学习好资料欢迎下载 C B A 单元测试 一、
21、选择题 ( 每小题 3 分, 共 24 分) 1. （2008 新疆乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和 6cm，则它的周长为（） A9cm B 12cm C15cm D12cm或 15cm 2. （2008 湖北鄂州）如图，已知ABC中，45ABC， 4AC，H是高AD和BE的交点，则线段BH的 长度为（） A6 B4 C2 3 D5 3. 2008湖北宜昌）如图，已知ABC的顶点B的坐标是 (2 ，1) ，将 ABC向左平移两个单位后，点B平移到B1，则B1的坐标是（） A(4 ， 1) B(0 ，1) C( 1，1) D(1 ，0) 4.（2008 四川成都）如图，在ABC与
22、 DEF中，已有条件AB=DE ， 还需添加两个条件才能使ABC DEF ，不能 添加的一组条件是( ) A.B= E,BC=EF B.BC=EF，AC=DF C.A= D， B=E D. A=D，BC=EF 5. （2008 山西太原）如图，在 ABC 中， DE，分别是边ABAC，的中点，已知 10BC，则DE的长为（） A3 B 4 C5 D 6 6. （山东淄博）如图，由4 个小正方形组成的田字格中， ABC的顶点都是小正方形的顶点。在田字格上画 与 ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形 的顶点，则则这样的三角形（不包含ABC本身） 共有（） A1 个 B2 个 C3 个 D4
23、个 7. (2008广东汕头 )已知ABC的三边长分别为5，13，12， 则ABC的面积为（） A30 B 60 C78 D不能确定 8. (2008山东济宁 )如图， ABC 是等腰直角三角形， BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与 ACP重合，如果3AP，那么PP的长等于（） A3 2B 2 3 C4 2D 3 3 D C B A E H y x A BC O A D E B C 学习好资料欢迎下载 二、填空题 ( 每小题 3 分, 共 24 分) 9. （2008 赤峰）如图，是一块三角形木板的残余部分， 量得100A，40B，这块三角形木板另外 一个角是度 10. （2008
24、甘肃白银）已知等腰三角形的一条腰长是5， 底边长是 6，则它底边上的高为 11. （2008 福建宁德）如图是一副三角尺拼成图案， 则 AEB _ 12. （2008 彬州）如图，D是AB边上的中点，将 ABC 沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处， 若 50B ，则 BDF _ 度 13. （2008 盐城）将一张等边三角形纸片沿着一边上 的高剪开，可以拼成不同形状的四边形试写出 其中一种四边形的名称 14. （2008 黑龙江绥化）如图， BACABD， 请你添加一个条件：，使OCOD （只添一个即可） 15. （2008 四川达州）如图所示，边长为2 的等边三 角形木块，沿水平线l滚动
25、，则A点从开始至结束 所走过的路线长为 3 8 （结果保留准确值） 16. （2008 福建宁德）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重 叠的四边形EFGH ，若 EH 3 厘米， EF4 厘米，则边AD的长是 _厘米 . 三、解答题 (72 分) 17.(8 分) (2008 北京市 )已知：如图，C为BE上一点，点AD，分别在BE两侧ABED， ABCE，BCED 求证：ACCD A C E D B D O C B A C B A B C A D E F E D CB A B A C A B C A l B F C A H D E G 学习好资料欢迎下载 18.(8
26、 分 )（2008 福建泉州）已知：如图，E、C两点在线段BF上， BE=CF ，AB=DE ，AC=DF 。 求证： ABC DEF 19.(8 分 )（2008 湖北宜昌） 如图， 某种雨伞的伞面可以看成由12 块完全相同的等腰三角形 布料缝合而成，量得其中一个三角形OAB的边OAOB56cm （1）求AOB的度数； （2）求OAB的面积（不计缝合时重叠部分的面积） 20.(8 分 ) （2008 新疆乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个 等式：ABDC，BECE，BC，BAECDE要求同学从 这四个等式中选出两个作为条件，推出AED是等腰三角形 请你试着完成王老师
27、提 出的要求，并说明理由（写出一种即可） 已知： 求证： AED 是等腰三角形 证明： D F A B CE B A OD A B O B E D A C 学习好资料欢迎下载 21. (8 分) （2008 广东东莞）（1）如图 1，点 O是线段 AD的中点，分别以AO和 DO为边在 线段 AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD ，连结 AC和 BD ，相交于点E ，连 结 BC 求 AEB的大小； （2） 如图 2，OAB固定不动， 保持 OCD的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O旋转（ OAB和 OCD 不能重叠 ) ，求 AEB的大小 . 22.(10分) (2008浙江台州
28、)CD经过BCA顶点C的一条直线，CACBEF，分别 是直线CD上两点，且 BECCFA （1）若直线CD经过BCA的内部，且EF，在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图 1，若90BCA，90， 则BECF；EFBEAF（填“” ， “”或“” ） ； 如 图2 ， 若01 8 0B C A， 请 添 加 一 个 关 于与BCA关 系 的 条 件，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立 （2）如图 3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请提出EFBEAF，三 条线段数量关系的合理猜想（不要求证明） C B O D 图 1 A B A O D C E 图 2 A B C E F D D
29、 A B C E F A D F C E B （图 1）（图 2）（图 3） 学习好资料欢迎下载 23. (10分) （2008 四川资阳）阅读下列材料，按要求解答问题： 如图 1，在 ABC中，A2B，且A60小明通过以下计算：由题意， B30，C90，c2b，a3b，得a 2 b 2( 3b) 2 b 22b2 bc即 a 2 b 2 bc于是，小明猜测：对于任意的ABC，当A2B时，关系式a 2 b 2 bc都成立 （1）如图 2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是 否正确，并写出验证过程； （2）如图 3，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否
30、则，请说明理由； （3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且A2B，请直接写出这个三角形 三边的长，不必说明理由 图 1图 2 图 3 学习好资料欢迎下载 24.(12 分)(2008 湖北恩施 ) 如图 1， 在同一平面内, 将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG 摆放在一起，A为公共顶点， BAC=AGF=90，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动， ?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E( 点 D不与点 B重合 , 点 E不与点 C 重合 ), 设BE=m ，CD=n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求 m与 n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围 . （3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x 轴，BC边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直 角坐标系 ( 如图 2). 在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证 BD 2 CE 2 =DE 2 . （4）在旋转过程中,(3) 中的等量关系BD 2 CE 2 =DE 2 是否始终成立, 若成立 , 请证明 , 若 不成立 , 请说明理由 . G y x 图 2 O F E D C B A G 图 1 F E D C B A