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1、第七章布莱克布莱克-舒尔斯期权舒尔斯期权定价公式的扩展定价公式的扩展 CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University主要内容n布莱克-舒尔斯期权定价模型的缺陷 n交易成本 n波动率微笑和波动率期限结构 n随机波动率 n不确定的参数n跳跃扩散过程 CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University B-S模型的缺陷 n交易成本的假设 n波动率为常数的假设 n不确定的参数 n资产价格的连续变动 CopyrightZhenlo
2、ng Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 交易成本的影响 n规模效应和交易成本差异化。n即使是同一个投资者，在调整过程中，持有同一个合约的多头头寸和空头头寸，价值也不同。CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University H-W-W交易成本模型 基本假设：n投资者投资于欧式期权的组合而不仅仅是单个期权；n整个投资组合的调整存在交易成本；n投资者的组合调整策略事先确定；n股票价格的随机过程以离散的形式给出；n保值组合的预期收益率等于无风险银行存款
3、利率 CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University H-W-W模型推导n构造无风险组合 n 之后,整个组合价值的变化相应减少：n要求交易成本项,关键要获得n值，显然：（7-1）CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University H-W-W模型推导（续）n由Ito引理：n根据无风险假设，有:n将公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：（7-3）（7-2）（7-4）CopyrightZhenlong Zheng 2
4、003,Department of Finance,Xiamen University 对H-W-W方程的理解n 项在实际中具有深刻的金融含义 n 的存在使得H-W-W方程大部分时候是一个非线性方程n期权多头和空头价值的不一致性 n对于单个期权多头，H-W-W方程实际上是一个以 为波动率的BS公式 CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 交易成本的其他模型 n期权组合中的 值不是同一个符号的情形n交易成本不是前述的简单结构，而是资产价格和调整数量的函数 的情况 nW-W模型CopyrightZhe
5、nlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 波动率微笑和波动率期限结构 n人们通过研究发现，应用期权的市场价格和BS公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方向的变动规律：n“波动率微笑”（Volatility Smiles）：隐含波动率会随着期权执行价格不同而不同；n波动率期限结构（Volatility Term Structure）：隐含波动率会随期权到期时间不同而变化。CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 波动率微笑n对于货
6、币期权而言，隐含波动率常常呈现近似U形。平价期权的波动率最低，而实值和虚值期权的波动率会随着实值或虚值程度的增大而增大，两边比较对称。n股票期权的波动率微笑则呈现另一种不同的形状，即向右下方偏斜。当执行价格上升的时候，波动率下降，而一个较低的执行价格所隐含的波动率则大大高于执行价格较高的期权。CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 货币期权的波动率微笑与分布CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 股票
7、期权的波动率微笑与分布CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 波动率期限结构n从长期来看，波动率大多表现出均值回归，即到期日接近时，隐含波动率的变化较剧烈，随着到期时间的延长，隐含波动率将逐渐向历史波动率的平均值靠近。n波动率微笑的形状也受到期权到期时间的影响。大多时候，期权到期日越近，波动率“微笑”就越显著，到期日越长，不同价格的隐含波动率差异越小，接近于常数 CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University
8、 波动率矩阵执 行 价 格剩余有效期0.900.951.001.051.10一个月14.213.012.013.114.5三个月14.013.012.013.114.2六个月14.113.312.513.414.3一年14.714.013.514.014.8两年15.014.414.014.515.1五年14.814.614.414.715.0CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 意义和应用n波动率微笑和波动率期限结构的存在，证明了BS公式关于波动率为常数的基本假设是不成立的，至少期权市场不是这
9、样预期的。因此放松波动率为常数的假设，成为期权理论发展的一个重要方向。目前主要有两种不同的策略：n从期权市场出发的改良策略 n创新策略 CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 随机波动率模型n一般模型n股票风险中性的随机波动率模型（Hull等）CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 随机波动率对定价的影响n当波动率是随机的，且与股票价格不相关时，欧式期权的价格是BS价格在期权有效期内平均方差率分布上的
10、积分值：n在股票价格和波动率相关的情况下，这个随机波动率模型没有解析解，只能使用数值方法得到期权价格 n波动率随机性质的影响，也会因到期时间的不同而不同 CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University GARCH模型nGARCH模型可以分为多种，其中最常见的是GARCH(1,1)模型：n采用 的形式，用最大似然估计法估计三个参数 、和 ，可以进一步得到 和 的值，并可计算出特定时刻波动率的大小（7-5）CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,X
11、iamen University 不同时期的权重分布 n对公式7-5的右边右边 重复的迭代过程，可以得到：n通过适当的变换，我们可以将式（7-6）写作n由于 ，可得未来波动率的预期值为：（7-6）CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 不确定的参数 n问题：现实生活当中存在着这样的问题：当参数价值是不确定的时候，如何为期权定价？n解决方法：假设我们知道的这些参数位于某个特定的区间之内，之后考虑最悲观的情况下我们的期权至少值多少。用这样的假设和思路，我们不会计算出期权的某一特定价值，而会发现期权的价
12、值也将位于某个区间之内 CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 不确定的波动率n仍然构造无风险组合，组合价值：n假设 与n考虑最糟糕的情况，可以确定期权的最低值，用公式表示：CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 期权价值的下限n期权价值下限 满足n其中 ，且 。CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 期
13、权价值的上限n期权价值上限 满足：n其中 ，。CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 不确定的利率n考察组合 ，假设：，则：n此时，我们选择的利率将依赖于 的符号，相应的方程为：n其中：，CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 不确定的红利收益率n在连续支付红利的情况下，其推导过程很类似，在 的假定下，只要解出：n其中：CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department o
14、f Finance,Xiamen University 跳跃扩散过程n所谓的跳跃扩散过程是普通的（路径连续的）扩散过程和一个在随机时刻发生跳跃的（跳跃幅度也是随机的）跳跃过程的结合，显然这种变化过程更能反映现实价格路径，对应的模型则可以认为是考虑资产价格有不连续的跳跃时对BS公式的推广 CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 资产价格所遵循的跳跃扩散过程 n使用连续布朗运动来反映连续扩散过程，同时引入泊松过程来描述资产价格的跳跃n 为泊松过程，定义为：n根据Ito引理，可得：CopyrightZh
15、enlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 跳跃扩散过程的保值组合和期权定价n仍然考察组合 ，运用Ito引理，包含了跳跃的组合价值变化为 n如果时刻没有跳跃发生，则 ，那么我们就会选择 来降低风险。如果有跳跃，则 ，我们仍然可以选择 CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 包含了跳跃的期权定价公式 nMerton于1976年提出了一个重要的思想：如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话，就属于可分散风险，可分散风险不应该获得期望收益n这个假定，可以得到：CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University 跳跃扩散模型的理解n跳跃扩散模型确实反映了BS模型中忽略了的真实现象，但是它们在现实中却较少使用，BS公式仍然广泛使用，主要的三个原因是：n参数预测很困难 n方程难以求解 n 完全保值的不可能性 CopyrightZhenlong Zheng 2003,Department of Finance,Xiamen University