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1、高二数学教案：函数的极值与导数教学设计函数的极值与导数 3.3.2函数的极值与导数一、教学目标学问与技能：理解极大值、微小值的概念；能够运用判别极大值、微小值的方法来求函数的极值；驾驭求可导函数的极值的步骤；过程与方法：多让学生举命题的例子，培育他们的辨析实力；以及培育他们的分析问题和解决问题的实力；情感、看法与价值观：通过学生的参加，激发学生学习数学的爱好。二、教学重点难点教学重点：极大、微小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、微小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.三、教学过程：函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是特别重要的通过探讨函数
2、的这些性质，我们可以对数量的改变规律有一个基本的了解我们以导数为工具，对探讨函数的增减及极值和最值带来很大便利四、学情分析我们的学生属于平行分班，学生已有的学问和试验水平有差距。须要老师指导并借助动画赐予直观的相识。五、教学方法发觉式、启发式新授课教学基本环节：预习检查、总结怀疑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习六、课前打算1学生的学习打算：2老师的教学打算：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延长拓展学案。七、课时支配：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结怀疑检查落实了学生的预习状况并了解了学生的怀疑，使教学具有了针对性。提问（二）情景导入
3、、展示目标。设计意图：步步导入，吸引学生的留意力，明确学习目标。1、有关概念(1).极大值：一般地，设函数f(x)在点x0旁边有定义，假如对x0旁边的全部的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点(2).微小值：一般地，设函数f(x)在x0旁边有定义，假如对x0旁边的全部的点，都有f(x)f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个微小值，记作y微小值=f(x0)，x0是微小值点(3).极大值与微小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请留意以下几点：（）极值是一个局部概念由定义
4、，极值只是某个点的函数值与它旁边点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的完全的定义域内最大或最小。（）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或微小值可以不止一个（）极大值与微小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于微小值，如上图所示，是极大值点，是微小值点，而（）函数的极值点肯定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点2.判别f(x0)是极大、微小值的方法:若满意，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且假如在两侧满意“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；假如在两侧满意“左负右正”
5、，则是的微小值点，是微小值3.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求方程f(x)=0的驻点（一阶导数为0的x的值）(3)检查f(x)=0的驻点左右的符号；假如左正右负，那么f(x)在这个驻点处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个驻点处取得微小值；假如左右不变更符号，那么f(x)在这个驻点处无极值（三）合作探究、精讲点拨。例1（课本例4）求的极值解：因为，所以。令，得下面分两种状况探讨：（1）当0,即，或时；（2）当0,即时.当x改变时，的改变状况如下表：2(-2,2)2 +00+极大值微小值 因此，=；=。函数的图像如图所示。例2求y=(x21
6、)3+1的极值解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2,令y=0解得x1=1，x2=0，x3=1当x改变时，y，y的改变状况如下表-1(-1,0)0(0,1)1 00+0+无极值微小值0无极值当x=0时，y有微小值且y微小值=0例3设，在和处有极值，且=1,求，的值，并求出相应的值。解：，是函数的极值点，则1,1是方程的根，即有，又，则有，由上述三个方程可知，此时，函数的表达式为，令，得，当改变时，的改变状况表：-1(-1,1)1 +00+极大值1微小值1由上表可知，（学生上黑板解答）多媒体展示探究思索题。在学生分组试验的过程中老师巡回视察指导。(课堂实录)（四）反思总结，当堂检测
7、。老师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。设计意图：引导学生构建学问网络并对所学内容进行简洁的反馈订正。（课堂实录）（五）发导学案、布置预习。设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。老师课后刚好批阅本节的延长拓展训练。九、板书设计极大值:极大值点:微小值:微小值点：极值：十、教学反思本课的设计采纳了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最终进行当堂检测，课后进行延长拓展，以达到提高课堂效率的目的。在后面的教学过程中会接着探讨本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，
8、也希望大家提出珍贵看法，共同完善，共同进步!十一、学案设计(见下页) 132函数的极值与导数（1课时） 132函数的极值与导数（1课时）【学情分析】：在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要探讨的对象函数极值有着本质区分的，学生简单产生混淆，易把极大值当做最大值，微小值当做最小值。在相识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。【教学目标】：（1）理解极大值、微小值的概念.（2）能够运用判别极大值、微小值的方法来求函数的极值.（3）驾驭求可导函数的极
9、值的步骤【教学重点】：极大、微小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.【教学难点】：极大、微小值概念的理解，熟识求可导函数的极值的步骤【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图利用教材在3.3.1中的例1引入函数的极值概念视察y=f(x)的图像在x=1点的函数值f(1)与x=1旁边的其他点的函数值的特征，并描述在x=1点及其旁边导数的正负：f(1)在x=1点及其旁边是最小；y=f(x)在x=1旁边的左侧是单减的；y=f(x)在x=1旁边的右侧是单增的；提问：y=f(x)在x=1处是否整个函数的最小值？不是，只是y=f(x)在x=1处旁边的局部最小值视察y=f(x)的图像在x=4点的函
10、数值f(4)与x=4旁边的其他点的函数值的特征，并描述在x=4点及其旁边导数的正负：学生仿照完成考虑到极值与最值简单混淆，学生对已有学问的同化易接受，我们以3.3.1中的例1引出极值的概念，详细直观，同时对极值与最值区分是一目了然的。 概念抽象y=f(x)在定义域上可导，若，且y=f(x)在x=a旁边的左侧满意；在x=a旁边的右侧满意，则称点a叫做y=f(x)的微小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的微小值若，且y=f(x)在x=b旁边的左侧满意；在x=b旁边的右侧满意，则称点b叫做y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值由详细函数图像抽象上升到一般极值概念函数极值概念强化
11、练习概念推断练习：（）函数的极大值是函数在定义域上的最大值（）函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的（）函数某区间上的极大值肯定大于微小值（）函数的极值点，导数肯定为零（）导数为零的点肯定是函数的极值点答案：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错深化学生对函数极值的概念，以及函数取极值与的逻辑关系 极值概念理解的总结提高（）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它旁边点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的完全的定义域内最大或最小（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或微小值可以不止一个（）极大值与微小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必
12、大于微小值，如下图所示，是极大值点，是微小值点，而，如下图如何判别f(x0)是极大、微小值填空：（）若满意，且在的两侧的导数_，则是的极值点，是极值，（）假如在两侧满意“左正右负”，则是的_点，是_；（）假如在两侧满意“左负右正”，则是的_点，是_.让学生总结推断极值的方法。（）异号；（）极大值；极大值；（）微小值；微小值例题精讲、看图识极值（点）说出极值点与相应的极值、求函数的极值（点）对教材例1的处理方式：要求阅读教材解析，仿照练习。以眼动、心动、手动的方式让学生对求解函数的极值的步骤有较深的印象。 函数极值（点）计算要加强练习，提高娴熟程度。作为平行班的学生基础不牢，应以最基本的几类函数
13、求导练习为主，切忌舍本逐末：让学生把重心放在导数计算上，而忽视了求极值（点）的方法步骤 设置上可以先让学生回忆几类基本函数的求导公式，板书在黑板上以学生查用之需。 补充练习：求函数=2x2+5x的极值答案：x=-5/4;y=-25/8微小值求函数y=3xx3的极值答案：x=-1,y=-2微小值；X=1,y=2极大值加强娴熟程度与运算速度加强对极值（点）的函数图像理解与相识要留意结合图象理解极大、微小值概念推断极值点的关键是这点两侧的导数异号通过例题与练习加深对极大、微小值概念的理解，以及熟识求函数极值的方法与步骤 方法小结求函数极值的方法与步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求
14、方程f(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得微小值；假如左右不变更符号，那么f(x)在这个根处无极值 课后练习1、函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（）A充分条件B必要条件C充要条件D必要非充分条件答案D对于不能推出在取极值，反之成立 2、函数有（）A极大值，微小值B极大值，微小值C极大值，无微小值D微小值，无极大值答案C，当时，；当时，当时，；取不到，无微小值 3、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示
15、，则函数在开区间内有微小值点（）A个B个C个D个答案A微小值点应有先减后增的特点，即 4、函数，已知在时取得极值，则a=()A,2B.3C.4D.5答案：5、若函数在处有极大值，则常数的值为_；答案，时取微小值 6、函数在处取得极值，则m=_答案07、已知函数，当时，有极大值；（）求的值；（2）求函数的微小值解：（1）当时，即（2），令，得 高二数学导数与函数的性质学问点 高二数学导数与函数的性质学问点 单调性 若导数大于零，则单调递增;若导数小于零，则单调递减;导数等于零为函数驻点，不肯定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负推断单调性。 若已知函数为递增函数，则导数大于等于零;若已知
16、函数为递减函数，则导数小于等于零。 依据微积分基本定理，对于可导的函数，有： 假如函数的导函数在某一区间内恒大于零(或恒小于零)，那么函数在这一区间内单调递增(或单调递减)，这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或微小值(即极值可疑点)。进一步推断则须要知道导函数在旁边的符号。对于满意的一点，假如存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为微小值点。 x改变时函数(蓝色曲线)的切线改变。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。 凹凸性 可导函数的凹凸性与其
17、导数的单调性有关。假如函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。假如二阶导函数存在，也可以用它的正负性推断，假如在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。 高二数学导数与函数的性质学问要点总结 高二数学导数与函数的性质学问要点总结 单调性 若导数大于零，则单调递增;若导数小于零，则单调递减;导数等于零为函数驻点，不肯定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负推断单调性。 若已知函数为递增函数，则导数大于等于零;若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。 依据微积分基本定理，对于可导的
18、函数，有： 假如函数的导函数在某一区间内恒大于零(或恒小于零)，那么函数在这一区间内单调递增(或单调递减)，这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或微小值(即极值可疑点)。进一步推断则须要知道导函数在旁边的符号。对于满意的一点，假如存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为微小值点。 x改变时函数(蓝色曲线)的切线改变。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。 凹凸性 可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。假如函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。假如二阶导函数存在，也可以用它的正负性推断，假如在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页