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1、导数的应用二-函数的极值与最值编稿：赵 雷 审稿：李 霞【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。2. 会用导数求函数的极大值、极小值。3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。4. 掌握函数极值与最值的简单应用。【要点梳理】 知识点一：函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y
2、=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤：确定函数的定义域；求导数；求方程的根
3、；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，但x=0不是函数的极值点.可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异。知识点二：函数的最值（一） 函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.要点诠释：函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。函数的极值可以有多个，
4、但最值只有一个。（二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.要点诠释：求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.（三）最值与极值的区别与联系函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具
5、有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值. 知识点三：函数极值与最值的简单应用1. 不等式恒成立，求参数范围问题。一些含参不等式，一般形如，若能隔离参数，即可化为：的形式。若其恒成立，则可转化成，从而转
6、化为求函数的最值问题。若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使。所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。2. 证不等式问题。当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可。所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。3. 两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可。所以此类问题可转化为求函数的极值问题。【典型例题】类型一： 求函数的极值例1. 下列函数的极值。（1）； （2）； 【解析】（1）函
7、数的定义域为R。令，得x=2或x=2。当x变化时，变化状态如下表：x（，2）2（2，2）2（2，+）00&极大值(极小值&从上表可以看出，当x=2时，函数有极大值，且。当x=2时，函数有极小值，且。（2）函数的定义域为R。令，得x=0或x=2。当x变化时，变化状态如下表：x（，0）0（0，2）2（2，+）0+0(极小值0&极大值4e2(由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且。当x=2时，函数有极大值，且。【总结升华】 解答本题时应注意只是函数在x0处有极值的必要条件，如果再加上x0左右导数的符号相反，方能断定函数在x0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误。
8、举一反三：【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题1】【变式1】 讨论函数（）的单调性并求极值令，解得x1=0， x2=, x3=2 。当x变化时，变化状态如下表：x（，0）0（0，）（，2）2（2，+）0+00+(1&(&由上表可以看出，在（，0）和（，2）上为减函数，在（0，）和（2，+）上为增函数。当x=0时，函数有极小值; 当x=2时，函数有极小值。当x=时，函数有极大值。【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题3】【变式2】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】由极小值的
9、定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。类型二：函数极值的逆向应用例2. 已知函数在点x0处取得极大值5，其导函数 的 图象经过点（1，0），（2，0），如图所示。求：（1）x0的值；（2）a，b，c的值。【思路点拨】观察图像的正负和零点。【解析】 （1）由图象可知，在（，1）上，在（1，2）上，在（2，+）上，故在（，1）和（2，+）上递增，在（1，2）上递减。因此在x=1处取得极大值，所以x0=1。（2）方法一：，由，得，解得。方法二：设。又，所以，c=2m，由，即，得m=6，所以a=2，b=9，c=12。【总结升华】 （1）由导函数的图象求极值点，先看图象与x轴的交点，其次看这点左右两侧
10、的导数值的正负。（2）注意条件“在点x0处的极大值是5”的双重条件，即，。举一反三：【变式】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.【答案】 依题意得方程组 解得. 当a=-3,b=3时，令得x=1.x(-,1)1(1,+)+0+无极值 显然a=-3, b=3不合题意，舍去. 当a=4, b=-11时，f(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11) 令得或 x=1.x1（1，+）+0-0+极大值极小值 f(x)在x=1处有极小值10，合题意，a=4, b=-11.类型三：求函数的最值【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题2】例3、求函数在
11、区间-1，2上的最大值与最小值。【解析】 ，-102+0-0+-211由上表可知，当x=-1时,f(x)取最小值-2；当x=2时,f(x)取最大值1. 函数在区间-1，2上的最大值为1，最小值为-2。【总结升华】解题格式要求：. 对于分解因式，写出相应方程的根；. 列表格，表格反映出随的变化情况，必须列出极值点，若求最值时，还要列出端点的函数值。. 一般要注明x取何值时f(x)取得最大最小值。举一反三：【变式】求函数y=x42x2+5在区间2，2上的最大值与最小值。【答案】 先求导数，得y=4x34x。令y=0即4x34x=0，解得x1=1，x2=0，x3=1。当x变化时，y，y的变化情况如下
12、表：x2（2，1）1（1，0）0（0，1）1（1，2）2y0+00+y13(4&5(4&13从上表知，当x=2时，函数有最大值13；当x=1时，函数有最小值4。例4. 求函数，x3，2 的最值。【解析】，由得x=1，0，1。 f(-3)=-60,f(-1)=f(1)=4,f(0)=3,f(2)=-5, 经比较可得：当x=3时，有最小值60。 当x=1时或1时，有最大值4。【总结升华】当方法熟悉后,可以不再列表. 也就是说在求函数的最值时，实际不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。举一反三：【变式】求函数，x0，2的最值。【答案】，令，化简为x
13、2+x2=0，解得x1=2（舍去），x2=1。，又，为函数在0，2上的最小值，为函数在0，2上的最大值。类型四：极值与最值的应用-证不等式问题。例5. 求证：当x0时，。【思路点拨】移项，化为等式左边为函数式的形式。【解析】 设，所以在（1，+）上为增函数，当x0时，即x0时，。【总结升华】 利用导数可以证明含有高次式、指数式、对数式等类型的不等式，在证明的过程中，首先要注意变量的取值范围，再正确地构造出函数，最后再求出函数的最值。举一反三：【变式】 当时，证明不等式：。【答案】 设，则函数在上单调减函数，成立。类型五：极值与最值的应用-不等式恒成立，求参数范围问题。例6设函数f(x)(x1)
14、ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围【思路点拨】或者化为左侧为函数式的形式，或者分离参数。【解析】解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a 令g(x)0，解得xea11， (i)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax (ii)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，对所有的x0，都有f(x
15、)ax成立综上，a的取值范围是（，1 解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立 对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 当x ea11时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数， 所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1，即a的取值范围是（，1 【总结升华】一般首选隔离参数法，转化为求不含参数的函数的最值问题；若不能隔离，则化为求含参函数的最值问题，往往需要对参数进行分类讨论才能得出最值。举一反三：【变式1】(2014 辽宁)当x2，1时，不
16、等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A 5，3B 6，C 6，2 D 4，3【答案】C【解析】当x0时，不等式ax3x24x30对任意aR恒成立；当0x1时，ax3x24x30可化为a，令，则 (*)，当0x1时，f(x)0，f(x)在(0，1上单调递增，f(x)maxf(1)6，a6；当2x0时，ax3x24x30可化为a，由(*)式可知，当2x1时，f(x)0，f(x)单调递减，当1x0时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)minf(1)2，a2；综上所述，实数a的取值范围是6a2，即实数a的取值范围是6，2故选C【变式2】 已知函数（1）若在1，上是增函数，求实数a
17、的取值范围；（2）若x3是的极值点，求在1，a上的最小值和最大值【答案】（1）x1， （当x=1时，取最小值）a3（a3时也符合题意）a3 （2），即27-6a+30，a5，.令得 ，或 (舍去)当时,; 当时, 即当时,有极小值又 f（x）在，上的最小值是，最大值是.类型六：极值与最值的应用-两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）例7. 已知函数,若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围【思路点拨】先利用第一个条件求出函数式,再结合图像。【解析】因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不
18、同的交点，又，结合的单调性可知，的取值范围是。【总结升华】两曲线的交点个数问题，实际上是方程解的个数问题，而本质上是函数的极值问题。举一反三：【变式1】（2015 昆明二模）设三次函数的导函数为，若函数共有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】的导函数为= ，即 则 若，则由得 由得 ，则函数在x=0时取得极大值 ，在x=2时，函数取得极小值，若函数共有三个不同的零点，则，解得 。 若，则由得由得 ，则函数在x=0时取得极小值 ，在x=2时，函数取得极大值，则此时函数只有1个零点，不满足条件，综上。故选：C 。【变式2】 已知，是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。【答案】 方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有唯一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在唯一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。