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1、合约决策条件下的一种二层报童问题模型+国家自然科学基金资助项目(70771080)作者简介：万仲平，男，教授，博士生导师，主要研究方向为最优化理论与算法及其系统决策科学等.万仲平1，侯阔林1，2，程露1(1武汉大学数学与统计学院，湖北，武汉，430072；2黎明职业大学公共教学部，福建，泉州，362000)摘要：本本文研究究了以供应商商为领导导层、零售商商为从属属层的合合约决策策下报童童问题的的二层规规划模型型，并讨讨论了它它在合约谈判判中的作作用。考虑到到顾客需需求和市市场价格格具有高高度的不不确定性性，供应应商和零零售商为为了回避避风险而而达到最最大的期期望利润润，双方方通常可可以采用用签
2、订合合约的方方式来进进行交易易。为此此，我们们建立了了一个合合约决策策条件下报报童问题题的二层层规划模模型并计算了数数值结果果。供应应商和零零售商可可以依据据该模型型的最优优解通过过谈判确确定合约约决策变变量值以获取较高高的期望望利润。关键词：报童问问题，二层规规划，合约谈判判，不确定定性中国分类类号：C9331.11, OO2211.2, O2227.0引言报童问题题即单周周期库存存问题(Sinnglee-Peeriood PProbblemm), 是供应应链管理理中最重要的的模型之之一，其历史史可以追追溯到118888年著名名经济学学家Eddgewwortth应用用它解决决银行的的现金流流
3、(caash-floow)问问题，119555年，WWhittin首首次建立立了受价价格影响响的报童童问题模模型（详详见Peetruuzzii等11）。目前, 报童童问题在在生产、服务、管理和和金融等等领域成成功地取得了了广泛的的应用。有关报童童问题及及其扩展展问题的的研究见见Sillverr 2 和KKhouuja 3给出的的综述报告告。与众多扩扩展模型型相比, 经典典报童问问题模型型是最简简单最基基本的问问题, 它可以以描述为为：报童童每天早早晨以单单位批发发价从报报社买进进报纸，然后以以单位零零售价出出售，晚晚上将没没有卖掉掉的报纸纸当作废废品以价价格（）处理理掉。同同时假设设：（11）
4、报童童拥有购购买足够够多报纸纸的资金金；（22）报纸纸过剩只只能以低低于零售售价的价价格处理理；（33）报纸纸供应不不足，会会遭受缺缺货惩罚罚。报童童应该如如何确定定订购量量而获得得最高的利润呢？显然，报童应应该根据据市场需需求量来来确定订订购量，而市场场需求量量是随机机的。假假设报童童通过经经验已经经掌握了了市场需需求量的的随机规规律，我我们就可可以建立立优化模模型来求求解报童童问题了了。由于市场场价格和和顾客需需求具有有高度的的不确定定性，供供应商和和零售商商（即报报童）面面临来自自于市场场价格和和顾客需需求两方方面的风风险。而而合约能能够为零零售商提提供购买买量和价价格的双双重保护，同时
5、供应应商也有有了最低低利益保保障。因因此，在在供应链链管理领领域, 合约问问题得到到了广泛泛的关注注和研究究。然而, 目前前对合约报报童问题题的研究究都是将将合约订订购量(或合约约价格)作为协协调参数数考虑的的，这是是一种带有有决策者者的主观观意识的的决策，并不能能真正反反映客观观实际中中的一些些问题,可能会会使供应应商与零零售商遭遭受一定定的损失失。为此此我们将将合约订订购量、合约价价格等作作为决策策变量，根据市场场需求量量情况，供应商商既考虑虑市场价价格也要要对合约约价格作作出决策策，同时时，零售商商决策市场场订购量量与合约约订购量量。由此此，基于于二层规规划模型型的思想想，我们们将建立立
6、具有合合约决策策的二层层报童问问题模型型。数值值结果表表明，该该问题的的研究既既能够为为供应商商和零售售商提供供谈判的的依据也也有助于于提高供应应链渠道道（chhannnel）的利润润。1 经典典报童问问题经典报童童问题研研究在概概率需求求下零售售商的决决策问题题，零售售商寻找找产品的最最优订购购量以获获取最大大的期望望利润。经典报童童问题中中,零售售商的利利润函数数为： （1）其中随机机变量是是市场需需求量， 是单单位产品品的零售售价格，是单位位产品的的批发价价格，是是订购量量，是单单位产品品的缺货货惩罚，是单位位产品的的处理价价格。由由于是随随机变量量，零售售商的期期望利润润为：（2）其中
7、是市市场需求求量的概概率密度度函数，是市场需需求量的的分布函函数，记记。设最最优订购购量是，容易证证明是凹凹函数，再由一阶阶最优性性条件可可以得到到:（3）上式被称称为临界界分位点点公式,我们可可以通过过它求出出最优解解。2二层报报童问题题目前在一一些行业业（如电电力）中中，市场场的激烈竞竞争使得得市场格格局发生生了很大大的变化化,供应商商与零售售商之间间既有合合作又有有竞争，不能再作为为一个垂垂直统一一的经济济个体去研究究。而经典报报童问题题没有考虑虑供应商商与零售售商决策策之间的的相互影影响，因此，有必要要对供应应商与零零售商之之间的层层次递阶阶关系及及其决策策的相互互影响加加以研究究。二
8、层层报童问问题是二二层规划划在报童童问题中中的应用用，二层层规划是是一种具具有二层层递阶结结构的系系统优化化问题。上下层层决策者者在约束束条件下下各自优优化其目目标函数数，上层层的决策策影响下下层，但但不能控控制下层层；下层层通过其其最优解解(或目目标最优优值)反反馈给上上层而影影响上层层的决策策。Deempee4、Collsonn等5和王广广民等6综综述了二二层规划划问题的的理论、方法和和应用。二层报童童问题的的研究已已经有220余年年的历史史， 119855年，Paasteernaack7首次提提出了具具有二层层结构的的报童问问题来研究供供应商与与零售商商利益关关系，Iyeer和BBerg
9、gen8，Emmmonss和Giilbeert9分别考虑虑了以供供应商为为领导层层，零售售商为从从属层，目标函函数是各各自的期期望利润润的二层层报童问问题。他他们考虑虑的都是是一个供供应商和和一个零零售商的的情形，Yanng等10考虑了了一个供供应商和和两个零零售商情情况下的的二层报报童问题题，分析析了零售售商之间间的一些些竞争行行为。LLau 等111研究究了不对对称市场场信息对对供应商商和零售售商的影影响，随随后研究究了需求求为随机机变量时时多零售售商的二二层报童童问题模模型（见见文112），后来他们们研究了了随机不不对称信信息对供供应商和和零售商商的影响响(见文文133)。最近，Ji和S
10、Shaoo144针对对需求是是模糊变变量时的的报童问问题，建建立了相相应的二二层报童童问题模模型.这些成功功的应用用使得报报童问题题得到了了更多的的关注，二层报报童问题题在建立立模型和和应用过过程中也出现了了许多尚尚待研究究的问题题，所以以报童问问题的研研究不仅仅具有理理论意义义而且还还具有重重要的实实用价值值，是一一项具有有发展前前途的研研究课题题，需要要我们更更加深入地去去研究和和总结。文14还还分析了了供应商商不同的的批量折扣扣策略以以及零售售商相应应的最优优策略，零售商商的订购购量达到到一定的的数量后后可以享享受优惠惠价格，从而零零售商能能够用更更低的批批发价格格购买产产品，供应商的的
11、产品销销售量也也增加了了。可见见，折扣扣措施使使交易双双方受益益，合约约也有这这样的作作用，下下面将研研究需求求是随机机变量时时合约决策策下的二层层报童问问题。3合约决决策条件件下的二二层报童童问题现货价格格受需求求的影响响具有高高度的不不确定性性，供应应商和零零售商面面临顾客客需求量量和市场场价格两两方面的的风险。合约规规定了产产品的单单价、购购买数量量、违约约惩罚、交易时时间和交交易地点点等，能能够为零零售商提提供订购购量与价价格的双双重保护护，而作作为拥有有合约价价格决策策权的供供应商也也有了最最低利益益保障。万仲平等等15,16研究了了合约决决策在电电力市场场中的应应用，首首次提出出了
12、一个个用于合合约交易易竞价策策略的随随机二层层规划模模型。李李善良和和朱道立立17利用委委托代理理理论考虑虑了两类类不对称称信息逆向向信息和和道德风风险并存存下的供供应链线线性合约约。Seethii, YYan和和Zhaang18研究了了供应链链管理和和库存论论中的合合约问题题，对数数量柔性合约约问题利利用二阶阶段规划划的思想想作了一一定的描描述。在在一个交交易周期期内，数数量柔性性合约(quaantiity-fleexibbiliity conntraactss)允许许零售商商在两个个阶段订订购产品品。第一一个阶段段发生在在销售季季节开始始之前的的一段时时期，我我们称之之为交货货期（llea
13、dd tiime），供应商商与零售售商签定定合约价价格为订购量为为的订购购合约；第二个个阶段发发生在销销售季节节开始的的时候，此时零零售商获获得了新新的市场场信息之之并对需需求预测测作更新新。零售售商确定定实际订订购量，若实际际订购量量大于，合约允允许零售售商再以以价格追追加订购购单位产品品，其中中。文18建立立了该问问题的二二阶段规规划模型型，第一一个阶段段以订购购量为决决策变量量，最大大化零售售商整个个周期的的利润；第第二个阶阶段以追追加订购购量和现现货市场场购买量量为决策策变量，最大化化零售商商在第二二阶段的的利润。本本文选取取供应商商为领导导层，零零售商为为从属层层，利用用二层规规划研
14、究究合约决策策下的二层报童童问题，供应商商和零售售商在决决策相互互影响的的情况下下，通过过求解模模型确定定最优决决策变量量值，以以此作为为依据，通过谈谈判确定定对自己己最为有有利的合合约。下面介绍绍下文将将要用到到的符号号： 现货市市场单位位产品批批发价格格 随随机变量量 单位产产品合约约批发价价格 决策策变量 单位产产品合约约保留价格格 零售商商的现货货市场购购买量 决策变变量 零售商商的合约约订购量量 决决策变量量 零售商商的合约约执行购购买量 决策策变量 模型的设设计者通通常假设设签订合合约的双双方都具具有良好好的信誉誉，从而确确保合约约的执行行。事实实上，理理性的签签约者在在利益的的驱
15、动下下可能会会违约, 一方方的违约对另另一方的的利益会会构成侵侵害，我我们需要要设计一一个合适适的惩罚罚机制来来避免违违约, 根本目目的是为为零售商商提供购购买量和和价格的的双重保护，同时使使得供应应商也有有最低利利益保障障。因此此, 我我们规定定: 在在合约签签订之后后, 零零售商向向供应商商支付“定金”, “定金”以单位位保留价价格根据据合约订订购量来来支付,在日后后的合约约交易中中,零售售商可以以灵活选选择合约约执行购购买量，并再次次为合约约执行购购买量支支付单位位合约价价格, 假设供应应商不能能够违约约。本文的的模型考考虑到了了现货市市场交易易的存在在,它是是对合约约市场交交易的补补充
16、。3.1 模型现货货市场模模型在现货市市场中，现货价价格是随随机变量量，假设设是市场需需求量的的函数。零售商商根据决决定订购购量。如如果不签签订合约约而只在在现货市市场交易易，供应应商与零零售商的的最优决决策可以以通过求求解如下下的模型而得到到：供应商的的利润函函数为： (44a)其中，是是零售商商的最大大期望利利润函数数问题的的解：(4b)其中，是是供应商商生产能能力的上上限或者者市场需需求量上上限。3.2供供应商问问题假设供应应商面对对的市场需需求量和和市场批批发价格格是不确确定的，并且产产品易腐腐烂或无无法储存存。我们们假设供供应商不不回收已已经售出出的产品品。要研研究的问问题是供供应商
17、如如何确定定适当的的合约价价格以获取最最大利润润。为了了简化模模型，我我们假设产品的单单位生产产成本为为常数，可以简简单看作作需求的的函数，并假设合合约执行行之后供供应商生生产的产产品恰能能满足零零售商的的现货市市场需求求量，供供应商的的利润函数数为：（5）其中第一一项是供供应商在在现货市市场中的的收入，第二二项与第第三项是是合约交交易的收收入, 第四项项是生产产成本， 是生生产上限限或市场需需求量上上限。由于是市市场需求求量的函函数，对对（5）求期期望，得得到供应应商的期期望利润润函数：（6）3.3 零售商商问题零售商为为了获取取最大利润润，根据现货货市场单单位产品品批发价价格的分分布规律律
18、，确定定最优的合合约订购购量，合合约执行行订购量量和现货市市场购买买量。这里假设设零售商商可以将将过剩的的产品以价价格处理理（此处处“处理”不是指供应商商的回收）。零售商的的利润函数数为：（7）当供不应应求时，第一项项是现货货市场收收入，第第二项是是合约收收入，第第三项第四项项和第五五项是成成本，最最后一项项是缺货货惩罚；当供过过于求时时，第一一项是零零售商的的收入，第二项项是处理理过剩产产品收入入，第三三项第四项和第五五项是成成本。对（7）求期望望，得到到零售商商的期望望利润函数数： （88）3.4模模型合约约决策下下的二层层规划模模型我们采取取供应商商为领导导层，零零售商为为从属层层，使用
19、用3.2和3.3中的定定义以及及约束条条件，可可以建立立如下的的二层规规划模型型：（9）其中， ，的定义义见(55)式与与(7)式。模型的的上层目标标函数和和约束函函数有下下层的决决策变量量，下层层的目标标函数和和约束函函数也有有上层的的决策变变量。上上层首先决策策，下层层根据上上层的决决策做出出反应。4 数值值结果例1 考考虑20001年年Lauu122(第第6633页)给给出的一个算算例：某种不不可储存存产品的市场需需求量服服从上的的均匀分分布， 零售价价格元，供应商商成本元元，处理理价格元元，缺货货惩罚元元。为研研究本文文的问题题的方便便我们对对此例做做改动，假设：生产或或市场需需求量上
20、上限，单位保留留价格元，考察现货货市场的的逆需求求函数为为不同情情形（见见表1）时，供供应商与与零售商商依据模模型签订合合约的最最优决策策与最大大期望利利润各为为多少？计算结结果见表表1：11表1 模型与Lauu122的决决策及其其结果比比较表Lau124.64463.00021.770情形13.6331063.11863.118228.4022.110情形23.655111.88650.88950.889228.3021.772情形34.688180.99500209.6095.996情形43.111118.22554.00254.002223.3857.556：Lauu122考虑虑的是一一
21、个供应应商与两两个零售售商的情情形，其其是与两两个零售售商交易易之和，本文为为了比较较的方便便，计算算了供应应商单独独与这一一个零售售商交易易所得收收入。通过表11可以看出出，模型能够结结合现货货、合约约两个市市场作出出最优决决策，而而Lauu122没有有研究现现货市场场。我们们发现随随着给出出的现货货价格的的降低， 供应应商的最最大期望望利润也有有所降低低，令人人高兴的的是此时时零售商商的期望望利润有了了大幅的的增加，从从而提高高了渠道道(chhannnel)的利润润。下面的例例子研究究引入合合约交易易与只在在现货市市场进行行交易相相比有何何变化。例2 假设市场场需求量量服从50,2000上
22、的的均匀分分布，零零售价格格元，供供应商的的成本元，处理价价格元，缺货惩惩罚元，生产或或市场需需求量上上限，单位保留留价格元，考察察现货市市场的逆逆需求函函数为不不同情形形（见表表2）时时，1) 供应商与与零售商商只在现现货市场场交易的的最优决决策与最最大期望望利润各为为多少?2) 供应商与与零售商商依据模模型签订合合约的最最优决策策与最大大期望利利润各为为多少?计算结果果见表22：表2 模型与模型型的决策策及其结结果比较较表逆需求函函数模型模型72.550236.8046.117模型2.833085.00885.008242.0479.338模型87.550241.8286.226模型2.7
23、5511.66775.88175.881241.9086.337模型102.50231.78134.10模型2.322102.5000231.78134.10从表2可可以得出出以下下结结论：1） 现货市场场价格高高的时候候对供应应商有利利，反之之则对零零售商有有利；2） 如果现货货市场价价格很高高，零售售商将不不从现货货市场购购买产品品而全部部选择合合约交易易；如果果现货市市场价格格很低，零售商商将选择择只在现现货市场场交易；3） 当现货市市场价格格很低时时，模型与模型的效果果是相同同的，但但是当现现货市场场价格很很高时，模型能够使使得供应应商与零零售商的的利润均比比不签约约时有所所提高；现实
24、生活活中，受受企业规规模和供供需关系系等因素素的影响响，供应应商与零零售商在在市场中中的力量量未必均均衡。市市场力量量大的主主体必然然在谈判判时充分分利用自自己的优优势而争争取更高高的利润润。下文文研究我我们的模模型如何何为谈判判提供客客观依据据。例3考虑虑供应商商在市场场中占主主导地位位的情形形下，尽尽管双方方已经将将合约价价格定为为，供应应商仍然然可以利利用自己己的市场场力量，通过谈谈判要求求零售商商订购一定定数量的的产品以以使得供供应商的的期望利利润有所所提高。但是，当供应应商提出出的订购购要求偏偏离零售售商的最最优订购购量太多多的时候，零售售商会因因为利润润太低或或无利可可图而拒拒绝交
25、易易。而零零售商的的利润低低到多少少会拒绝绝签约，就要看看双方在在市场中中的影响响力和一一些主观观因素了了。表33列出了了当市场场的逆需需求函数数为时可可能的谈谈判结果果，此时时合约价价格为，零售商商的最优优订购量量为。谈谈判过程程中，供供应商提提出不同同的订购购要求会会对双方方的利润润产生不不同的影影响，零零售商的的订购量量越大供供应商的的利润越越高，实实际订购购要求偏偏离最优优订购量量越多，零售商商的利润润越低。表3 供供应商占占主导地地位的谈谈判结果果表8085.0089095100105110226.4242.04254.7268.85283297.15311.378.6679.338
26、78.66377.4475.33472.44468.77 如如果零售售商在市市场中占占主导地地位，他他可以通通过谈判判影响供供应商的的合约定定价，而而自己则则根据定定价作出出最优的的反应以以获得最最高的利利润。供供应商为为了获得得订单，也将妥妥协把批批发价格格降低到到一个自自己可以以接受的的水平，降低的的程度与与零售商商的影响响力有关关。表44列出了了逆需求求函数为为时的一一些可能能的谈判判结果：表4 零零售商占占主导地地位的谈谈判结果果表3.33.12.92.8332.72.52.32.171778385.0088995101107234.3238.7240.7242.04240.3237.
27、5232.3224.767.11170.11373.55279.33877.55682.55688.88096.556如例3所所描述的的那样，供应商商和零售售商为了了获取更更高的利润润，市场场力量大大的主体体在谈判判过程中中将向对对方提出出对自己己有利的的条件。而这些些条件要要基于二二层报童童问题模模型的最最优解提提出，如如果偏离离最优解解的程度度很大，另一方方会因为为利润太太低或无无利可图图而拒绝绝交易。可见研研究二层层报童问问题模型型，对供供需双方方的签约约谈判有有重要意意义。5 结论论 本文文提出了了具有合合约决策策报童问问题的二二层规划划模型，该模型型的最优优解可以以作为供供应商与与零
28、售商商谈判的的依据。供应商商和零售售商以最最优解为为依据通通过谈判判而签定定合约，供应商商和零售售商的利利润比不不签合约时有有所提高高。尽管管本文考考虑的情情况比较较简单，但是具具有一定定的理论论意义和和实际价价值，该问题题还可以以在多供供应商多多零售商商问题、多周期期问题做做更为深深入的研研究。参考文献献1. N.C.Pettruzzzi, M.Dadda. Priicinng aand Newwsveendoor PProbblemm: AA Reevieew wwithh Exxtennsioon J,Opeerattionns RReseearcch, 19999, 47(2), 18
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38、g. Innvenntorry aand Suppplyy Chhainn Maanaggemeent witth FForeecasst UUpdaatessM, SSpriingeer, 20005.Reseearcch oof BBileevell Neewsbboy Proobleem wwithh Coontrractt Maakinng-DDeciisioonsWan Zhoongppingg1, Hoou KKuollin11，2,Cheeng Luu11Schhooll off Maatheematticss annd SStattistticss, WWuhaanUnnive
39、ersiity, Wuuhann, Huubeii, 43300772,CChinna2Facculttyoof FFounndattionnalEduucattionn,LiiMinng VVocaatioonall Unniveersiity, Quuanzzhouu, Fuujiaan, 36220000,ChhinaaAbsttracct: A biilevvel proograammiing moddel forr thhe nnewssvenndorr prrobllem witth cconttracct mmakiing-deccisiion is preesenntedd i
40、nn thhis papper, inn whhichh thhe ssuppplieer iis cconssideeredd ass thhe lleadder whiile thee reetaiilerr iss thhe ffollloweer. We alsso sstuddy tthe moddels eeffeect wheen tthe supppliier andd reetaiilerr neegottiatte aa coontrractt. IIn oordeer tto oobtaain thee maaximmal proofitt annd aavoiid tt
41、he rissks thaatarre ccaussed by thee unncerrtaiin mmarkket demmandd annd mmarkket priice, thhe ssuppplieer aand thee reetaiilerr prrefeer tto ssignn puurchhasee coontrractt. TThe supppliier andd thhe rretaaileer ccan commputte tthe opttimaal cconttracct ddeciisioon vvariiablles byuusinng mmodeel aanallysiis, andd thhe ooptiimumm sooluttionn caan bbe oobtaaineed tthrooughh thhe nnegootiaatioontoo gaain higgherrexppectt prrofiit.Keyyworrds: neewsvvenddor proobleem, biilevvel proograammiing, coontrracttneggotiiatiion, unncerrtaiintyy.