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1、合约决策条件下的一种二层报童问题模型+国家自然科学基金资助项目(70771080)作者简介：万仲平，男，教授，博士生导师，主要研究方向为最优化理论与算法及其系统决策科学等.万仲平1，侯阔林1，22，程露1(1武汉大大学数学与与统计学院院，湖北，武武汉，43300722；2黎明职业大大学公共教教学部，福建，泉州州，3622000)摘要：本文文研究了以以供应商为为领导层、零售商为为从属层的的合约决策策下报童问问题的二层层规划模型型，并讨论论了它在合合约谈判中中的作用。考虑到顾顾客需求和和市场价格格具有高度度的不确定定性，供应应商和零售售商为了回回避风险而而达到最大大的期望利利润，双方方通常可以以采
2、用签订订合约的方方式来进行行交易。为为此，我们们建立了一一个合约决决策条件下报童童问题的二二层规划模模型并计算了数值值结果。供供应商和零零售商可以以依据该模模型的最优优解通过谈谈判确定合合约决策变变量值以获取较高的的期望利润。关键词：报报童问题，二层规划划，合约谈判，不确定性性中国分类号号：C9311.1, O2211.2, O2277.0引言报童问题即即单周期库库存问题(Singgle-PPeriood Prrobleem), 是供应链链管理中最最重要的模模型之一，其历史可可以追溯到到18888年著名经经济学家EEdgewworthh应用它解解决银行的的现金流(cashh-floow)问题题
3、，19555年，WWhitiin首次建建立了受价价格影响的的报童问题题模型（详详见Pettruzzzi等11）。目前, 报童问问题在生产产、服务、管管理和金融融等领域成成功地取得了广广泛的应用用。有关报童问问题及其扩扩展问题的的研究见SSilveer 2 和Khhoujaa 3给出的综述述报告。与众多扩展展模型相比比, 经典典报童问题题模型是最最简单最基基本的问题题, 它可可以描述为为：报童每每天早晨以以单位批发发价从报社社买进报纸纸，然后以以单位零售售价出售，晚晚上将没有有卖掉的报报纸当作废废品以价格格（）处理掉掉。同时假假设：（11）报童拥拥有购买足足够多报纸纸的资金；（2）报报纸过剩只只
4、能以低于于零售价的的价格处理理；（3）报报纸供应不不足，会遭遭受缺货惩惩罚。报童童应该如何何确定订购购量而获得得最高的利润呢？显显然，报童童应该根据据市场需求求量来确定定订购量，而而市场需求求量是随机机的。假设设报童通过过经验已经经掌握了市市场需求量量的随机规规律，我们们就可以建建立优化模模型来求解解报童问题题了。由于市场价价格和顾客客需求具有有高度的不不确定性，供供应商和零零售商（即即报童）面面临来自于于市场价格和和顾客需求求两方面的的风险。而而合约能够够为零售商商提供购买买量和价格格的双重保护，同时时供应商也也有了最低低利益保障障。因此，在供应链管理领域, 合约问题得到了广泛的关注和研究。
5、然而, 目前对合约报童问题的研究都是将合约订购量(或合约价格)作为协调参数考虑的，这是一种带有决策者的主观意识的决策，并不能真正反映客观实际中的一些问题,可能会使供应商与零售商遭受一定的损失。为此我们将合约订购量、合约价格等作为决策变量，根据市场需求量情况，供应商既考虑市场价格也要对合约价格作出决策，同时，零售商决策市场订购量与合约订购量。由此，基于二层规划模型的思想，我们将建立具有合约决策的二层报童问题模型。数值结果表明，该问题的研究既能够为供应商和零售商提供谈判的依据也有助于提高供应链渠道（channel）的利润。1 经典报报童问题经典报童问问题研究在在概率需求求下零售商商的决策问问题，零
6、售售商寻找产产品的最优优订购量以获获取最大的的期望利润润。经典报童问问题中,零零售商的利利润函数为为： （11）其中随机变变量是市场需求求量， 是单位位产品的零零售价格，是单位产品的批发价格，是订购量，是单位产品的缺货惩罚，是单位产品的处理价格。由于是随机变量，零售商的期望利润为： （22）其中是市场场需求量的的概率密度度函数，是是市场需求求量的分布布函数，记记。设最优优订购量是是，容易证明明是凹函数数，再由一阶最最优性条件件可以得到到: （3）上式被称为为临界分位位点公式, 我们可以以通过它求求出最优解解。2二层报童童问题目前在一些些行业（如如电力）中中，市场的激烈竞争争使得市场格格局发生了
7、了很大的变变化, 供应商与零零售商之间间既有合作作又有竞争争，不能再作为一一个垂直统统一的经济济个体去研究。而经典报童童问题没有有考虑供应商商与零售商商决策之间间的相互影影响，因此，有必要对对供应商与与零售商之之间的层次次递阶关系系及其决策的的相互影响响加以研究究。二层报报童问题是是二层规划划在报童问问题中的应应用，二层层规划是一一种具有二二层递阶结结构的系统统优化问题题。上下层层决策者在在约束条件件下各自优优化其目标标函数，上上层的决策策影响下层层，但不能能控制下层层；下层通通过其最优优解(或目目标最优值值)反馈给给上层而影影响上层的的决策。DDempee4、Colsson等5和王广民民等6
8、综述了二二层规划问问题的理论论、方法和和应用。二层报童问问题的研究究已经有220余年的的历史， 19855年，Passternnack7首次提出出了具有二二层结构的的报童问题题来研究供应应商与零售售商利益关关系，Iyerr和Berrgen8，Emmoons和GGilbeert9分别考虑了了以供应商商为领导层层，零售商商为从属层层，目标函函数是各自自的期望利利润的二层层报童问题题。他们考考虑的都是是一个供应应商和一个零售售商的情形形，Yanng等110考虑虑了一个供供应商和两两个零售商商情况下的的二层报童童问题，分分析了零售售商之间的的一些竞争争行为。LLau 等等11研究了不不对称市场场信息对
9、供供应商和零零售商的影影响，随后后研究了需求求为随机变变量时多零零售商的二二层报童问问题模型（见见文122）， 后来他们研研究了随机机不对称信信息对供应应商和零售售商的影响响(见文13)。最近，JJi和Shhao114针对对需求是模模糊变量时时的报童问题题，建立了了相应的二层层报童问题题模型.这些成功的的应用使得得报童问题题得到了更更多的关注注，二层报童童问题在建建立模型和和应用过程程中也出现了许多多尚待研究究的问题，所以报童问题的研究不仅具有理论意义而且还具有重要的实用价值，是一项具有发展前途的研究课题，需要我们更加深入地去研究和总结。文14还分析了供应商不同的批量折扣策略以及零售商相应的最
10、优策略，零售商的订购量达到一定的数量后可以享受优惠价格，从而零售商能够用更低的批发价格购买产品，供应商的产品销售量也增加了。可见，折扣措施使交易双方受益，合约也有这样的作用，下面将研究需求是随机变量时合约决策下的二层报童问题。3合约决策策条件下的二二层报童问问题现货价格受受需求的影影响具有高高度的不确确定性，供供应商和零零售商面临临顾客需求求量和市场场价格两方方面的风险险。合约规规定了产品品的单价、购购买数量、违违约惩罚、交交易时间和和交易地点点等，能够够为零售商商提供订购购量与价格格的双重保保护，而作作为拥有合合约价格决决策权的供供应商也有有了最低利利益保障。万仲平等15,16研究了合约决策
11、在电力市场中的应用，首次提出了一个用于合约交易竞价策略的随机二层规划模型。李善良和朱道立17利用委托代理理论考虑了两类不对称信息逆向信息和道德风险并存下的供应链线性合约。Sethi, Yan和Zhang18研究了供应链管理和库存论中的合约问题，对数量柔性合约问题利用二阶段规划的思想作了一定的描述。在一个交易周期内，数量柔性合约(quantity-flexibility contracts)允许零售商在两个阶段订购产品。第一个阶段发生在销售季节开始之前的一段时期，我们称之为交货期（lead time），供应商与零售商签定合约价格为订购量为的订购合约；第二个阶段发生在销售季节开始的时候，此时零售商
12、获得了新的市场信息之并对需求预测作更新。零售商确定实际订购量，若实际订购量大于，合约允许零售商再以价格追加订购单位产品，其中。文18建立了该问题的二阶段规划模型，第一个阶段以订购量为决策变量，最大化零售商整个周期的利润；第二个阶段以追加订购量和现货市场购买量为决策变量，最大化零售商在第二阶段的利润。本文选取供应商为领导层，零售商为从属层，利用二层规划研究合约决策下的二层报童问题，供应商和零售商在决策相互影响的情况下，通过求解模型确定最优决策变量值，以此作为依据，通过谈判确定对自己最为有利的合约。下面介绍下下文将要用用到的符号号： 现现货市场单单位产品批批发价格 随机变量量 单单位产品合合约批发
13、价价格 决策策变量 单单位产品合合约保留价格 零零售商的现现货市场购购买量 决策变变量 零零售商的合合约订购量量 决决策变量 零零售商的合合约执行购购买量 决策变变量 模型的设计计者通常假假设签订合合约的双方方都具有良良好的信誉誉，从而确保保合约的执执行。事实实上，理性性的签约者者在利益的的驱动下可可能会违约约, 一方的违约对另一一方的利益益会构成侵害害，我们需需要设计一一个合适的的惩罚机制制来避免违违约, 根本目目的是为零零售商提供供购买量和和价格的双双重保护，同时时使得供应应商也有最最低利益保保障。因此此, 我们们规定: 在合约签签订之后, 零售商商向供应商商支付“定金”, “定金”以单位
14、保保留价格根根据合约订订购量来支支付,在日日后的合约约交易中,零售商可可以灵活选选择合约执执行购买量量，并再次次为合约执执行购买量量支付单位位合约价格格, 假设供应商商不能够违违约。本文的模模型考虑到到了现货市市场交易的的存在,它它是对合约约市场交易易的补充。3.1 模模型现货市市场模型在现货市场场中，现货货价格是随随机变量，假假设是市场需求求量的函数数。零售商商根据决定定订购量。如如果不签订订合约而只只在现货市市场交易，供供应商与零零售商的最最优决策可可以通过求求解如下的的模型而得到：供应商的利利润函数为为： (4a)其中，是零零售商的最最大期望利利润函数问问题的解： (4b)其中，是供供应
15、商生产产能力的上上限或者市市场需求量量上限。3.2供应应商问题假设供应商商面对的市场需求求量和市场场批发价格格是不确定定的，并且且产品易腐烂烂或无法储储存。我们们假设供应应商不回收收已经售出出的产品。要研研究的问题题是供应商商如何确定定适当的合合约价格以以获取最大大利润。为了了简化模型型，我们假假设产品的单位位生产成本本为常数，可以简单单看作需求求的函数，并假设合约约执行之后后供应商生生产的产品恰能满满足零售商商的现货市市场需求量量，供应商商的利润函数为为： （5）其中第一项项是供应商商在现货市市场中的收收入，第二项项与第三项项是合约交易易的收入, 第四项项是生产成成本， 是是生产上限限或市场
16、需求求量上限。由于是市场场需求量的的函数，对对（5）求期望望，得到供供应商的期期望利润函数： （6）3.3 零零售商问题题零售商为了了获取最大利润，根据现货市市场单位产产品批发价价格的分布布规律，确确定最优的合约约订购量，合合约执行订订购量和现货市场场购买量。这里假设零零售商可以以将过剩的的产品以价格格处理（此此处“处理”不是指供应商的回收）。零售商的利利润函数为为： （7）当供不应求求时，第一一项是现货货市场收入入，第二项项是合约收收入，第三三项第四项和第第五项是成成本，最后后一项是缺缺货惩罚；当供过于于求时，第第一项是零零售商的收收入，第二二项是处理理过剩产品品收入，第第三项第四项和第五项
17、项是成本。对（7）求求期望，得得到零售商商的期望利利润函数： （8）3.4模型型合约决决策下的二二层规划模模型我们采取供供应商为领领导层，零零售商为从从属层，使使用3.2和3.3中的定义义以及约束束条件，可可以建立如如下的二层层规划模型型： （9）其中 ， ，的定义见见(5)式式与(7)式。模型的上上层目标函函数和约束束函数有下下层的决策策变量，下下层的目标标函数和约约束函数也也有上层的的决策变量量。上层首首先决策，下下层根据上上层的决策策做出反应应。4 数值结结果例1 考虑虑20011年Lauu12(第6663页)给出的一个算例例：某种不可可储存产品品的市场需求求量服从上的均均匀分布， 零售
18、价格格元，供应应商成本元元，处理价价格元，缺缺货惩罚元元。为研究究本文的问问题的方便便我们对此此例做改动动，假设：生产或市场场需求量上上限，单位保留价格元，考察现货市市场的逆需需求函数为为不同情形形（见表11）时，供供应商与零零售商依据据模型签订合约约的最优决决策与最大大期望利润润各为多少少？计算结果果见表1：11表1 模模型与Lau12的决决策及其结结果比较表表Lau1124.6463.00021.700情形13.631063.18863.188228.44022.100情形23.65111.86650.89950.899228.33021.722情形34.68180.95500209.66
19、095.966情形43.11118.25554.02254.022223.33857.566 ：LLau112考虑虑的是一个个供应商与与两个零售售商的情形形，其是与与两个零售售商交易之之和，本文文为了比较较的方便，计计算了供应应商单独与这一一个零售商商交易所得得收入。通过表1可可以看出，模型能够结合合现货、合合约两个市市场作出最最优决策，而而Lau12没没有研究现现货市场。我我们发现随随着给出的的现货价格格的降低， 供应商的的最大期望望利润也有所所降低，令令人高兴的的是此时零零售商的期期望利润有了大大幅的增加加，从而提提高了渠道道(chaannell)的利润润。下面的例子子研究引入入合约交易易
20、与只在现现货市场进进行交易相相比有何变变化。例2 假假设市场需需求量服从从50,200上的均匀匀分布，零零售价格元元，供应商商的成本元，处处理价格元元，缺货惩惩罚元，生产或市场场需求量上上限，单位保留价格元，考察现货货市场的逆逆需求函数数为不同情情形（见表表2）时，1) 供应商与零零售商只在在现货市场场交易的最最优决策与与最大期望望利润各为多多少?2) 供应商与零零售商依据据模型签订合约约的最优决决策与最大大期望利润润各为多少少?计算结果见见表2：表2 模模型与模型的决策及及其结果比比较表逆需求函数数模型模型72.500236.88046.177模型2.83085.08885.088242.0
21、0479.388模型87.500241.88286.266模型2.7511.67775.81175.811241.99086.377模型102.550231.778134.110模型2.32102.55000231.778134.110从表2可以以得出以下下结论论：1） 现货市场价价格高的时时候对供应应商有利，反反之则对零零售商有利利；2） 如果现货市市场价格很很高，零售售商将不从从现货市场场购买产品品而全部选选择合约交交易；如果果现货市场场价格很低低，零售商商将选择只只在现货市市场交易；3） 当现货市场场价格很低低时，模型与模型的效果是是相同的，但但是当现货货市场价格格很高时，模模型能够使得
22、得供应商与与零售商的的利润均比不不签约时有有所提高；现实生活中中，受企业业规模和供供需关系等等因素的影影响，供应应商与零售售商在市场场中的力量量未必均衡衡。市场力量大大的主体必必然在谈判判时充分利利用自己的的优势而争争取更高的的利润。下下文研究我我们的模型型如何为谈谈判提供客客观依据。例3考虑供供应商在市市场中占主主导地位的的情形下，尽尽管双方已已经将合约约价格定为为，供应商商仍然可以以利用自己己的市场力力量，通过过谈判要求求零售商订订购一定数数量的产品品以使得供供应商的期期望利润有有所提高。但但是，当供供应商提出出的订购要要求偏离零零售商的最最优订购量量太多的时候，零售商商会因为利利润太低或
23、或无利可图图而拒绝交交易。而零零售商的利利润低到多多少会拒绝绝签约，就就要看双方方在市场中中的影响力力和一些主主观因素了了。表3列列出了当市市场的逆需需求函数为为时可能的的谈判结果果，此时合合约价格为为，零售商的的最优订购购量为。谈谈判过程中中，供应商商提出不同同的订购要要求会对双双方的利润润产生不同同的影响，零零售商的订订购量越大大供应商的的利润越高高，实际订购要要求偏离最最优订购量量越多，零零售商的利利润越低。表3 供应应商占主导导地位的谈谈判结果表表8085.0889095100105110226.44242.004254.77268.885283297.115311.3378.679.
24、38878.63377.475.34472.44468.7 如果果零售商在在市场中占占主导地位位，他可以以通过谈判判影响供应应商的合约约定价，而而自己则根根据定价作作出最优的的反应以获获得最高的的利润。供供应商为了了获得订单单，也将妥妥协把批发发价格降低低到一个自自己可以接接受的水平平，降低的的程度与零零售商的影影响力有关关。表4列列出了逆需需求函数为为时的一些些可能的谈谈判结果：表4 零售售商占主导导地位的谈谈判结果表表3.33.12.92.832.72.52.32.171778385.0888995101107234.33238.77240.77242.004240.33237.55232
25、.33224.7767.11170.13373.52279.38877.56682.56688.80096.566 如如例3所描描述的那样样，供应商商和零售商商为了获取取更高的利润，市市场力量大大的主体在谈判判过程中将将向对方提提出对自己己有利的条条件。而这这些条件要要基于二层层报童问题题模型的最最优解提出出，如果偏偏离最优解解的程度很很大，另一一方会因为为利润太低低或无利可可图而拒绝绝交易。可可见研究二二层报童问问题模型，对对供需双方方的签约谈谈判有重要要意义。5 结论 本文提提出了具有有合约决策报童问问题的二层层规划模型型，该模型型的最优解解可以作为为供应商与与零售商谈谈判的依据据。供应商
26、商和零售商商以最优解解为依据通通过谈判而而签定合约约，供应商商和零售商商的利润比不签签合约时有所所提高。尽尽管本文考考虑的情况况比较简单单，但是具具有一定的的理论意义义和实际价价值，该问题还可可以在多供供应商多零零售商问题题、多周期期问题做更更为深入的的研究。参考文献1. N.C.PPetruuzzi, M.DDada. Priicingg andd Newwsvenndor Probblem: A RRevieew wiith EExtennsionn J, Operratioons RReseaarch, 19999, 447(2), 1883-1449.2. E.A.SSilveer,
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