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1、全等三角形中几种全等三角形中几种全等三角形中几种全等三角形中几种常见的辅助线添法常见的辅助线添法常见的辅助线添法常见的辅助线添法知识回顾：知识回顾：一般三角形的全等条件：一般三角形的全等条件：定义（重合）法；定义（重合）法；1.SSS1.SSS；2.SAS2.SAS；3.ASA3.ASA；4.AAS.4.AAS.解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边）：已知两边-找第三边找第三边(SSS)找夹角找夹角（SAS)(2):已知一边一角已知一边一角-已知一边和它的邻角已知一边和它的邻角已知一边和它的对角已知一边和
2、它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角(AAS)找一角找一角(AAS)(3):已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)1.1.连结连结目的目的:构造构造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形适用情况适用情况:图中已经图中已经存在两个点存在两个点A和和B B语言描述语言描述:连结连结ABAB注意点注意点:双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法1.1.如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证
3、求证:B=D.:B=D.ACBD连接连接ACAC构造全等三角形构造全等三角形连连线线 构构造造全全等等连线连线 构造全等构造全等2.2.如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O,O,且且AB=CDAB=CD,AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm,求求ODOD的长的长.连接连接BDBD构造全等三角形构造全等三角形ACBDO拓展题拓展题3.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEFBCAFED目的目的:构造构造直角三角形直角三角形,得到得到斜边相等斜边相等适用情况适用情况:图中已经存在图中已经存在一条线段一条线段MNMN 和和垂直平分线上一个点垂直平分线上一个
4、点A A 语言描述语言描述:连结连结A AM M和和A AN N注意点注意点:双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法2.2.倍长中线法倍长中线法1.1.已知，如图已知，如图ADAD是是ABCABC的中线，的中线，ABCDE延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=ADDE=AD，连结连结CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范围？的取值范围？倍长中线证明：延长证明：延长AD至至E，使，使DE=AD，连接，连接BE，CE AD为为ABC的中线的中线 （已知）（已知）BD=CD （中线定义）（中线定义）在在AC
5、D和和EBD中中 BD=CD （已证）（已证）1=2 （对顶角相等）（对顶角相等）AD=ED （辅助线作法）（辅助线作法）ACDEBD （SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）在在ABE中有：中有：AB+BEAE（三角形两边之（三角形两边之 和大于第三边）和大于第三边）AB+AC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）（常延长中线加倍，构造全等三角形）2.练习；如图练习；如图1，AD是是ABC的中线，的中线，AB=3,AC=5，求中线，求中线AD的取值范围的取值范围。例、例、如图，如图，AD为为ABC的中线，的中线，ADB、ADC的平分线交的平分线交AB、AC于于
6、E、F。求证：求证：BE+CFEF 分析：本题中已知分析：本题中已知D D为为BCBC的中点，的中点，要证要证BEBE、CFCF、EFEF间的不等关系，可利用点间的不等关系，可利用点D D将将BEBE旋转，旋转，使这三条线段在同一个三角形内。使这三条线段在同一个三角形内。1.已知在已知在ABC中中,C=2 B,1=2求证求证:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC,连接连接DE截长截长F在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD,连接连接DF补短补短A1BCD2342.如图所示，已知如图所示，已知AD BC，1=2，3=4，直线直线DC经过点经过点
7、E交交AD于点于点D，交交BC于点于点C。求证：求证：AD+BC=ABEF在在AB上取点上取点F使得使得AF=AD,连接连接EF截长补短目的目的:构造构造直角三角形直角三角形,得到得到距离相等距离相等适用情况适用情况:图中已经图中已经存在一个点存在一个点P P和和一条线一条线MNMN语言描述语言描述:过点过点P P作作PDPDMNMN注意点注意点:双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法4.4.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段1.1.如图如图,ABC,ABC中中,C=90,C=90o o,BC=10,BC=10,BD=6,ADBD=6
8、,AD平分平分BAC,BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离.过点过点D D作作DEABDEAB于点于点E EACDBE角平分线上的点向角两边做垂线段角平分线上的点向角两边做垂线段角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例:如图如图,梯形中梯形中,A=D=90,A=D=90o o,BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线,求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD过点过点E E作作EFBCEFBC构造了构造了:全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BF 思考思考:你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论?E方法方法3:旋转法旋
9、转法如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，E为为BC上的一点，上的一点，F为为CD上的一点，上的一点，EAF=45，求证：，求证：BE+DF=EFABCDEFE将将ABEABE绕点绕点A A逆时逆时针方向旋转针方向旋转9090，使AB与AD重合,点E落在E处（B）线段与角求相等，先找全等试试看。线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可向两边作垂线。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段计算和与差，巧用截长补短法。线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线三角形里有中线，延长中线=中线。中线。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。小结