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1、解析几何习题课(二)Chap.4 二次曲面二次曲面(quadric surfaces)(quadric surfaces)空间解析几何的两个基本问题：一、给定曲面，建立方程；二、给定方程,研究它的图形及其几何性质。1 1、柱面、柱面 (cylinder)定义定义：一直线L沿一已知曲线C平行移动而得的曲面称为 柱面柱面。C 准线(directrix)，L 母线(ruling)直柱面：射影柱面射影柱面依次消去一个变元射影柱面柱面的参数方程柱面的参数方程(parametric equation)（P147 ex4）圆锥面圆锥面直线l1绕另一条与l1相交于O的直线l2旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面.
2、O 顶点(vertex)两直线的夹角 半顶角锥面锥面一直线通过定点O，且沿空间中一条定曲线C 移动所产生的曲面称为锥面.O 顶点 C 准线（不唯一）动直线 母线（不唯一）2 2、锥、锥 面面 (conical(conical surface)surface)锥面的参数方程（锥面的参数方程（P152 ex6）3、旋转曲面(surface of revolution)定义定义：曲线C绕定直线l旋转一周所生成的曲面称为旋转旋转 曲面曲面。l 旋转轴，C 母线旋转曲面的参数方程（旋转曲面的参数方程（P158 ex3）4 4、椭、椭 球球 面面 (ellipsoid)(ellipsoid)（1 1）椭球
3、面的方程）椭球面的方程（2 2）椭球面的性质）椭球面的性质（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。（2）并有六个顶点（3 3）形状（与三个坐标面的交线）：）形状（与三个坐标面的交线）：(1)是一个椭圆(2)(ellipse)(2)是一个椭圆(3)是一个椭圆（4 4）椭球面的参数方程椭球面的参数方程（广义球坐标系）5 5、双曲面、双曲面 (hyperboloid)(hyperboloid)I I 单叶双曲面单叶双曲面 (hyperboloid of one sheet)(hyperboloid of one sheet)方程：方程：性质：性质：（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。（2）有
4、四个顶点（3）形状：（1）是一个椭圆 （腰椭圆）（2）是双曲线 (hyperbola)（3）是双曲线（4）是一个椭圆=+=+hzchbyax2222221IIII双叶双曲面双叶双曲面 (hyperboloid of two sheets)方程：性质：（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。（2）有两个顶点（3）形状：（6）是双曲线（7）是双曲线 参数方程参数方程(P168ex.7)(1)单叶双曲面(2)双叶双曲面6 6、抛、抛 物物 面面 (paraboloidparaboloid)I I椭圆抛物面椭圆抛物面(elliptic(elliptic paraboloidparaboloid)方程
5、方程：性质性质：（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面，对称于z轴，无对称中心。（2）与对称轴交于原点（0，0，0），叫做椭圆抛物面的顶点。（3）形状：（1）是抛物线 (parabola)（2）是抛物线 主主抛抛物物线线（3）是一个椭圆 容易知道图形（3）的两对顶点分别在主抛物线（1）与（2）上。=+hzhbyhax2222122 （4）是抛物线=-=tybtzax)2(22222IIII双曲抛物面双曲抛物面 (hyperbolic(hyperbolic paraboloidparaboloid)方程方程：性质性质：（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面，对称于z轴，无对称中心。（2）
6、形状：（5）是一对相交于原点的直线（6）是抛物线（7）是抛物线 主主抛抛物物线线（8）是双曲线(hyperbola)=-hzhbyhax2222122（9）是抛物线、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线定义：由一族直线生成的曲面称为直纹面直纹面(ruled surface)这族直线称为曲面的一族直母线一族直母线。、单叶双曲面、单叶双曲面u 族直母线v 族直母线&对于单叶双曲面上的每个点，两族直母线中各有一条 直母线经过该点、双曲抛物面、双曲抛物面&对于双曲抛物面上的每个点，两族直母线中各有一条直母线经过该点直母线：定理定理单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛
7、物面上异族的任意两直母线必相交。定理定理单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面上同族的全体直母线平行于同一平面。例例 题题例例1.研究方程解解:配方得此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.例例 2.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为的圆锥面方程.解解:在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例例3.求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转绕
8、z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为例 4、求准线是 ，母线方向为 的柱面方程。解：准线可改写为所求柱面方程为消去参数 u,v 得例 5、求半径为2，对称轴为 的圆柱面方程。解：在所求圆柱面上任取一点 ，由得例 6、求准线是 ，顶点为原点的锥面方程。解：准线方程为所求锥面方程为消去参数 u,v 得例7、由椭球面 的中心，引三条两两 互相垂直的射线，分别交曲面于 ，设 ，试证：（课本P162,ex4）解：设 的单位向量分别为P1的坐标为 ，代入椭球面方程，得 同理可得 由于 两两垂直，知 是正交的矩阵，于是有所以例 8、试求单叶双曲面 上互相垂直的两 直母
9、线交点的轨迹方程。（课本P182,ex8）解：过单叶双曲面上所求轨迹上一点 的两条直母线分别为L1和L2当 时，当 时，L1和L2的方向向量分别为当 时，当 时，由 垂直，得 分别在 和 的情况下，计算上式各项，再整理得所求轨迹均为 例例9.9.将下列曲线化为参数方程表示:解解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 ,得旋转曲面方程为例例10.10.求空间曲线:例例11.11.直线绕 z 轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程.解解:在 L 上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程例例12 12 求求在xoy 面上的投
10、影曲线方程。例例13 13 求所围的立体在 xoy 面上的投影区域。上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:例例1414求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的作作 图图 练练 习习(2)(1)1、画图:(3)(4)思考思考:交线情况如何?交线情况如何?(5)例2、画出下列各曲面所围图形:1.解解yxzo得得交线交线L：由由z=0.1yxzo解解L得得交线交线L：.投影柱面投影柱面由由2aaxzy0作图练习作图练习z=0y=0 x=0aaxzy0作图练习作图练习.aaxzy0学画草图学画草图学画草图学画草图.a作图练习作图练习