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1、【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 9训练案知能提升 新人教A版必修4A.基础达标1如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将传播至()A甲 B乙C丙 D丁解析：选C.相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.2一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于()A. BC. D解析：选D.因为周期T，所以2，则l.3商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)504sin
2、(t0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A0，5 B5，10C10，15 D15，20解析：选C.由2k2k，kZ，得4kt4k，kZ.当k1时，得t3，5，而10，153，5，故在10，15上是增加的4设yf(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0t24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数yf(t)的图像可以近似地看成函数ykAsin(t)的图像，下面函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()Ay123sint，t0，2
3、4By123sin，t0，24Cy123sint，t0，24Dy123sin，t0，24解析：选A.将t0及t3分别代入给定的四个选项A，B，C，D中，可以看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.5如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图像大致是()解析：选C.由lR可知，结合圆的几何性质可知Rsin ，所以d2Rsin 2Rsin ，又R1，所以d2sin ，故结合正弦图像可知，选C.6.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角(0，0)，则这段曲线的函数解析式为_解析：图中从6时到
4、14时的图像是函数yAsin(x)b的半个周期的图像所以146，解得，由图知A(3010)10，b(3010)20，这时y10sin20，将x6，y10代入上式可取.综上所求的解析式为y10sin20，x6，14答案：y10sin20，x6，148某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针匀速地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d_，其中t0，60解析：秒针1 s转弧度，t s后秒针转了 t弧度，如图所示，(1)当t0时，d0，(2)当0t30时，由sin ，所以d10sin ；(3)当t30时，d10；(
5、4)当30t60时，sin，即sin，所以d10sin10sin；(5)当t60时，d0.综上可知当0t60时，均有d10sin.答案：10sin 9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律如图所示，轮胎以角速度做圆周运动，P0为气针的初始位置，气针(看作一点)到原点O距离为r cm，求气针P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期，当，r1时，说明其图像与函数ysin t图像有什么关系？解：过P作x轴的垂线(图略)，设垂足为M，则MP就是正弦线所以yrsin(t)，因此T.当，r1时，ysin，其图像是将ysin t的图像向左平移个单位长度得到的，如图所示1
6、0生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).时间(时)温度()036.8236.7436.6636.7836.810371237.21437.31637.41837.32037.222372436.8(1)在直角坐标系中以时间为横轴，温度为纵轴，描述以上数据组对应的点的图像；(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据；(3)作出(2)中所选函数的图像解：(1)图像如下(2)设t时的体温yAsin(t)c，则c37，A0.4，.由0.4sin3737.4，得sin1，取.故可用函数y0.4sin37来近似描述这些数
7、据(3)图像如下B.能力提升1.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致是()解析：选C.因为P0(，)，所以P0Ox，按逆时针转时间t后得POP0t，POxt，此时P点纵坐标为2sin，所以d2，当t0时，d，排除A，D；当t时，d0，排除B.2据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()Af(x)2sin7(1x12，xN)Bf(x)9sin(1x12，x
8、N)Cf(x)2sinx7(1x12，xN)Df(x)2sin7(1x12，xN)解析：选A.由得又T2(73)8.所以，所以f(x)2sin7，由f(3)9，得sin1.所以2k(kZ)又因为|，所以，所以f(x)2sin7.3.如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边ABC，设AOBx时，S四边形OACB等于_解析：如图，S四边形OACBSAOBSABC.过点B作BDMN于D，则BDBOsin(x)，即BDsin x.所以SAOB2sin xsin x.因为ODBOcos(x)cos x，所以AB2BD2AD2sin2x(cos x2
9、)254cos x.所以SABCABABsin 60cos x.所以S四边形OACBsin xcos x.答案：sin xcos x4如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|3，P0为圆周上一点，且AOP0，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动(1)1秒钟后，点P的横坐标为_(2)t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为_解析：(1)1秒钟后，点P从P0处绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为.(2)由题意得，周期为2，则t秒钟后，旋转角为t，则此时点P的横坐标为2c
10、os，所以点P到直线l的距离为32cos，t0.答案：(1)(2)32cos(t0)5.一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度 rad/s做圆周运动已知绳子的长度为l，求：(1)P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；(2)点P的运动周期和频率；(3)如果 rad/s，l2，试求y的最值；(4)在(3)中，试求小球到达x轴的非负半轴所需的时间解：(1)ylsin(t)，t0，)(2)由解析式得，周期T，频率f.(3)将 rad/s，l2，代入解析式，得到y2sin，t0，)得最小正周期T12.当t12k1.5，kN时，ymax2，当t12k7.5，kN时，
11、ymin2.(4)设小球经过时间t后到达x轴非负半轴，令t2，得t10.5，所以当t0，)时，t12k10.5，kN，所以小球到达x轴非负半轴所需要的时间为10.512k，kN.6(选做题)某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0t24 单位：小时)而周期性变化为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据平均值如下表：y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.41.0t(时)03691215182124(1)试画出散点图；(2)观察散点图，从yatb，yAsin(t)b，yAcos(t)b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天进行训练的具体时间段解：(1)散点图如图(2)由散点图可知，选择yAsin(t)b函数模型较为合适由图可知A1.41.00.4，T12，b1，此时解析式为ysin1，以点(0，1.0)为“五点法”作图的第一关键点则有00，所以0.所求函数的解析式为ysin1(0t24)(3)由ysin1(0t24)，得sin，则2k2k，(kZ)，得112kt712k，(kZ)令k0，1，2，从而得0t7或11t19，或23t24，所以应在白天11时19时进行训练8