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1、一一.机械振动：机械振动：物体在一定位置物体在一定位置(平衡位置平衡位置)附近作重复往返运动称为机械振动。附近作重复往返运动称为机械振动。第一节第一节 振动的一般概念振动的一般概念振动振动自然界的振动自然界的振动弹簧振子弹簧振子二二.描述简谐振动的三个重要物理量描述简谐振动的三个重要物理量2.振动的周期振动的周期 频率频率 圆频率：圆频率：第二节第二节 简谐振动简谐振动3.位相和初位相：位相和初位相：速度的位相比位移超前速度的位相比位移超前 .简谐振动的运动学特征：简谐振动的运动学特征：加速度的位相比位移超前或落后加速度的位相比位移超前或落后 .（即：（即：与位移反相）与位移反相）0 x,v,
2、a t例：下图为例：下图为x，v，a与与t的曲线图，分别指出的曲线图，分别指出各颜色代表的是哪个曲线关系。各颜色代表的是哪个曲线关系。四四.简谐振动的矢量图表示法（旋转矢量法）简谐振动的矢量图表示法（旋转矢量法）1、2象限象限 v0 。辅助圆辅助圆振动振动2比振动比振动1超前超前例例4.一一质质点点在在x轴轴上上作作简简谐谐振振动动，振振辐辐A=4 cm，周周期期T=2s，其其平平衡衡位位置置取取作作坐坐标标原原点点若若t=0时时刻刻质质点点第第一一次次通通过过x=-2cm处处，且且向向x轴轴负负方方向向运运动动，则则质质点点第第二二次次通通过过x=-2 cm处的时刻为处的时刻为 (A)1 s
3、 (B)(2/3)s (C)(4/3)s (D)2 s t=0 仍仍做做简谐振动；简谐振动；圆频率仍为：圆频率仍为：弹簧振子的无阻尼自由弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动。振动是简谐振动。结论结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率，振动的周期分别为：角频率，振动的周期分别为：当当 时时 1.单摆：单摆：二二.微振动的简谐近似：微振动的简谐近似：摆球对摆球对C点的力矩点的力矩2.复摆复摆:绕不过质心的水平固定轴转动的刚体绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。当当 时时三三.已知简谐振动的
4、初始条件已知简谐振动的初始条件(x0 、v0)，求振幅求振幅A和初相和初相 ：（最好最好求出求出A后，再作旋转矢量图，由后，再作旋转矢量图，由x0、v0 画出旋转矢量的位置而求出初相画出旋转矢量的位置而求出初相 ）势能：势能：简谐振动能量：简谐振动能量：EPotEEkE=(1/2)kA2xto动能：动能：讨论：讨论：1.由初始条件确定常数由初始条件确定常数A：2.若弹簧振子竖直悬挂或在光滑斜面上振动，若弹簧振子竖直悬挂或在光滑斜面上振动，其其振动频率仍保持不变；只要选择合适的重振动频率仍保持不变；只要选择合适的重力势能零点，其各能量表达式也保持不变，力势能零点，其各能量表达式也保持不变，此时势
5、能应理解为重力势能与弹性势能之和。此时势能应理解为重力势能与弹性势能之和。结论：结论：同方向、同频率的简谐振动合成后仍然同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是同频率的简谐振动是同频率的简谐振动。x 旋转矢量法旋转矢量法方法：方法：第五节第五节 同方向的简谐振动的合成同方向的简谐振动的合成一一.同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成重要结论：重要结论：振动减弱振动减弱x振动加强振动加强x 若若两两旋转矢量重合，则：旋转矢量重合，则：=1=2 若若两两旋转矢量反向，则旋转矢量反向，则 与与振幅大的分振动的初相相同。振幅大的分振动的初相相同。二二.同方向、不同频率的简谐振动的合成
6、同方向、不同频率的简谐振动的合成利用三角函数关系式：利用三角函数关系式：得到合成振动表达式得到合成振动表达式：xx xt tx x2 2t tx x1 1t t 两个同方向简谐两个同方向简谐振动在合成时，由于振动在合成时，由于频率的微小差别而造频率的微小差别而造成的合振动时而加强，成的合振动时而加强，时而减弱的现象叫时而减弱的现象叫拍拍。X 单位时间内振动加强或减弱的次数叫单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频拍频.拍现象应用：给钢琴调音拍现象应用：给钢琴调音例例5.两个谐振动分别为两个谐振动分别为 ，,当当 时，合时，合振幅最大；当振幅最大；当 时，合振幅最小，且时，合振幅最小，且写出它们的合
7、振动方程。写出它们的合振动方程。解题思路：解题思路：1.合振幅最大，两分振动应同相，故合振幅最大，两分振动应同相，故2.合振幅最小，两分振动应反相，故合振幅最小，两分振动应反相，故x思考题思考题1：一质点作简谐振动一质点作简谐振动,其运动速度其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，求其初位相。律用余弦函数描述，求其初位相。(作业题作业题)o ov(m/s)t(s)vmx(cm)(cm)思考题思考题2:图中（图中（1 1）和（）和（2 2）表示两个同方）表示两个同方向，同频率的简谐振动的振动曲线。则向，同频率的简谐振动的振动曲线。则（1
8、 1）和（）和（2 2）合成振动的振幅为）合成振动的振幅为，初位，初位相为相为 ，周期为，周期为；试在图中画出合；试在图中画出合成振动的振动曲线。成振动的振动曲线。t(s)-1-11 10 0(1)(2)5 522、机械波产生的条件：机械波产生的条件：波源和波源和弹性介质。弹性介质。第一节第一节 机械波的形成和传播机械波的形成和传播1、机械波：、机械波：振动状态振动状态在弹性媒质中的传播在弹性媒质中的传播过程。过程。&波动（或行波波动（或行波)是是振动状态振动状态的传播，的传播，是是能量能量的传播，而的传播，而不是质点的传播不是质点的传播。&后面质点的振动规律与前面质点的振后面质点的振动规律与
9、前面质点的振动规律相同，只是位相上有一个落后。动规律相同，只是位相上有一个落后。一、机械波的产生一、机械波的产生机械波机械波(横波横波)二、二、纵波和横波：纵波和横波：横波：横波：振动方向与传播方向垂直振动方向与传播方向垂直,如电磁波如电磁波纵波：纵波：振动方向与传播方向相同振动方向与传播方向相同,如声波如声波三、三、波线、波面、波前：波线、波面、波前：波（射）线：波（射）线：表示波的传播方向的射线称表示波的传播方向的射线称之为波（射）线之为波（射）线。波面波面(或相面或相面)：某时刻介质内振动相位相某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面。同的点组成的面称为波面。纵波动画纵波动画波前波前
10、(波阵面波阵面)：某时刻处在最前面的波面。某时刻处在最前面的波面。波面波面波线波线在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直&球面波球面波波前波前&平面波平面波四.四.描述波动的几个物理量描述波动的几个物理量五.五.(波长、波的传播速度、波的周期和频波长、波的传播速度、波的周期和频率率)波线波线波面波面波前波前12345601、波长、波长 ：同一波线上振动状态完全相同的两个同一波线上振动状态完全相同的两个相邻点之间的距离（对应的位相差为相邻点之间的距离（对应的位相差为 ）2、波的周期、波的周期T：波前进一个波长的距离所需要波前进一个波长的距离所需要的时间（的时间（
11、等于振动的周期，等于振动的周期，由波源决定）由波源决定）3、波速、波速 ：在波动过程中，某一振动状在波动过程中，某一振动状态在单位时间内传播的距离称为波速，也态在单位时间内传播的距离称为波速，也称之相速。称之相速。&机械波的传播速度完全取决于介质机械波的传播速度完全取决于介质。（取（取决于介质的弹性模量和介质的密度。）决于介质的弹性模量和介质的密度。）第二节第二节 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程一、平面简谐波的波动方程的推导一、平面简谐波的波动方程的推导1、右行波右行波的波动方程的波动方程（1）已知）已知O点振动表达式：点振动表达式：（O点不一定是波源）点不一定是波源）&将将 t 理
12、解为已知点理解为已知点振动了的时间振动了的时间，求出，求出任一点实际振动的时间，以此代替已知点任一点实际振动的时间，以此代替已知点振动方程中的振动方程中的 t，就可得到任一点的振动就可得到任一点的振动方程，即为波动方程。方程，即为波动方程。&照抄已知点的振动方程，再将任一点照抄已知点的振动方程，再将任一点振动超前于或落后于已知点振动的位相补振动超前于或落后于已知点振动的位相补上，就得任一点的振动方程，即为波动方上，就得任一点的振动方程，即为波动方程。（程。（超前超前就就“”，落后落后就就“”。）。）或或（2）如图，已知）如图，已知 P 点的振动方程：点的振动方程：或或思考思考如图，已知如图，已
13、知 P P 点的振动方程：点的振动方程：或或2、左行波左行波的波动方程：的波动方程：思考思考平面简谐波波动方程的一般形式：平面简谐波波动方程的一般形式：或或 x前为前为“-”号，表明波向与号，表明波向与x轴轴正正向向一致一致，x前为前为“+”号，表明波向与号，表明波向与x轴正向轴正向相反相反。（不管（不管x轴正方向向左还是向右）轴正方向向左还是向右）xx思考题思考题:一平面简谐波在媒质中以速度一平面简谐波在媒质中以速度u=20m/s自左向右传播。已知波线上某点自左向右传播。已知波线上某点A的振动表式的振动表式 ，D点在点在A点右方点右方9米处。若取米处。若取x轴方向轴方向向左向左，并以，并以A
14、为为坐标原点，试写出波动方程并写出坐标原点，试写出波动方程并写出D 点的点的振动方程。振动方程。xyA(o)Dx解：解：若取若取x轴正方向轴正方向向右向右：结论：结论：对于给定的波动，其对于给定的波动，其波动方程波动方程与坐与坐标原点及坐标轴方向的选取标原点及坐标轴方向的选取有关有关；但对于给；但对于给定点的定点的振动方程振动方程，却与坐标原点及坐标轴方，却与坐标原点及坐标轴方向的选取向的选取无关无关。思考：若以思考：若以D为坐标原点，再写以上方程。为坐标原点，再写以上方程。若取若取x轴正方向轴正方向向左向左：yA(o)Dxx1、t 一定时的波形图一定时的波形图 t时刻时刻 t+时刻时刻二、波
15、动方程的物理意义二、波动方程的物理意义讨论：各质点在给定时刻的振动方向讨论：各质点在给定时刻的振动方向如图右行波的波线上两质点如图右行波的波线上两质点之间的位相差：之间的位相差：x1x2思考：思考：若为左行波，位相差为？若为左行波，位相差为？2、x一定时的振动曲线一定时的振动曲线t讨论：质点在某一时刻的振动方向讨论：质点在某一时刻的振动方向3、质点的振动速度质点的振动速度:三、平面波波动方程的微分形式三、平面波波动方程的微分形式例例1：沿：沿X轴正方向传播的平面简谐波，在轴正方向传播的平面简谐波，在 t=0 时时刻的波形如图，问：（刻的波形如图，问：（1）原点）原点O的初相及的初相及P点的点的
16、初相各为多大？（初相各为多大？（2）已知）已知A及及 ，写出波动方程。，写出波动方程。Op解题思路：解题思路：yO 2.若上图为若上图为t=2s时刻的波形图，重新讨论上面各问题。时刻的波形图，重新讨论上面各问题。思考思考:1.从矢量图上直接求从矢量图上直接求O、P两点之间的位相差。两点之间的位相差。例例2：一平面简谐波某时刻的波形图如下，：一平面简谐波某时刻的波形图如下，则则OP之间的距离为多少厘米。之间的距离为多少厘米。0p220cm思考题：思考题：一圆频率为一圆频率为 的简谐振动沿的简谐振动沿x轴的正方向轴的正方向传播传播,t=0时刻的波形如图所示时刻的波形如图所示,则画出则画出t=0时刻
17、时刻,x,x轴上各点的振动速度轴上各点的振动速度v和和x坐标的关系图坐标的关系图.01 12 2t=0A结论结论:在在t时刻，时刻，V与与X关系曲线与关系曲线与 t+T/4时刻的波形图相似。时刻的波形图相似。(思考思考)设有一行波：设有一行波：质元的速度：质元的速度：质量为质量为 的媒质元的动能为：的媒质元的动能为：第三节第三节 波的能量波的能量一、一、媒质中单位体积中的能量（波的能量密度）媒质中单位体积中的能量（波的能量密度）动能密度动能密度:1.动能密度动能密度:杨氏弹性模量杨氏弹性模量E S为棒的横截面积为棒的横截面积 张应力张应力 张应变张应变弹性势能：弹性势能：弹性势能密度：弹性势能
18、密度：2.势能密度：势能密度：倔强系数倔强系数xdxdxdy固体细长棒中纵波的传播固体细长棒中纵波的传播固体细长棒中纵波的传播固体细长棒中纵波的传播 弹性势能密度是与媒质元的相对形变弹性势能密度是与媒质元的相对形变量的平方成正比，也就是与波形图上的斜量的平方成正比，也就是与波形图上的斜率平方成正比。率平方成正比。故平衡位置势能最大。故平衡位置势能最大。其势能密度为：其势能密度为：体元中动能与势能同时变化，时刻相等，体元中动能与势能同时变化，时刻相等，即动能与势能同时达到最大或最小。即动能与势能同时达到最大或最小。其能量密度为：其能量密度为：平均能量密度为：平均能量密度为：能量极能量极大大能量极
19、大能量极大 能量极小能量极小 能量极小能量极小二、波的二、波的能流和能流密度能流和能流密度能流能流 电流电流 能量能量 电量电量 能流密度能流密度 电流电流 密度密度 1.能流能流 P：单位时间内通过某一截面的能量单位时间内通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流。称为波通过该截面的能流。S也可以不和波速垂直，此时式中的也可以不和波速垂直，此时式中的S应应改为改为S垂直垂直。上式也适用于球面波上式也适用于球面波平均能流平均能流2.能流密度能流密度 I（或波的强度）（或波的强度）：通过垂直于波速方向的单位面积的平均能流通过垂直于波速方向的单位面积的平均能流.波强与振幅的平方成正比。波强与振幅的平
20、方成正比。解：解：例：如图，某一点波源发射功率为例：如图，某一点波源发射功率为4040瓦，求该球瓦，求该球面上通过的平均能流及能流密度。（介质无吸收）面上通过的平均能流及能流密度。（介质无吸收）r r波源波源（1）在均匀不吸收能量的媒质中传）在均匀不吸收能量的媒质中传播的播的平面波平面波在行进方向上振幅不变。在行进方向上振幅不变。平面波和球面波的振幅：平面波和球面波的振幅：证明：因为证明：因为 所以在单位时间内通过所以在单位时间内通过 和和面的能量应该相等面的能量应该相等设距波源单位距离处质点的振幅为设距波源单位距离处质点的振幅为A，则可以，则可以证明：距波源证明：距波源r r处质点的振幅为处
21、质点的振幅为 (思考思考)（2）球面波球面波振幅与它振幅与它离波源的距离成反比。离波源的距离成反比。第四节第四节 惠更斯原理惠更斯原理 波的叠加和干涉波的叠加和干涉一、一、惠更斯原理：惠更斯原理：波阵面波阵面(波前波前)上的每一点，上的每一点，都是发射都是发射子波子波的新波源，其后任意时刻，这的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面些子波的包络面就是新的波阵面.(1690(1690年年)二、用惠更斯原理解释波的传播行为二、用惠更斯原理解释波的传播行为S S2 2S S1 1三、三、波的叠加原理（独立性原理）：波的叠加原理（独立性原理）：若有几列波同时在介质中传播，则它们各若有几列
22、波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。独传播时在该处引起的位移的矢量和。S1、S2发出波传播到发出波传播到P点引起的分振动为：点引起的分振动为：四、四、波的干涉波的干涉 为为P点处两分振点处两分振动的位相差动的位相差1、相干条件：相干条件：两波源应满足：两波源应满足：振动方向相同振动方向相同.频率相同频率相同.位相差恒定位相差恒定.2、极值条件：、极值条件：&特例特例:当两相干波源初位相相同当两相干波源初位相相同(即即
23、)时时干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消思考：思考：若若S1S2r1r2波程差波程差干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消驻波是干涉的特例。驻波是干涉的特例。第五节第五节 驻驻 波波驻波动画演示驻波动画演示11、产生驻波的条件：、产生驻波的条件：两列两列振幅相同振幅相同、相向传播相向传播的的相干相干波，叠加后所形成的波波，叠加后所形成的波叫驻波。叫驻波。2、驻波方程：驻波方程：驻波动画演示驻波动画演示2驻波动画演示驻波动画演示3设设利用三角函数关系：利用三角函数关系：求出求出驻波的表达式：驻波的表达式：简谐振动的振幅项简谐振动的振幅项l各点都在作简谐振动，各点都在作简谐
24、振动，各点振动的频率各点振动的频率相同，也为原来波的频率。相同，也为原来波的频率。但各点振幅随但各点振幅随位置的不同而不同。位置的不同而不同。驻波方程的意义驻波方程的意义讨论讨论:（1）振幅：）振幅：（2）位相：）位相：结论：结论：相邻两个波节之间相邻两个波节之间的各点是的各点是同位相同位相的；一个的；一个波节两侧的点是波节两侧的点是反相反相的。的。yxo驻波位相动画驻波位相动画3、波腹和波节的位置：、波腹和波节的位置：方法一方法一:（1）令）令求出的求出的x：即即为波腹的位置为波腹的位置（2）令）令求出的求出的x：即即为波节的位置为波节的位置方法二方法二:（1）波腹即为干涉相长处。波腹即为干
25、涉相长处。结论：结论：半个波长。半个波长。相邻两个波腹之间的距离为相邻两个波腹之间的距离为求出的求出的x x：即为波腹处：即为波腹处（2）波节即为干涉相消处。波节即为干涉相消处。求出的求出的x：即为波节处即为波节处结论：结论：半个波长半个波长 yxo应用：可用测量波腹或波节间的距离，来应用：可用测量波腹或波节间的距离，来确定波长。确定波长。相邻两个波节之间的距离为相邻两个波节之间的距离为例：如图，若例：如图，若o、处分别有两个相干波源，处分别有两个相干波源，其振动方程分别为：其振动方程分别为：yox求波腹和波节的位置。求波腹和波节的位置。解题思路：解题思路：在在范围内形成驻波。范围内形成驻波。
26、驻波驻波右行波右行波左行波左行波x对其中的任一点对其中的任一点 x 4、半波损失：、半波损失：界面界面波密煤质波密煤质波疏煤质波疏煤质&当波当波从波疏从波疏媒质垂直入射媒质垂直入射到波密到波密媒质界面上反射时，媒质界面上反射时，在反射点在反射点，入射波和反射波入射波和反射波的位相相反（即的位相相反（即有半波损失有半波损失）,形成形成波节（固定端）波节（固定端）。&当波当波从波密从波密媒质垂直入射媒质垂直入射到波疏到波疏媒质界面上反射时，媒质界面上反射时，在反射点在反射点，入射波和反射波，入射波和反射波的位相相同（即的位相相同（即无半波损失无半波损失）,形成形成波腹（自由端）波腹（自由端）。界面
27、界面波密煤质波密煤质波疏煤质波疏煤质oL疏疏密密例：如图，已知原点例：如图，已知原点O处质点的振动方程为：处质点的振动方程为：求反射波方程。求反射波方程。解：解：x&能形成驻波的两列波，其振幅相同，传播方能形成驻波的两列波，其振幅相同，传播方向相反，若已知其中一列波的波动方程为：向相反，若已知其中一列波的波动方程为：则另一列波的波动方程必可设为：则另一列波的波动方程必可设为：若若x=L处是处是波节波节，若若x=L处是处是波腹波腹，5、在长为、在长为 L 的固定弦线上形成稳定驻波的条件：的固定弦线上形成稳定驻波的条件：例：在弹性媒质中有一沿例：在弹性媒质中有一沿X轴正向传播的平面波，轴正向传播的
28、平面波，其波动方程为：其波动方程为：若在若在X5.00m处有一媒质分界面，且在分界面处有一媒质分界面，且在分界面处位相突变处位相突变 ，设反射波的强度不变，试写出，设反射波的强度不变，试写出反射波的波动方程。反射波的波动方程。第六节第六节 多普勒效应多普勒效应波源或观察者相对于介质运动时，观察者所波源或观察者相对于介质运动时，观察者所接收到的频率接收到的频率 与波源的振动频率与波源的振动频率 不同的不同的现象，称为现象，称为多普勒效应多普勒效应。:波源波源(相对于介质相对于介质)速度速度source:观察者观察者(相对于介质相对于介质)速度速度observer以以波源指向观察者的方向为正方向。波源指向观察者的方向为正方向。SO1、波源不动，即、波源不动，即2、观察者不动，即、观察者不动，即3、总结式：、总结式：应用：测车速；测血流量等。应用：测车速；测血流量等。