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1、一. 机械振动：物体在一定位置（平衡位置）附近作重复往返运动称为机械振动。,物体受到回复力作用以及物体具有惯性。,二.机械振动的原因：,X(t)为质点离开平衡位置的位移；物体所受合外力为零的位置定为平衡位置。,1. 振幅A(米）：表示质点离开平衡位置的最大位移的绝对值。,A. 振动周期T（秒）：完成一次全振动所需时间。,二.描述简谐振动的三个重要物理量,2. 振动的周期频率圆频率,B. 频率 （赫兹） ：单位时间内完成全振动的次数。,C. 圆频率 （弧度/秒）。,A. 位相 ：它是反映质点在t时刻振动状态的物理量。（相同的振动状态对应相位差为 的整数倍。）,B. 初位相 ： t0 时刻的位相。
2、,三、简谐振动的速度和加速度,3. 位相和初位相,1. 速度,速度的位相比位移超前,2. 加速度,简谐振动的运动学特征,加速度的位相比位移超前或落后 (或与位移反相),四、简谐振动的矢量图表示法（旋转矢量法）,逆时针旋转为正角。,顺时针旋转为负角。,旋转矢量的端点在X轴上的投影点的坐标为,1、2象限 v0 。,反相,同相,振动2比振动1超前,例2：一物体沿X轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s 。当 t=0 时位移为0.06m，且向X轴正方向运动。求：（1）初相，(2)在 x=0.06m 处，且向X轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的时间。,解题思路： 作
3、旋转矢量图,例3： 求振动方程,解题思路：作旋转矢量图,例4.一质点在x轴上作简谐振动，振辐A=4 cm，周期T= 2 s，其平衡位置取作坐标原点若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm处的时刻为 (A) 1 s (B) (2/3) s (C) (4/3) s (D) 2 s,第三节 无阻尼自由振动、谐振子,一、弹簧振子：,f= - kx,ma=,故弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动。,f=-kx为谐振动的动力学特征,仍做简谐振动;圆频率仍为,结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。 角频率,振动的周期分别为：,当 时,摆球对C点
4、的力矩,复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体,结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。,当 时,三. 已知简谐振动的初始条件(x0 、v0)，求A和,（最好求出A后，再作旋转矢量图，由x0 、v0画出旋转矢量的位置而求出初位相）,第四节、简谐振动的能量,动能:,势能:,简谐振动能量:,讨论 1：由初始条件确定常数A,2、 若弹簧振子竖直悬挂或在光滑斜面上振动，其振动频率仍保持不变；只要选择合适的重力势能零点，其各能量表达式也保持不变，此时势能应理解为重力势能与弹性势能的和。,第五节 同方向的简谐振动的合成,一、 同方向、同频率的简谐振动的合成,结论:同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是同频率的
5、简谐振动。, 旋转矢量法方法,重要结论：,振动减弱,振动加强,若两旋转矢量重合,则: = 1= 2,若两旋转矢量反向,则 与 振幅大的分振动的初相相同,二、 同方向、不同频率的简谐振动的合成,x,两个同方向简谐振动在合成时，由于频率的微小差别而造成的合振动时而加强，时而减弱的现象叫拍。,单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频,拍现象应用:给钢琴调音;结合多普勒效应测车速,例1：两个谐振动分别为 ， 、当 时，合振幅最大；当 时，合振幅最小，且写出它们的合振动方程。,思考题1: 一质点作简谐振动,其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，求其初位相。,o,V(m/s),t(s
6、),vm,波 动 学 基 础,2、机械波产生的条件：弹性介质和波源。,1、机械波：振动状态在弹性面媒质中的传播过程。,二、纵波和横波：,横波：振动方向与传播方向垂直,如电磁波,纵波:振动方向与传播方向相同，如声波,三、波线、波面、波前,波（射）线：表示波的传播方向的射线称之为波（射）线。,波面（或相面）:某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面。,波前(波振面）：某时刻处在最前面的波面。,波面,波线,在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直,球面波,波振面,平面波,描述波动的几个物理量 (波长、波的传播速度、波的周期和频率),机械波的传播速度完全取决于介质。（决于介质的弹性性质和惯性性质。即介
7、质的弹性模量和介质的密度。）,第二节 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程,一、平面简谐波的波动方程的推导,1、右行波的波动方程,将 t 理解为已知点振动了的时间，求出任一点实际振动的时间，以此代替已知点振动方程中的 t，就可得到任一点的振动方程，即为波动方程。,或,（2）如图，已知 P 点的振动方程：,思考,如图，已知 P 点的振动方程：,思考,2、左行波的波动方程：,平面简谐波波动方程的一般形式,或,x前为“+”号，表明波向x轴负向传， x前为“-”号，表明波向x轴正向传。,思考题: 一平面简谐波在媒质中以速度u=20m/s自左向右传播。已知波线上某点A的振动表式 ，D点在A点右方9米处
8、。 若取x轴方向向左，并以A为坐标原点，试写出波动方程并写出D 点的振动方程。,结论：对于给定的波动，其波动方程与坐标原点及坐标轴方向的选取有关；但对于给定点的振动方程，却与坐标原点及坐标轴方向的选取无关,思考：若以D为坐标原点，再写以上方程。,1、t 一定时的波形图,二、波动方程的物理意义,讨论各质点在给定时刻的振动方向,波线上两质点之间的位相差,2、x一定时的振动曲线,讨论质点在某一时刻的振动方向,3、质点的振动速度,三.平面波波动方程的微分形式,例1：沿X轴正方向传播的平面简谐波、在 t=0 时刻的波形如图，问：（1）原点O的初相及P点的初相各为多大？（2）已知A及 ，写出波动方程。,解
9、题思路：,2、若上图为t=2s时刻的波形图，重新讨论上面各问题。,思考:1、从矢量图上直接求O、P两点之间的位相差。,例2：一平面简谐波某时刻的波形图如下，则OP之间的距离为多少厘米。,解题思路：,解题思路:,结论:在t时刻,V与X关系曲线与t+T/4时刻的波形图相似 (思考),设有一行波：,质元的速度:,质量为 的媒质元其动能为：,第三节 波 的 能 量,一、媒质中单位体积中的能量（波的能量密度）,动能密度:,1. 动能密度,2. 势能密度,杨氏弹性模量E,张应力,张应变,倔强系数,弹性势能：,弹性势能密度：,弹性势能密度是与媒质元的相对形变量的平方成正比，也就是与波形图上的斜率平方成正比。
10、,其势能密度为：,任意时刻，体元中动能与势能相等，即动能与势能同时达到最大或最小。,其能量密度为：,平均能量密度为：,二、波的能流和能流密度,能流 单位时间内通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流。,S也可以不和波速垂直，此时式中的S应改 为S垂直。,上式也适用于球面波,平均能流,2、能流密度或波的强度 I 通过垂直于波速方向的单位面积的平均能流,波强与振幅的平方成正比,解题思路：,（1）在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。, 平面波和球面波的振幅,设距波源单位距离处质点的振幅为A，则可以证明:距波源 r处质点的振幅为 (思考),（2）球面波振幅与它离波源的距离成反比,
11、第四节 惠更斯原理 波的叠加和干涉,一、惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。(1690年),二、用惠更斯原理解释波的传播行为,二、波的叠加原理（独立性原理）：,若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。,传播到 P 点引起的振动为：,1、相干条件：两波源应满足：振动方向相同，频率相同，位相差恒定。,2、极值条件,当两相干波源为同相波源（即 )时,相长干涉,相消干涉,称 为波程差,第五节 驻 波,一、 驻波的产生：振幅相同的两列相干
12、波，在同一直线上沿相反方向传播，叠加后所形成的波叫驻波。（驻波是一种特殊的干涉现象）,横驻波演示,所谓波腹位置就是干涉极大值的位置； 所谓波节位置就是干涉极小值的位置。,利用三角函数关系：,求出驻波的表达式：,二、 驻 波方 程,讨论,1. 振幅,2.波腹和波节的位置,求出的 x 即为波腹的位置。,（2）波节：,求出的 x 即为波节的位置。,（1）波腹：,令,令,方法一（若已知驻波方程）,结论： 半个波长。,相邻两个波腹之间的距离为,方法二(求出X处质点两分振动的位相差）,（1）波腹位置（为干涉极大值位置）,求出的X即为波腹处.,（2）波节位置(为干涉极小值位置）,求出的X即为波节处.,相邻两
13、个波节之间的距离也为半个波长.,应用:可用测量波腹或波节间的距离，来确定波长,结论：相邻两个波节之间的各点是同位相的；一个波节两侧的点是反相的。,驻波位相动画,解题思路：,对其中的任一点 x,驻波的能量在相邻的波腹和波节间不断地进行动能与势能的相互转换，而不向外传播。,三. 驻 波 的 能量,动能主要集中在波腹附近。,势能主要集中在波节附近。,当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，在反射点，形成波节（固定端）。即反射波在分界处较入射波产生了 的相位跃变（即有半波损失）。,当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，在反射点，形成波腹（自由端）。即无半波损失）。,解题思路：,能形成驻波
14、的两列相干波，其振幅相同，传播方向相反，若已知其中一列波的波动方程为,则另一列波的波动方程必可设为,若XL处是波节,若XL处是波腹,例：在弹性媒质中有一沿X轴正向传播的平面波，其波动方程为： 若在X5.00m处有一媒质分解面，且在分解面处位相突变 ，设反射波的强度不变，试写出反射波的波动方程。,例. 图中画出一向右传播的简谐波在t时刻的波形图，BC为波密介质的反射面，波由P点反射，则反射波在t时刻的波形图为 ,五 振动的简正模式,. 两端固定的弦线形成驻波时，弦长和波长应满足,本征频率；基频；谐频,第六节 多 普 勒 效 应,波源或观察者相对于介质运动时，观察者所接收到的频率 与波源的振动频率不同的现象,称为多普勒效应.,:波源(相对于介质）速度；,：观察者(相对于介质）速度,以波源指向观察者的方向为正方向,1、波源不动，即,2、观察者不动，即,3、总结式：,应用：测车速；测血流量等。,冲击波或激波：当,当,