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1、七年级数学竞赛讲座：相交线与平行线一、知识要点：1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。4两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做_ ；如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做_ ；如果两个
2、角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_.5平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线_.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_.6平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_.7在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_ .8平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相
3、等.简单说成：_.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：_。.方法指导：平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。二、例题精讲例1如图(1)，直线a与b平行，1(3x+70),2=(5x+22),求3的度数。例2已知：如图(2)， ABEFCD，EG平分BEF，B+BED+D =192，B-D=24，求GEF的度数。解：ABEFCD B=BEF，DEF=D（两直线平行，内错角相等） B+BED+D =192（已知） 即B+BEF+DEF+D=1922（
4、B+D）=192（等量代换）则B+D=96（等式性质）B-D=24（已知） 图(2)B=60（等式性质） 即BEF=60（等量代换） EG平分BEF（已知）GEF=BEF=30（角平分线定义）例3如图（3），已知ABCD，且B=40，D=70，求DEB的度数。解：过E作EFABABCD（已知）EFCD（平行公理）BEF=B=40 DEF=D=70（两直线平行，内错角相等）DEB=DEF-BEF DEB =D-B=30 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。图（3）例4已知锐角三角形ABC的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，说明：
5、ha+hb+hca+b+c分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段证明：由垂线段最短知，hac ，hba，hcb以上三式相加得ha+hb+hca+b+c研究垂直关系应掌握好垂线的性质。1 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。2 垂线段最短。例5如图（4），直线AB与CD相交于O，EFAB于F，GHCD于H，求证EF与GH必相交。分析：欲证EF与GH相交，直接证很困难，可考虑用反证法。证明：假设EF与GH不相交。EF、GH是两条不同的直线EFGHEFABGHAB又因GHCD故ABCD (垂直于同一直线的两直线平行)图（4）这与已知AB和CD相交矛盾。所以EF与GH不平行，即EF与GH必
6、相交评注：本题应用结论：(1) 垂直于同一条直线的两直线平行。(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例6平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？解：2条直线产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；则n条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1)=n(n-1)评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例76个不同的点，其中只有3点在同
7、一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有33=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)=n(n-1)例810条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的
8、区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域； 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)块不同的区域思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？例9平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于证明：平面上n条直线两两相交最多得对顶角2n(n-1)对，即2n(n-1)个角平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动过点O，成为交于一点O的n条直线，这n条直线将以O为顶点的圆
9、周角分为2n个（共n对）互不重叠的角：a1、a2、a3、a2n由平行线的性质知，这2n个角中每一个都和原来n条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n个角均是原2n(n-1)个角中的角。若这2n个角均大于，则a1+a2+a3+a2n 2n=360,而 a1+a2+a3+a2n =360,产生矛盾故a1、a2、a3、a2n中至少有一个小于，即原来的2n(n-1) 中至少有一个角不小于评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。例10（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。（b）能否在平面上画出7条直线
10、（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。解：（a）在平面上任取一点A。过A作两直线m1与n1。在n1 上取两点B，C，在m1上取两点D，G。过B作m2m1，过C作m3m1，过D作n2n1，过G作n3n1，这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交。（b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交。理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条
11、直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。根据直线去计数这些交点，共有3721个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为10.5个，因为交点个数应为整数，矛盾。所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的。三、巩固练习1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条A6B 7C8D92平面上三条直线相互间的交点个数是（）A3B1或3C1或2或3D不一定是1，2，33平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A36条B33条C24条D21条4已知平面中有个点三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上，除些
12、之外，再没有三点共线或四点共线，以这个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时等于（ ） （A）9 （B）10 （C）11 （D）125若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（）A4对B8对C12对D16对6如图，已知FDBE，则1+2-3=( )A90B135C150D180 第7题 7如图，已知ABCD，1=2，则E与F的大小关系 ；8平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还有 交点9平面上3条直线最多可分平面为 个部分。10如图，已知ABCDEF，PSGH于P，FRG=110，则PSQ 。11已知A、B是直线L
13、外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是 。12平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。13已知：如图，DECB ，求证：AED=A+B14已知：如图，ABCD，求证：B+D+F=E+G第13题 第14题15如图，已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，EDC+ECD =90，求证：DAAB16平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？19平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23。
14、20平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。答案1 5个点中任取2点，可以作4+3+2+110条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+13条，共可作10-3+18（条）故选C2平面上3条直线可能平行或重合。故选D3对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。故共有21条不重叠的线段。故选D4由个点中每次选取两个点连直线，可以画出条直线，若三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若四点不在一条直线
15、上，可以画出6条直线， 整理得 n+90 选B。5直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD，各得2对同旁内角，共4对；直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH，各得6对同旁内角，共12对。因此图中共有同旁内角4+616对6FDBE2=AGFAGC=1-31+2-3=AGC+AGF=180 选B7解：ABCD （已知） BAD=CDA（两直线平行，内错角相等） 1=2（已知）BAD+1=CDA+2（等式性质） 即EAD=FDA AEFD EF8解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+145（个）又因平面
16、上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+16个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉56=30个交点，所以有交点的个数应为45-3015个9可分7个部分10解 ABCDEFAPQDQG=FRG=110同理PSQ=APSPSQ=APQ-SPQ=DQG-SPQ=110-90=2011 0个、1个或无数个1）若线段AB的垂直平分线就是L，则公共点的个数应是无数个；2）若ABL，但L不是AB的垂直平分线，则此时AB的垂直平分线与L是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；3）若AB与L不垂直，那么AB的垂直平分线与直线L一定相交，所以此时公共点的个数为1个124条直线两两
17、相交最多有1+2+36个交点13证明：过E作EFBA2=A（两直线平行，内错角相等）DECB，EFBA 1=B（两个角的两边分别平行，这两个角相等） 1+2=B+A（等式性质）即AED=A+B 14证明：分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ，则ABEHPFGQ（平行公理）ABEH ABEBEH（两直线平行，内错角相等）同理：HEFEFPPFGFGQQGDGDCABE+EFP+PFG+GDCBEH+HEF+FGQ+QGD（等式性质）即B+D+EFG=BEF+GFD15证明：DE平分CDA CE平分BCDEDC=ADE ECD =BCE(角平分线定义)CDA +BCD=EDC+ADE+
18、ECD+BCE=2（EDC+ECD）180DACB又CBABDAAB16两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有4个交点，三条直线最多有3个不同的交点，即最多交点个数为：2+43+3=1717（1）2个圆相交有交点211个，第3个圆与前两个圆相交最多增加224个交点，这时共有交点2+226个第4个圆与前3个圆相交最多增加236个交点，这时共有交点2+22+2312个第5个圆与前4个圆相交最多增加248个交点5个圆两两相交最多交点个数为：2+22+23+2420（2）2个圆相交将平面分成2个区域3个圆相看作第3个圆与前2个圆相交，最多有224个不同的交点，这4个点将第3个圆分成4段弧，每一段
19、弧将它所在的区域一分为二，故增加224块区域，这时平面共有区域：2+226块4个圆相看作第4个圆与前3个圆相交，最多有236个不同的交点，这6个点将第4个圆分成6段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加236块区域，这时平面共有区域：2+22+2312块5个圆相看作第5个圆与前4个圆相交，最多有248个不同的交点，这8个点将第5个圆分成8段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加248块区域，这时平面最多共有区域：2+22+23+2420块18 直线上每一点与直线外3点最多确定35=15条直线；直线外3点间最多能确定3 条直线， 最多能确定15+3+1=19条直线 19将这8条直线平移到
20、共点后，构成8对互不重叠的对顶角，这8个角的和为180假设这8个角没有一个小于23,则这8个角的和至少为: 238=184,这是不可能的.因此这8个角中至少有一个小于23, 在所有的交角中至少有一个角小于2320平面上有10条直线，若两两相交，最多可出现45个交点，题目要求只出现31个交点，就要减少14个交点，则必须出现平行线，若某一方向上有5条直线互相平行，则可减少10个交点；若有6条直线互相平行，则可减少15个交点；故在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个交点需要减去，转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩下2条直线和一个需要减去的点，只须让这2条直线在第三个方向上互相平行即可。如图这三组平行线即为所求。