《2022年七年级数学培优提高讲义相交线与平行线 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年七年级数学培优提高讲义相交线与平行线 .pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、优秀学习资料欢迎下载七年级数学竞赛讲座：相交线与平行线一、知识要点：1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。4两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做_ ；如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对
2、角叫做_ ；如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_. 5平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线_. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_. 6平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成： _. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成： _. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： _. 7在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_ . 8平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：
3、 .两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成： _ .两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成： _。. 方法指导： 平行线中要理解平行公理，能熟练地找出 “三线八角” 图形中的同位角、内错角、同旁内角， 并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。二、例题精讲例 1如图 (1)，直线 a 与 b 平行， 1 (3x+70), 2=(5x+22) , 求 3 的度数。例 2已知：如图 (2)， AB EFCD，EG 平分 BEF， B+BED+ D =192，ABCDEFG32lab4名师归纳总结 精品学习资料 - - - -
4、- - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载ABCDEFB- D=24，求 GEF 的度数。解： ABEFCD B=BEF， DEF=D（两直线平行，内错角相等） B+BED+ D =192（已知）即 B+BEF+DEF+ D=192 2（ B+D）=192（等量代换）则 B+D=96（等式性质） B- D=24（已知）图(2) B=60（等式性质）即 BEF=60（等量代换）EG 平分 BEF（已知） GEF=21BEF=30
5、（角平分线定义）例 3如图（ 3） ，已知 AB CD，且 B=40， D=70，求 DEB 的度数。解：过 E 作 EFAB ABCD（已知）EFCD（平行公理）BEF=B=40 DEF=D=70（两直线平行，内错角相等）DEB= DEF- BEF DEB = D- B=30评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。图（ 3）例 4已知锐角三角形ABC 的三边长为a，b，c，而 ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，说明： ha+hb+hca+b+c 分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段证明：由垂线段最短知，hac ，hba，hcb 以上三式相加
6、得ha+hb+hca+b+c 研究垂直关系应掌握好垂线的性质。1 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。2 垂线段最短。例 5 如图（ 4） ，直线 AB 与 CD 相交于 O，EF AB 于 F，GHCD 于H，求证 EF 与 GH 必相交。分析：欲证EF 与 GH 相交，直接证很困难，可考虑用反证法。证明：假设EF 与 GH 不相交。EF、GH 是两条不同的直线ABCDEFGHObacha名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 -
7、- - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载EFGH EF ABGHAB 又因 GHCD故 ABCD ( 垂直于同一直线的两直线平行)图（ 4）这与已知AB 和 CD 相交矛盾。所以 EF 与 GH 不平行，即EF 与 GH 必相交评注：本题应用结论：(1) 垂直于同一条直线的两直线平行。(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例 6平面上 n 条直线两两相交且无3 条或 3 条以上直线共点，有多少个不同交点？解： 2 条直线产生1个交点，第 3 条直线与前面2 条均相交，增加2 个交点，这时平面上3 条直线共有1+2=3 个交点；第 4 条直
8、线与前面3 条均相交，增加3 个交点，这时平面上4 条直线共有1+2+3=6 个交点；则n 条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1)=21n(n-1) 评注：此题是平面上n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例 7 6 个不同的点，其中只有3 点在同一条直线上，2 点确定一条直线，问能确定多少条直线？解： 6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线，除去共线的3 点中重合多算的2 条直线，即能确定的直线为15-2=13 条。另法： 3 点所在的直线外的3 点间最多能确定3 条直线，这3 点与直线上的3 点最多有33=9 条直线，加上3
9、 点所在的直线共有：3+9+1=13 条评注：一般地，平面上n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)=21n(n-1) 例 810 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解： 2 条直线最多将平面分成2+2=4 个不同区域；3 条直线中的第3 条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3 段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3 个，即最多分成2+2+3=7 个不同区域；同理： 4 条直线最多分成2+2+3+4=11 个不同区域；10 条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域推广： n 条直线两两相交，最多将平面分成2
10、+2+3+4+ +n=1+21n(n+1)=21(n2+n+2)块不同名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载的区域思考：平面内n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？例 9平面上 n 条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于n0180证明：平面上n 条直线两两相交最多得对顶角2) 1(nn2n(n-1)对，即 2n(n-1)个角平面上任取一点O，将这 n 条直线
11、均平行移动过点O，成为交于一点O 的 n 条直线，这 n 条直线将以O 为顶点的圆周角分为2n 个 （共 n 对）互不重叠的角：1、2、3、2n由平行线的性质知，这2n 个角中每一个都和原来n 条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n 个角均是原 2n(n-1)个角中的角。若这 2n 个角均大于n0180，则1+2+3+2n2nn0180=360, 而1+2+3+2n =360, 产生矛盾故1、2、3、2n中至少有一个小于n0180，即原来的 2n(n-1) 中至少有一个角不小于n0180评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。例 10 （a）请你在平面上画
12、出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3 条直线相交，并简单说明画法。（b）能否在平面上画出7 条直线（任意3 条都不共点） ，使得它们中的每条直线都恰与另 3 条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。解： （a）在平面上任取一点A。过 A 作两直线m1与 n1。在 n1上取两点B，C，在m1上取两点D，G。过 B 作 m2m1，过 C 作 m3m1，过D 作 n2n1，过 G 作 n3n1，这时 m2、m3、n2、n3交得 E、F、H、I 四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交。（b）在平面上不能画出没有3 线共点的7 条
13、直线，使得其中每条直线都恰与另外3 条直线相交。理由如下：假设平面上可以画出7 条直线， 其中每一条都恰与其它3 条相交， 因两直线相交只有一个交点，又没有3 条直线共点，所以每条直线上恰有与另3 条直线交得的3 个不同的交点。根据直线去计数这些交点，共有3721 个交点，但每个交点分属两条直线，被重复m1n1m2m3n2n3ABCDEFGHIOl3l2ln名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀学
14、习资料欢迎下载21ABCDEF计数一次，所以这7 条直线交点总数为22110.5 个，因为交点个数应为整数，矛盾。所以，满足题设条件的7 条直线是画不出来的。三、巩固练习1平面上有5 个点，其中 仅有 3 点在同一直线上，过每2 点作一条直线，一共可以作直线（）条A6B 7C8D92平面上三条直线相互间的交点个数是（）A3B1 或 3C1 或 2 或 3D不一定是1，2，3 3平面上6 条直线两两相交，其中仅有3 条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A36 条B33 条C24 条D21 条4已知平面中有n个点CBA,三个点在一条直线上，EFDA,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线
15、或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出38 条不同的直线，这时n等于（）（ A）9 （ B ）10 （C）11 （ D）125若平行直线AB、CD 与相交直线EF、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角 （）A4 对B8 对C12 对D 16 对6如图，已知FDBE，则 1+2-3=( )A90B135C150D180ABCDEFGH第 5 题312ABCDEFG第6题第 7 题7如图，已知AB CD， 1=2，则 E 与 F 的大小关系；8平面上有5 个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5 点之外这些直线最多还有交点9平面上3 条直线最多可分平面为个部分。10如图， 已知 A
16、B CDEF，PS GH 于 P，FRG=110，则 PSQ。11已知 A、B 是直线 L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是。12平面内有4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。13已知：如图，DECB ，求证： AED= A+ B 14已知：如图，ABCD，求证： B+D+F=E+G lABCDEFGHPQRS第10题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀学习资
17、料欢迎下载ABCDE第 13 题第 14 题15如图，已知CBAB， CE 平分 BCD ，DE 平分 CDA ，EDC+ECD =90，求证： DAAB 16平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17平面上 5 个圆两两相交， 最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18一直线上5 点与直线外3 点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？19平面上有8 条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23。20平面上有10 条直线， 无任何三条交于一点，欲使它们出现31 个交点，怎样安排才能办到？画出图形。答案1 5个点中任取2 点，可以作4+3+2+1 10 条直
18、线，在一直线上的3个点中任取2 点，可作 2+13 条，共可作10-3+18（条）故选C 2平面上3 条直线可能平行或重合。故选D 3对于 3 条共点的直线， 每条直线上有4 个交点， 截得 3 条不重叠的线段，3 条直线共有9条不重叠的线段对于 3 条不共点的直线，每条直线上有5 个交点， 截得 4 条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。故共有 21 条不重叠的线段。故选D 4由n个点中每次选取两个点连直线，可以画出2) 1(nn条直线， 若CBA,三点不在一条直线上，可以画出3 条直线，若FEDA,四点不在一条直线上，可以画出6 条直线，.382632)1(nn整理得2n.0)9
19、0)(10( ,090nnn n+9 0 ,10n选 B。5直线 EF、GH 分别“截”平行直线AB、CD，各得 2 对同旁内角，共4 对；直线AB 、CD 分别“截”相交直线EF、GH，各得6 对同旁内角，共12 对。因此图中共有同旁内角4+616 对ABCDEFGABCDE第 15 题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载6 FDBE 2=AGF AGC= 1-3 1+2-3=
20、AGC+ AGF=180 选 B7解： ABCD （已知） BAD= CDA （两直线平行，内错角相等） 1=2（已知） BAD+ 1=CDA+ 2（等式性质）即 EAD= FDA AE FD E F 8解：每两点可确定一条直线，这 5 点最多可组成10 条直线， 又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1 45（个）又因平面上这5 个点与其余4 个点均有4 条连线，这四条直线共有3+2+16 个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉56=30 个交点，所以有交点的个数应为 45-3015 个9可分 7个部分 10解ABCDEF APQDQG=FRG=110
21、同理 PSQ=APS PSQ= APQ-SPQ=DQG-SPQ =110-90=2011 0 个、 1 个或无数个1）若线段AB 的垂直平分线就是L，则公共点的个数应是无数个；2）若 ABL，但 L 不是 AB 的垂直平分线，则此时AB 的垂直平分线与L 是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0 个；3）若 AB 与 L 不垂直，那么AB 的垂直平分线与直线L 一定相交，所以此时公共点的个数为 1 个124条直线两两相交最多有1+2+36个交点13证明：过E 作 EFBA 2=A（两直线平行，内错角相等）DECB，EFBA 1=B（两个角的两边分别平行，这两个角相等） 1+2=B+
22、A（等式性质）即 AED= A+B 14证明：分别过点E、F、G 作 AB 的平行线 EH、PF、 GQ，则 AB EHPFGQ（平行公理）AB EH ABCDEF21ABCDEFBEFGDCHQPABCDEFGH第 5 题312ABCDEFG第 6 题lABCDEFGHPQRS第10题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载ABE BEH （两直线平行，内错角相等）同理： HEF
23、EFP PFG FGQ QGD GDC ABE+ EFP+PFG+GDC BEH+ HEF+ FGQ+QGD（等式性质）即B+ D+EFG=BEF+GFD 15证明： DE 平分 CDA CE 平分 BCD EDC=ADE ECD = BCE(角平分线定义) CDA + BCD= EDC+ADE+ ECD+ BCE =2（ EDC+ECD） 180DA CB 又CBAB DAAB 16两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有4 个交点，三条直线最多有3 个不同的交点，即最多交点个数为：2+43+3=17 17 （1）2 个圆相交有交点21 1 个，第 3 个圆与前两个圆相交最多增加224
24、个交点，这时共有交点2+226 个第 4 个圆与前3 个圆相交最多增加236 个交点，这时共有交点2+22+23 12 个第 5 个圆与前4 个圆相交最多增加248 个交点5 个圆两两相交最多交点个数为：2+2 2+2 3+2 420 （2）2 个圆相交将平面分成2 个区域3 个圆相看作第3 个圆与前2 个圆相交，最多有224 个不同的交点，这4 个点将第 3 个圆分成 4 段弧， 每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加 224 块区域， 这时平面共有区域： 2+226 块4 个圆相看作第4 个圆与前3 个圆相交，最多有236 个不同的交点，这6 个点将第 4 个圆分成 6 段弧， 每一段弧将
25、它所在的区域一分为二，故增加 236 块区域， 这时平面共有区域： 2+22+2312 块5 个圆相看作第5 个圆与前4 个圆相交，最多有248 个不同的交点，这8 个点将第 5 个圆分成 8 段弧， 每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加 248 块区域， 这时平面最多共有区域：2+22+23+2420 块18直线上每一点与直线外3 点最多确定35=15 条直线；直线外3 点间最多能确定3 条直线， 最多能确定15+3+1=19 条直线19将这 8 条直线平移到共点后，构成8 对互不重叠的对顶角，这8 个角的和为180假设这 8 个角没有一个小于23,则这 8 个角的和至少为: 23 8=1
26、84,这是不可能的.因此这 8 个角中至少有一个小于23, 在所有的交角中至少有一个角小于2320平面上有10 条直线， 若两两相交，最多可出现45 个交点， 题目要求只出现31 个交点，就要减少14 个交点，则必须出现平行线，若某一方向上有5 条直线互相平行，则可减少10个交点；若有6 条直线互相平行，则可减少15 个交点；故在这个方向上最多可取5 条平行线，这时还有4 个交点需要减去，转一个方向取3 条平行线， 即可减少3 个交点， 这时还剩ABCDE第 15 题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载下 2 条直线和一个需要减去的点，只须让这2 条直线在第三个方向上互相平行即可。如图这三组平行线即为所求。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -