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1、内容：1、一元一次函数；2、一元二次函数；3、反比例函数二次函数知识点一、二次函数概念：是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要y ax21二次函数的概念：一般地，形如强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2.二次函数bx c（a，b，cyax2bxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量abcx的二次式，的最高次x数是 2二、二次函数的基本形式：a，b，c是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项1.h二次函数基本形式：二次函数b，k2 ay ax2bx c用配方法可化成：y a xh2k的形式，其中4 ac4 ab2.2.二次函数由特殊到一般，可
2、分为以下几种形式：22 y ax；y axk；y a xh2；y a x h2k；y ax2bx c三、二次函数的性质：1、y ax2a的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标0，0对称轴性质时，随的增大而增大；时，yyxyx随向上y轴而减小；时，的增大的增大y时，随的增大而减小；时，0，0 x有最小值 0yx随向下y轴而增大；时，y有最大值 02.y ax c2的性质：上加下减。顶点坐标0，ca的符号开口方向向上对称轴性质y轴时，随的增大而增大；时，yyxyy随而减小；时，yy有最小值时，随的增大而减小；时，xcc的增大的增大xx随向下0，cy轴而增大；时，有最大值3
3、.y a x h2的性质：左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质时，随的增大而增大；时，X=h而减小；时，yyxyy随的增大x向上h，0y有最小值 0时，随的增大而减小；时，X=h而增大；时，x随 x的增大向下2h，0y有最大值 04.y a x hak的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质时，随的增大而增大；时，X=h而减小；时，yxy随的增大的增大xx向上h，ky时，随的增大而减小；时，X=h而增大；时，yx有最小值 ky随向下h，ky5.顶点决定抛物线的位置 .几个不同的二次函数，如果二次项系数小完全相同，只是顶点的位置不同.6.求抛物线的顶点、对称轴的方法a有最大值 k相同，那
4、么抛物线的开口方向、开口大y ax(1)公式法：2bxc a xb2a24ac b2（b 4ac b，2），对称轴是直线xb2a.4a，顶点是22a4a的形式，得到顶点为 (,)，对称轴是 .(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y a x h(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.四、二次函数图象的平移：2kh k1.平移步骤：方法一：保持抛物线将抛物线解析式转化成顶点式ya xhk，确定其顶点坐标h，k；yax2的形状不变，将其顶点平移到2h，k 处，具体平移方法如下：向上(k0)【或向
5、下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位h2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；ky=a(x-h)+k2值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：yax2bxc沿轴平移:向上（下）平移个单位，yax2bxc变成yax22m y ax（或bxcbxcm）yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移个单位，yax2bxc变成 ya(x m)2b(x m)c（或ya(x m)2b(xm)c）2五、二次函数ya xhk与 y2ax2bxc的比较从解析式上看，ya x hk与 yax2bx c是两种不同的表达形式，后者通
6、过配方可以得到前者，2yax即2ab24acb2hb，k4a，其中2a4ac b4a六、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数 y ax2abx c中，作为二次项系数，显然aa 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之aa的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，2.一次项系数b：在二次项系数b2a，即抛物线的对称轴在0a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小b0，即抛物线的对称轴就是0a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴即抛物线对称轴在轴的右侧yy 在的前提下，当时，b轴左侧；当
7、时，2ay轴；当时，2 a0，b 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，2ab，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，yb2 a0，即抛物线的对称轴就是y轴；当时，2a0，即抛物线对称轴在轴的左侧y总结起来，在确定的前提下，ab决定了抛物线对称轴的位置x（3）的符号的判定：对称轴异”3.常数项：当时，抛物线与b2a在轴左边则ab0，在轴的右侧则 ab 0，概括的说就是“左同右cy轴的交点在抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负总结起来，yy轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0ycxy 当时，xy决定了抛物线与y轴交点
8、的位置 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达x1.关于轴对称：2xyax2bx c关于轴对称后，得到的解析式是2xyax2bxc；y a x hk关于轴对称后，得到的解析式是yyxa x hk；2.关于轴对称：2yax2bx c关于轴对称后，得到的解
9、析式是2yyax2bxc；y a x hk关于轴对称后，得到的解析式是y2ya x hk；y23.关于原点对称：yaxbx c关于原点对称后，得到的解析式是ax2bxc；2y a x hk关于原点对称后，得到的解析式是ya xhck；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）：y ax2bx关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxcb2222a；y a x hk关于顶点对称后，得到的解析式是2y a x hk对称后，得到的解析式是5.关于点ym，n2对 称：kya x hk关 于 点m，na xh2m2n根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求
10、抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然22后再写出其对称抛物线的表达式八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程axbx c 0是二次函数当yaxbx c当函数值时的特殊情况 .图象与轴的交点个数：2xb24ac0 时，图象与 x轴交于两点Ax1，0，B x2，0(x1 x2)，其x1b24ac中的是一元二次方程ax 当时，图象与轴只有一个交点；当时，图象与轴没有交点.xx1当时，图象落在轴
11、的上方，无论xbx c0 a0的两根这两点间的距离xAB x2a.为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论2.抛物线 y ax3.二次函数常用解题方法总结：2x为任何实数，都有bx cy的图象与轴一定相交，交点坐标为，；xx 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数断图象的位置，要数形结合；yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判或已知与轴的一个 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐
12、标.2二次三项式 axx 与二次函数有关的还有二次三项式，面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系抛物线与两个交点bx c(a 0)本身就是所含字母x的二次函数；下x轴有二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与有一个交点抛物线与交点xx轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 .九、函数的应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以为自变量的二次函数的图像经过原点，则的值是（2、综合考查正比例、反比
13、例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数xy(m 2)x2m2m2）。ykx b的图像在第一、二、三象限内，那么函bx 12 y kx数的图像大致是）y（yyy10 xo-1x10 x0-1xABCD3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性x(0,3)，(4,6)两点，对称轴为5的综合题，如：已知一条抛物线经过3，求这条抛物线的解析式。4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：y ax已知抛物线2bxc（a0）与 x轴的两个交点
14、的横坐标是1、3，与 y轴交点的纵坐标是32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。.【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号c例 1（1）二次函数yax2bxM(b,)c的图像如图1，则点a在（）D 第四象限A第一象限B第二象限C 第三象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图 2所示，?则下列结论：a、b 同号；当 x=1和 x=3时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（A1 个B2 个C 3 个D 4 个）(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置
15、与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键例 2.已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且 1x12，与 y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为()A1 个 B.2 个C.3个D 4 个答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D (3，2)答案：C例 4.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a
16、的图象经过点 P(4，10)，交 x轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点(x1x2)，交 y轴负半轴于 C点，且满足 3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角 MCO ACO 若存在，请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)，则 x1 x2=30，又 x1O，x1O，30A=OB，x2=-3x1 x1 x2=-3x12=-3 x12=1.x10，x1=-1 x2=3点 A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3二次函数的解析式为 y-2x2-4x-6(
17、2)存在点 M使 MC0 ACO(2)解：点 A关于 y轴的对称点 A (1，O)，直线 A，C 解析式为 y=6x-6直线 AC与抛物线交点为 (0，-6)，(5，24)符合题意的 x的范围为-1x0或 Ox5 当点 M 的横坐标满足 -1xO或 Ox ACO 例 5、某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）123500y（件）221500若日销售量y 是销售价x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元15
18、kb25,【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b 则2k b20解得 k=-1，b=40，?即一次函数表达式为 y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为2+225 x 元，所获销售利润为w 元：w=（x-10）（40-x）=-x2+50 x-400=-（x-25）产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为二次函数知识点汇总225 元用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用y(1)决定开口方向及开口大小，这与aax2中的完全一样.a(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y2axbxcxb的对
19、称轴是直线2a,故：时，对称轴为轴；(即、同号)时,对称轴在轴左侧；(即、异号)时,对称轴在轴右侧 .(3)的大小决定抛物线y当时，抛物线ababcax2bxc与轴交点的位置 .yax2bx c与轴有且只有一个交点(0，)：c，抛物线经过原点 ;,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴 .b0a以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.开口方向对称轴(轴)顶点坐标(0,0)(0,)yax2yax2k2当时开口向上当时(轴)kya xh(,0)hya xh2k开口向下(,)h kyax2bxcxb2ab4acb2，(2a4a
20、)11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：(2)顶点式：yyax2bxc.已知图像上三点或三对x、的值，通常选择一般式 .a xh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与12.直线与抛物线的交点x轴的交点坐标、，通常选用交点式：ya x x1 xx2.轴与抛物线 y ax(1)2bx cy得交点为()与轴平行的直线与抛物线(2)ax2bxc有且只有一个交点 (h,ah2bh c).抛物线与轴的交点：二次函数(3)次方程 ax2xyax2bx cx的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二0抛物线与x轴相切；xbx c0的两个实数根 .抛物线与轴的交点情
21、况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在x轴上)没有交点0 x抛物线与轴相离.x(4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0 个交点、1个交点、2 个交点.当有 2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为(5)一次函数k，则横坐标是ax的图像 l与二次函数2bxcax2bxk的两个实数根 .ykxn k 0yc a 0的图像的交点，由方程组ykxnyax2 bx c的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时方程组只有一组解时l与有两个交点 ;l与只有一个交点；方程组无解时l与没有交点 .12(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线x
22、yax2bx c与轴两交点为2xA x，B x，00，由于、是方程 ax2bxc0 x2x1 x2的两个根，故b,x1x2cbaa2a4c22b4acaAB x1 x2x1x1 x24x1 x2aa13二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程(2)二次函数二次函数yax22bx cc就是二次函数yax2bxc当函数 y的值为0 时的情况yax2bx的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当x的值，即一元二次方xyaxbx c的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量x程 ax2 bx c 0的根(3)当二次函数y ax2bx c的图象与x轴有两个交点时，则一元
23、二次方程y ax2bx c有两个不相 等 的 实 数 根；当 二 次 函 数y ax2bx c的 图 象 与 x轴 有 一 个 交 点 时，则 一 元 二 次 方 程ax2bx c0有两个相等的实数根；当二次函数y ax2bx c的图象与轴没有交点时，则一元二x次方程 ax2bx c 0没有实数根14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大运用二次函数的知识解决实际问题中的最大15.解决实际问题时的基本思路：(小)值(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；(1)理解问题；(2)分析问题中的变量
24、和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）知识点四，正比例函数和一次函数1、一般地，如果ykxb（k，b 是常数，k0），那么 y叫做 x的一次函数。中的 b为 0时，特别地，当一次函数y2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数kx by kx（k为常数，k0）。这时，y叫做 x的正比例函数。ykxb的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数ykx的图像是经过原点（0，0）的直线
25、。图像特征k 的符号b 的符号函数图像yb0图像经过一、二、三象限，y 随 x的增0 x大而增大。k0yb0图像经过一、二、四象限，的增大而减小0 xy 随 xK0yb0 时，图像经过第一、三象限，（2）当 k0 时，y随 x的增大而增大（2）当 k0k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。y 的取值范围是y0；当 k0ax2bxc(a,b,c 是常数，aa0yy图像0 x0 x（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；性质（2）对称轴是 x=2abb，顶点坐标是（2a，（2）对称轴是 x=2abb，顶点坐标是（2
26、a，4acb24a）；4acb24a）；b（3）在对称轴的左侧，即当xb（3）在对称轴的左侧，即当 x2a时，y随 x的增大而增大，简记左减右增；的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x2a时，y随 x的增大而减小，简记左增右减；b（4）抛物线有最低点，当x=b（4）抛物线有最高点，当x=2a时，y有最小2a时，y有最y最小值值，4acb24ay最大值大值，4acb24a2、二次函数yax2bxc(a,b,c 是常数，a0)中，a、b、c的含义：a表示开口方向：0时，a 0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(
27、h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)+k2平移规律：在原有函数的基础上可以大大节省做题的时间）特别记忆-同左上加hk“值正右移，负左移；值正上移，负下移”函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，异右下减(必须理解记忆 )说明 函数中 ab值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y 轴右侧异右向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减。ktany2y1x2x1直线斜率：b 为直线在 y轴上的截距4、直线方程：两点由直线上两点确定的yykxb(tan)x b1直线的两点式方程，简称两式:
28、1x(xy2x)1x2x1y此公式有多种变形牢记；点斜yy1 kx(xx1)；斜截直线的斜截式方程，简称斜截式:y kx b(k 0)xa，则有yb1截距由直线在 x轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：y5、设两条直线分别为，l1：yk1 x b1l2：yk2 x b2若l1 /l2l1/l2k1 k2且bbd1 2。kx0y0若l 1l2k1 k21，点 P（x0，y0）到直线 y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距离 :bkx0y0bk2(1)2抛物线k21yax2bxc中，a b c,的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与ayax2中的完全一样.a（2）b和共同决定抛物
29、线对称轴的位置.由于抛物线xayax2bxc的对称轴是直线bba0b02a，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；a异右ab（即、ab异号）时，对称轴在轴右侧.口诀 -同左（3）的大小决定抛物线y当时，抛物线cax2bxbx cc与轴交点的位置 .yax2与轴有且只有一个交点（0，）：，抛物线经过原点 ;,与轴交.如抛物线的对称轴在轴右侧，c于正半轴；,与轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立b则 a.0十一、初中数学助记口诀(函数部分)0 在 Y轴。对称点坐标:对称点坐标要记牢记,横纵坐标变符号。特殊点坐标特征:坐标平面点 (x,y),横在前来纵在后；(+,+)
30、,(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；X 轴上 y为 0,x为,相反数位置莫混淆，X 轴对称 y相反,Y轴对称,x前面添负号；原点对称最好自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成式，则用下面后的口诀一次函数图像与性质口诀y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k 的形同左上加异右下减,经过原点一直线；两个“左右平移在括号,上下平移在末稍,:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单系数 k与 b,作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b与 Y轴来相见,k为正来右上斜
31、 ,x 增减 y增减；k 为负来左下展,变化规律正相反；k 的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点a 相关联；顶点位置先找见，,一般式配方它就现，横标即为对称轴,它们确定图象现；开口、Y 轴作为参考线，左同,纵标函数最值见。若大小由 a断,c与 Y 轴来相见,b的符号较特别，符号与右异中为 0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要反比例函数图像与性质口诀边。求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别
32、减。图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾正比例函数是直线，图象一定过圆点，k的正负是关键，决定直线的象限，负 k经过二四限，x增大 y在减，上下平移 k不变，由引得到一次线，向上加键。反比例函数双曲线，待定只需一个点，正变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。a 的正负开口判，c 的大小 y轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。二次函数抛物线，选定需要三个点，a、b同号轴左边抛物线平移1对称点坐标 :对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X 轴对称 y相反,Y 轴对称,x前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。k
33、 落在一三限，x增大 y在减，图象上面任意点，矩形面积都不b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关关于轴对称yax2x2bxc关于轴对称后，得到的解析式是y2xax2bxc；y a x hk关于x轴对称后，得到的解析式是ax2y a x hk；关于轴对称yybxc关于轴对称后，得到的解析式是yyax2bxc；22ya x h关于原点对称yk关于轴对称后，得到的解析式是yya xhk；ax2bxc2关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；2ya xh关于顶点对称2k关于原点对称后，得到的解析式是ya xhkyax2bxcb22yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式是2a
34、；ya x h关于点k关于顶点对称后，得到的解析式是yax hk2m，n对称2ya x hk关于点m，n对称后，得到的解析式是ya x h2m2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式口诀-Y反对 X，X 反对 Y，都反对原点2自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写
35、成二次函数的解析式写成一次函数图像与性质口诀y=k（x+0）+b，y=a（x+h）2+k 的形式，”。则用下面后的口诀：“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数 k与 b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与 Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减 y增减；k 为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀 :二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点开口、大小由左同右异中为,它们确定图象限；a 断,c与 Y 轴来相见,b的符号较特别，符号与 a 相关联；
36、顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要 ,一般式配方它就现，横标即为对称轴 ,纵标函数最值见。若求对称轴位置 ,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远 ;k 为正,图在一、三(象)限；k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过原点，限，x增大 y在减，上下平移条线，选定系数是关键；变，对称轴是角分线,两个分支分别添 ;线越长越近轴 ,永远与轴不沾边。k 的正负是关键，决定直线的象限，负k 经过二四b 向下减，图象经过三个限
37、，两点决定一k 不变，由引得到一次线，向上加反比例函数双曲线，待定只需一个点，正x、y的顺序可交换；二次函数抛物线，选定需要三个点，k 落在一三限，x增大 y在减，图象上面任意点，矩形面积都不a 的正负开口判，c的大小 y轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。求定义域：求定义域有讲究，四项原则须留意。负数不能开平方，分母为零无意义。指是分数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，满足多个不等式。求定义域要过关，四项原则须注意。负数不能开平方，分母为零无意义。分数指数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，不等式
38、组求解集。解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。先去分1”注意了。同乘除正无防碍，同乘除负也变号。a 正开口它解一元二次不等式：首先化成一般式，构造函数第二站。判别式值若非负，曲线横轴有交点。向上，大于零则取两边。代数式若小于零，解集交点数之间。方程若无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，开口向下正相反。用公式法解一元二次方程：要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。定参数 abc，计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配
39、方法解一元二次方程：左未右已先分离，二系化“题。左边分解右合并，直接开方去解题。用间接配方法解一元二次方程：解一元二次方程：正比例函数的鉴别：体实数都要有。该种解法叫配方，解方程时多练习。确1”是其次。一系折半再平方，两边同加没问已知未知先分离，因式分解是其次。调整系数等互反，和差积套恒等式。完全平方等常数，间接配方显优势。【注】恒等式为零，等根是零不要忘。方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。b、c同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。一量表示另一量，判断正比例函数，检验当分两步走。b、c 相等都有没有。若有再去看取值，全体实数都需要。区分正比
40、例函数，衡量可分两步走。一量表示另一量，是与否。若有还要看取值，全正比例函数的图象与性质：正比函数图直线，经过和原点。K正一三负二四，变化趋势记心间。K 正左低右边高，同大同小向爬山。K 负左高右边低，一大另小下山峦。点。K 正左低右边高，越走越高向爬山。一次函数：一次函数图直线，经过反比例函数：反比函数双曲线，经过K 负左高右边低，越来越低很明显。K 称斜率 b截距，截距为零变正函。象限滑下山。K 负左低右边高，二四象限如爬山。边单调正相反。A定开口及大小，线轴交点叫顶点。号内，号外上加下要减。二次方程零换点。K正一三负二四，两轴是它渐近线。K 正左高右边低，一三二次函数：二次方程零换y，二
41、次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。抛物线有对称轴，两平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。y，就得到二次函数。图像叫做抛物线，定义域全体实数。口及大小，开口向上是正数。绝对值大开口小，开口向下列表描点后连线，三点大致定全图。基础。【注】基础抛物线列方程解应用题：两点间距离公式：列方程解应用题，审设列解双检答。审题弄清已未知，设元直间两办法。列表画图造顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线，左加右减括A 定开A 负数。抛物线有对称轴，增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，平移描点皆成图。若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随方程，解方程时守章法。个点，横纵标差先求值。检验准且合题意，问求同一才作答。平面任意两同轴两点求距离，大减小数就为之。与轴等距两个点，间距求法亦如此。差方相加开平方，距离公式要牢记。