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1、内容：1、一元一次函数；2、一元二次函数；3、反比例函数二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二、二次函数的基本形式：1. 二次函数基本形式：二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，. 2. 二次函数由特殊到
2、一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2三、二次函数的性质：1、2yax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 2yaxc的性质：上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值c3. 2ya xh的性质：左加右
3、减。4. 2ya xhk的性质：5. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 6. 求抛物线的顶点、对称轴的方法(1) 公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. (2) 配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k) ，对称轴是hx. (3) 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 四、二次函数图象的平移：0a向下0c
4、，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值ca的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k0a向下hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2
5、ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a (x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：cbxaxy2沿y轴平移 : 向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿 轴 平 移 ： 向 左 （ 右 ） 平 移m个
6、 单 位 ，cbxaxy2变 成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）五、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，六、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的
7、正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小2. 一次项系数b： 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下， 当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba， 即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置（3）ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就
8、是“左同右异”3. 常数项c： 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方， 即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，
9、常选用顶点式七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称：2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；2. 关于y轴对称：2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；3. 关于原点对称：2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） ：2yaxbxc关于顶点对称后，得
10、到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5. 关 于 点mn，对 称 ：2ya xhk关 于 点mn，对 称 后 ， 得 到 的 解 析 式 是222ya xhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式八、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴
11、交点情况） ：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：当240bac时，图象与x轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0时，图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象与x轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y2. 抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐
12、标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数； 下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系0抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根
13、0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 九、函数的应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数2)2(22mmxmy的图像经过原点，则m的值是（） 。2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数bkxy的图像在第一、二、三象限内，那么函数12bxkxy的图像大致是（） y y y y 1 1
14、0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) ，(4,6) 两点，对称轴为35x，求这条抛物线的解析式。4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线2yaxbxc（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的
15、符号例 1 （1）二次函数2yaxbxc的图像如图1，则点),(acbM在（） A第一象限 B第二象限 C 第三象限 D 第四象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图2 所示， ?则下列结论： a、b 同号； 当 x=1 和 x=3时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时， x 的值只能取0. 其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b， c 之间的关系，是解决问题的关键例 2. 已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于点 (-2 ， O)、(x1 ，0) ，且 1x12，与 y 轴的
16、正半轴的交点在点 (O，2)的下方 下列结论： abO； 4a+cO， 其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D 4 个答案： D 会用待定系数法求二次函数解析式例 3. 已知：关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一个根为x=-2 ，且二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3 ，2) 答案： C 例 4. 已知： 二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4， 10) ， 交 x 轴于)0,(1xA，)0 ,(2xB两点)(21xx，交 y 轴负半轴于C点
17、，且满足3AO=OB (1) 求二次函数的解析式；(2) 在二次函数的图象上是否存在点M ，使锐角 MCO ACO? 若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1) 解：如图抛物线交x 轴于点 A(x1，0) ，B(x2 ，O)，则 x1x2=30，又 x1O ， x1O， 30A=OB ， x2=-3x1 x1x2=-3x12=-3 x12=1. x10， x1=-1 x2=3点 A(-1 ，O)，P(4，10) 代入解析式得解得a=2 b=3 二次函数的解析式为y-2x2-4x-6(2) 存在点 M使 MC0 ACO (2) 解：点 A关于 y 轴的对称点A(1，O)
18、，直线 A，C解析式为y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为(0，-6) ，(5， 24) 符合题意的x 的范围为 -1x0 或 Ox5 当点 M的横坐标满足 -1xO 或 Ox ACO 例 5、 某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价x（元） ?与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）15 20 30 y（件）25 20 10 若日销售量y 是销售价x 的一次函数（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b则1525,220k
19、bkb解得 k=-1 ，b=40，?即一次函数表达式为 y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w元：w= （x-10 ） （40-x ）=-x2+50 x-400=- （x-25 ）2+225产品的销售价应定为25 元，此时每日获得最大销售利润为225元二次函数知识点汇总用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9. 抛物线cbxaxy2中，cba,的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2, 故：0b时，对称轴为y轴；0ab(
20、 即a、b同号 ) 时, 对称轴在y轴左侧；0ab( 即a、b异号 ) 时, 对称轴在y轴右侧 . (3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置 . 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0 ，c) ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0 x(y轴) (0,0) kaxy20 x(y轴) (0, k) 2hxayhx(h,
21、0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 11. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2) 顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3) 交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 12. 直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (c,0) (2) 与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2). (3) 抛物线与x轴的交点：二次函数cbxaxy2的图像与
22、x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的 判 别 式 判 定 ： 有 两 个 交 点0抛 物 线 与x轴 相 交 ； 有 一 个 交 点 ( 顶 点 在x轴上)0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . (4) 平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . (5) 一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxa
23、xynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . (6) 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB44422212212212113二次函数与一元二次方程的关系：(1) 一元二次方程cbxaxy2就是二次函数cbxaxy2当函数 y 的值为 0 时的情况(2) 二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；
24、当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有交点时， 交点的横坐标就是当0y时自变量x的值， 即一元二次方程02cbxax的根(3) 当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2有两个不相 等 的 实 数 根 ； 当 二 次 函 数cbxaxy2的 图 象 与x轴 有 一 个 交 点 时 ， 则 一 元 二 次 方 程02cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程02cbxax没有实数根14. 二次函数的应用：(1) 二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大( 小 )值；(2) 二次函数的应用包括
25、以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大( 小) 值15. 解决实际问题时的基本思路：(1) 理解问题； (2) 分析问题中的变量和常量；(3) 用函数表达式表示出它们之间的关系；(4) 利用二次函数的有关性质进行求解；(5) 检验结果的合理性，对问题加以拓展等黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）知识点四，正比例函数和一次函数1、一般地，如果bkxy（k，b 是常数， k0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地， 当一次函数bkxy中的 b 为 0 时，kxy（k 为常数， k0） 。这
26、时， y 叫做 x 的正比例函数。2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数bkxy的图像是经过点（0， b）的直线；正比例函数kxy的图像是经过原点（0，0）的直线。k 的符号b 的符号函数图像图像特征k0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。b0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大。K0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x的增大而减小b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时， y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 k0 时，函数
27、图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是x0， y的取值范围是y0；当 k0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时， y 有最小（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点
28、，当x=ab2时， y 有最值，abacy442最小值大值，abacy442最大值2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上；a0 时，图像与x轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a (x-h)2y=ax2+ky=ax2平移规律：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题
29、速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆 - 同左上加异右下减 ( 必须理解记忆) 说明函数中 ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减。直线斜率：1212tanxxyyk b为直线在y 轴上的截距4、直线方程：两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式 : )()(tan112121xxxxxyybxbkxyy此公式有多种变形牢记；点斜)(11xxkxyy；斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: y kxb(k 0) 截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1byax5、
30、设两条直线分别为，1l：11yk xb2l：22yk xb若12/ll，则有1212/llkk且12bb。若12121llkk，点P（ x0 ， y0）到直线y=kx+b( 即： kx-y+b=0) 的距离 : 1) 1(2002200kbykxkbykxd抛物线cbxaxy2中， a b c,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . 口诀 - 同左异右（3）c
31、的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ： 0c，抛物线经过原点 ; 0c, 与y轴交于正半轴； 0c, 与y轴交于负半轴. 以上三点中， 当结论和条件互换时，仍成立 . 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 十一、初中数学助记口诀( 函数部分 ) 特殊点坐标特征: 坐标平面点 (x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和 (+,-),四个象限分前后；X 轴上 y 为 0,x 为 0 在 Y轴。对称点坐标 : 对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆，X轴对称 y 相反 ,Y 轴对称 ,x 前面
32、添负号； 原点对称最好记 , 横纵坐标变符号。自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k 的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号, 上下平移在末稍, 同左上加异右下减一次函数图像与性质口诀: 一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单, 经过原点一直线；两个系数 k 与 b, 作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b 与 Y轴来相见 ,k 为正来右上斜 ,x 增减 y 增减； k 为负来左下展 , 变化规律正相反；k 的绝对值越大, 线离
33、横轴就越远。二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、 顶点和交点 ,它们确定图象现；开口、大小由 a 断,c 与 Y轴来相见 ,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀: 反比例函数有特点, 双曲线相背离的远;k为正 , 图在一、三 ( 象) 限 ,k为负 , 图在二、 四( 象) 限; 图在一、 三函数减 , 两个分支分别减。图在二、 四正相反 , 两个分
34、支分别添; 线越长越近轴,永远与轴不沾边。正比例函数是直线，图象一定过圆点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负k 经过二四限，x 增大 y 在减，上下平移k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k 落在一三限， x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y 的顺序可交换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。1 对称点坐标 :
35、对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称 y 相反 , Y 轴对称 ,x 前面添负号；原点对称最好记, 横纵坐标变符号。关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2
36、ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk关于点mn，对称2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式口诀 - - Y反对 X，X反对 Y，都反对原点2 自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，函数图像的移动规律: 若把一次函数解析
37、式写成y=k（x+0）+b，二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k 的形式，则用下面后的口诀：“左右平移在括号, 上下平移在末稍,左正右负须牢记, 上正下负错不了”。一次函数图像与性质口诀: 一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单, 经过原点一直线；两个系数 k 与 b, 作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b 与 Y轴来相见 ,k 为正来右上斜 ,x 增减 y 增减； k 为负来左下展 , 变化规律正相反；k 的绝对值越大, 线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象限；开口、大小由 a断 ,c 与 Y轴来相见 ,b
38、 的符号较特别， 符号与 a 相关联； 顶点位置先找见， Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反 ,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀: 反比例函数有特点,双曲线相背离的远; k 为正 , 图在一、三 ( 象) 限； k 为负 , 图在二、四 ( 象) 限 ; 图在一、 三函数减 , 两个分支分别减；图在二、 四正相反 , 两个分支分别添; 线越长越近轴, 永远与轴不沾边。函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过原点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负k 经过二
39、四限， x 增大 y 在减，上下平移k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键；反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k 落在一三限， x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y 的顺序可交换；二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。求定义域：求定义域有讲究，四项原则须留意。负数不能开平方，分母为零无意义。指是分数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，满足多个不等式。求
40、定义域要过关，四项原则须注意。负数不能开平方，分母为零无意义。分数指数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，不等式组求解集。解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。先去分母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化“1”注意了。同乘除正无防碍，同乘除负也变号。解一元二次不等式：首先化成一般式，构造函数第二站。判别式值若非负，曲线横轴有交点。 a 正开口它向上，大于零则取两边。代数式若小于零，解集交点数之间。方程若无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，开口向下正相反。13.1 用公式法解一元二次方程：要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数
41、随其后，使其成为最简比。确定参数abc，计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配方法解一元二次方程：左未右已先分离，二系化“1”是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程：已知未知先分离，因式分解是其次。调整系数等互反，和差积套恒等式。完全平方等常数，间接配方显优势。【注】恒等式解一元二次方程：方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。 b 、c 相等都为零，等根是零不要忘。 b 、 c 同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而
42、异择良方。正比例函数的鉴别：判断正比例函数，检验当分两步走。一量表示另一量，有没有。若有再去看取值，全体实数都需要。区分正比例函数，衡量可分两步走。一量表示另一量，是与否。若有还要看取值，全体实数都要有。正比例函数的图象与性质：正比函数图直线，经过和原点。 K 正一三负二四，变化趋势记心间。 K 正左低右边高，同大同小向爬山。 K 负左高右边低，一大另小下山峦。一次函数：一次函数图直线，经过点。 K 正左低右边高，越走越高向爬山。K 负左高右边低，越来越低很明显。 K 称斜率 b 截距，截距为零变正函。反比例函数：反比函数双曲线，经过点。 K 正一三负二四，两轴是它渐近线。 K 正左高右边低，
43、一三象限滑下山。K负左低右边高，二四象限如爬山。二次函数：二次方程零换y，二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。抛物线有对称轴，两边单调正相反。 A定开口及大小， 线轴交点叫顶点。顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要减。二次方程零换y，就得到二次函数。图像叫做抛物线，定义域全体实数。 A 定开口及大小，开口向上是正数。绝对值大开口小，开口向下A负数。抛物线有对称轴，增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，平移描点皆成图。列表描点后连线，三点大致定全图。若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。【注】基础抛物线列方程解应用题：列方程解应用题，审设列解双检答。审题弄清已未知，设元直间两办法。列表画图造方程，解方程时守章法。检验准且合题意，问求同一才作答。两点间距离公式：同轴两点求距离，大减小数就为之。与轴等距两个点，间距求法亦如此。平面任意两个点，横纵标差先求值。差方相加开平方，距离公式要牢记。