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1、九章数学工作室，真诚为您献讲！九章数学工作室，真诚为您献讲！第第 1515 讲讲二次函数的应用二次函数的应用【回顾与思考】【回顾与思考】刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少【例题经典】【例题经典】一用二次函数解决最值问题一用二次函数解决最值问题例例 1 1（2006 年旅顺口区）已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例例 2 2某
2、产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b则15k b 25,解得 k=-1，b=40，2k b 20即一次函数表达式为 y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为 w 元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50 x-400=-（x-25）
3、2+225产品的销售价应定为25 元，此时每日获得最大销售利润为225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程-1-九章数学工作室，真诚为您献讲！九章数学工作室，真诚为您献讲！基础练习基础练习1二次函数 y=12x+x-1，当 x=_时，y 有最_值，这个值是_212gt（其中 g 是常数，212V1002在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上
4、升高度 s（m）与抛出时间 t（s）满足：S=V0t-通常取 10m/s2），若 V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面_m3影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数 有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为 V（km/h）的汽车的刹车距离 S（m）可由公式 S=确定；雨天行驶时，这一公式为S=12V 如果车行驶的速度是60km/h，那么在雨天50行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_米4（2006 年南京市）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2AD，线段 EF=10在 EF 上取一点 M，分别以 EM、MF 为一边作矩形 EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN矩形
5、 ABCD令MN=x，当x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大值是多少？5（2006 年青岛市）在 2006 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价 x（元/千克）25 24 23 22销售量 y（千克）2000250030003500（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点连接各点并观察所得的图形，判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出y 与 x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为 13 元/千克，试求销售利润 P（元）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系式，并求出
6、当x 取何值时，P 的值最大？-2-九章数学工作室，真诚为您献讲！九章数学工作室，真诚为您献讲！6（2006 十堰市）市“健益”超市购进一批 20 元/千克的绿色食品，如果以 30元/千克销售，那么每天可售出400 千克由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价 x（元）（x30）存在如下图所示的一次函数关系式（1）试求出 y 与 x 的函数关系式；（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元，现该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元，请你帮助该超市确定绿色
7、食品销售单价x 的范围（直接写出答案）7施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6 米，宽度 OM 为 12 米，现在 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系（如图所示）（1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使 A、D 点在抛物线上，B、C 点在地面 OM 上为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下-3-九章数学工作室，真诚为您献讲！九章数学工作室，真诚为您献讲！8（2006 年泉州市）一条隧道的截面如图所示
8、，它的上部是一个以AD为直径的半圆 O，下部是一个矩形 ABCD（1）当 AD=4 米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；（2）已知矩形 ABCD 相邻两边之和为 8 米，半圆 O 的半径为 r 米求隧道截面的面积 S（米）关于半径 r（米）的函数关系式（不要求写出 r 的取值范围）；若 2 米CD3 米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值（取 3.14，结果精确到 0.1 米）-4-九章数学工作室，真诚为您献讲！九章数学工作室，真诚为您献讲！答案与参考答案与参考例题经典例题经典例 1：解：设矩形 PNDM 的边 DN=x，NP=y，则矩形 PNDM 的面积 S=xy（2x4）易知 CN=
9、4-x，EM=4-y 且有y=-NPBCBFy 31（作辅助线构造相似三角形），即=，CNAF4 x211x+5，S=xy=-x2+5x（2x4），22此二次函数的图象开口向下,对称轴为 x=5，当 x5 时，函数的值是随 x 的增大而增大，对 2x4 来说，当 x=4 时，S 有最大值 S最大=-考点精练考点精练1-1，小，-142+54=1223 27 33624解：矩形 MFGN矩形 ABCD，MNMF，ADAB5225）+，22AB=2AD，MN=x，MF=2x，EM=EF-MF=10-2x，S=x（10-2x）=-2x2+10 x=-2（x-当 x=525时，S 有最大值为225解：
10、（1）正确描点、连线由图象可知，y 是 x 的一次函数，设 y=kx+b，点（25，2000），（24，2500）在图象上，2000 25k b,2500 24k bk 500，解得:b 14500y=-500 x+14500（2）P=（x-13）y=（x-13）（-500 x+14500）2=-500 x+21000 x-188500=-500（x-21）2+32000，P 与 x 的函数关系式为 P=-500 x2+21000 x-188500，当销售价为 21 元/千克时，能获得最大利润6解：（1）设 y=kx+b 由图象可知，30k b 400,40k b 200k 20，解之得:b
11、1000y=-20 x+1000（30 x50）（2）P=（x-20）y=（x-20）（-20 x+1000）=-20 x2+1400 x-20000-5-九章数学工作室，真诚为您献讲！九章数学工作室，真诚为您献讲！a=-200，P 有最大值当 x=-1400=35 时，P最大值=45002(20)即当销售单价为 35 元/千克时，每天可获得最大利润4500 元（3）31x34 或 36x397解：（1）M（12，0），P（6，6）（2）设这条抛物线的函数解析式为：y=a（x-6）2+6，抛物线过 O（0，0），a（0-6）2+6=0，解得 a=这条抛物线的函数解析式为y=-（3）设点 A 的
12、坐标为（m，-OB=m，AB=DC=-1，611（x-6）2+6，即 y=-x2+2x6612m+2m），612m+2m，根据抛物线的轴对称，可得：OB=CM=m，6BC=12-2m，即 AD=12-2m，L=AB+AD+DC=-12111m+2m+12-2m-m2+2m=-m2+2m+12=-（m-3）2+1566331AD21（）=22=2（米2）222当 m=3，即 OB=3 米时，三根木杆长度之和L 的最大值为 15 米8（1）当 AD=4 米时，S半圆=（2）AD=2r，AD+CD=8，CD=8-AD=8-2r，S=111r2+ADCD=r2+2r（8-2r）=（-4）r2+16r，
13、22211-4）r2+16r=（3.14-4）r2+16r22864=-2.43r2+16r=-2.43（r-）2+，2.432.43由知 CD=8-2r，又2 米CD3 米，28-2r3，25r3，由知 S=（-2.430，函数图象为开口向下的抛物线，-6-九章数学工作室，真诚为您献讲！九章数学工作室，真诚为您献讲！8函数图象对称轴 r=3.3又 2.5r33.3，2.43由函数图象知，在对称轴左侧S 随 r 的增大而增大，故当 r=3 时，S 有最大值，S最大值=（11-4）32+163（3.14-4）9+48=26.1326.1（米2）22答：隧道截面面积 S 的最大值约为 26.1 米2-7-