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1、第15讲 二次函数的应用与综合问题（测）-2021年中考数学一轮复习 讲 练 测2 02 1年中考数学轮复习讲练测专 题1 5二次函数的应用与综合问题达标检测（2 02 0.武汉市常青第一学校九年级模）1 .如图,隧道的截面由抛物线和长方形。A8C构成,长方形的长。是1 2根,宽O C是4 7.按照图中所示的平面直角坐标系,抛物线可以用尸丄+灰+c表示.在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8，”.那么两排灯的水平距离最小是（）A.2mB.4，”C.4夜机D.4/3/（2 02 0江苏徐州市九年级期中）2 .如图，/?込0 48的顶点A （-2,4）在
2、抛物线）=上,将对 OAB绕点。顺时针旋转9 0。，得到 0。，边C。与该抛物线交于点P,则点P的坐标为（）A.(7 2,7 2)B.(2,2)C.(7 2,2)D.(2,7 2)（2 02 0全国九年级课时练习）3 .从地面竖直向上抛出小球,小球的高度（单 位:加）与小球运动时间”单 位:s）之间的函数关系如图所示.下列结论:小球在空中经过的路程是4 0?；小球抛出3秒后,速度越来越快;小球抛出3秒时速度为;小球的高度/?=3 0时,t=1.5s.其中正确的是（）A.B.C.D.（2020河南九年级其他模拟）4.如图1,在菱形ABC。中,NA=120。,点 E 是 BC边的 中 点,点 P
3、是对角线8。上动点,设尸的长度为x,PE与 PC 的长度和为y,图2 是 y 关于x 的函数图象,其中”是图象上的最低点，则。+的值 为（）A.1下 B.2/3+4 C.,73 D.（2020.河北九年级其他模拟）5,超市有一种“喜之郎”果冻礼盒,内装两个上下倒置的果冻,果冻髙为4 c/n,底面是个直径为6c川的圆,轴截面可以近似地看作一个抛物线,为了节省成本,包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分,两个果冻之间没有挤 压）至少为（）A.(6+3 0)cm B.(6+2 )cm C.(6+2A/5)cm D.(6+3 )cm（2020山东日照市九年级期末）6.已知二次函数y=ax2
4、+2ax+3a2+3（4J x 是自变量）,当近2时，y 随 x 的增大而增大,K-2xl时，y 的最大值 为9,则a 的值 为（）A.1 或-2 B.近 或 近 C.夜 D.1（2020全国九年级 单元测 试）7.记某商品销售单价为x 元,商 家销售此种商品每月获得的销售利润 为y 元,且 y 是试卷第2页,共 7页关于X的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时,他每月均可获得销售利润1800元;当商家将此种商品销售单价定为80元时,他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（）A.y=-（x-60）2+1825 B.y=-2（x-60）2+1850C.y
5、=-（x-65）2+1900 D.y=-2（x-65）2+2000（2020合肥工业大学附属中学九年级月考）8.2019年女排世界杯于9月在日本举行,中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神.如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线,在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系,已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米,排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米 处（图中点8）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米）,落 地 时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式
6、为（）（2020.江苏连云港市.中考真题）9.加工爆米花时,爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率与加工时间x（单 位:m in）满足函数表达式 =-0.2+1.5*-2,则最佳加工时间为 min.（2020湖北省直辖县级行政单位.中考真题）10.某商店销售批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为 元.（2020湖北襄阳市中考真题）11.汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间/（秒）的函数关系是S=15L6 ,
7、汽车从刹车到停下来所用时间是 秒.（2020四川巴中市,）12.在空旷 场地上设 计落地为矩形ABC。的小屋,A B+B C =0m.拴住小狗的10根长的绳子一端固定在B点处,小狗在不能进人小屋内的条件下活动,其可以活动的区域面积 为SQ）.（1）如图 1,若 B C =4 m,则5=m2（2）如图2,现考虑在（1）中的矩形ABC。小屋的右侧以C。为 边拓展一正ACDE区域,使之变成落地为五边A8 8 E的小屋,其它条件不变.则在BC的变化过程中,当S取得最小值 时,边 长8 c的长为 m.（2020江西宜春市九年级二模）13.如图,已 知。P的半径是1,圆心户在抛物线y=g上运动,当。尸与x
8、轴相切时,圆心尸的坐标为.（2020.广西柳州市.九年级一模）14.如图，在平面直角坐标系 中,P是抛物线丫=一x2+3x上一点，且在x轴上 方,过点P分别向X轴、y轴作垂线,得 到 矩 形PMON.若矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大,则m的取值范围是.（2020陕西西安市高新一中九年级其他模拟）15.如图，菱形ABCD的边 长 为8,NBAD=60。,点E是A D上一动点（不与A、口重试卷第4页，共7页合）,点F是CD上动点,且AE+CF=8,贝ZiDEF面积的最大值为,（2020河南九年级其他模拟）16.在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训 练的录像进行分析，发 现
9、实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为 =+1,由此可知该生此次实心球训 练的成绩为 米.（2020河北中考真题）17.用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实 验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实 验 发 现:木板承重指数卬与木板厚度x（厘米）的平方成正比,当x=3时,W=3.（1）求卬与 的函数关系式.（2）如图，选块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）.设薄板的厚度为x（厘米），Q=叱-W薄.长求Q与x的函数关系式;X为何值 时,。是叱即 的3倍?【注:（1）及（2）中的不必写x的取值范围】（2020.山东青岛市
10、.中考真题）18.某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图表示A型活动板房的一面墙,它由长方形和抛物线构成,长方形的长4）=4加，宽AB=3 m,抛物线的最高点E到BC的距离为4m.（1）按如图所示的直角坐标系,抛物线可以用=2+，M&HO）表 示,求 该抛物线的函数表达式;（2）现将 A型活动板房改造为 B型活动板 房.如 图,在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户 GMN,点G,M 在上，点N,在抛物线上,窗 户的成本为 5 0 元/,.已知GM=2 m,求每个8型活动板房的成本是多少?（每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+扇窗户 回 GMN的成本）（3）根据市场调查，以
11、单价 6 5 0 元销售（2）中的8型活动板房，每月能售出1 0 0 个,而单价每降低!0 元,每月能多售出2 0 个.公司每月最多能生产 1 6 0 个8型活动板房.不考虑其他因素,公司将销售单价 （元）定为多少时,每 月 销售 8型活动板房所获利润w （元）最大?最大利润是多少?（2 0 2 0-四川凉山彝族自治州中考真题）（1）求二次函数的解析式;（2）若线段 OB的垂直平分线与 y 轴交于点C,与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D,求直线 CD的解析式;（3）在直线 CD下方的二次函数的图象上有一动点 P,过点 P作 尸。丄x 轴,交直线 C D于 Q,当线段 PQ的长最大时,
12、求 点 P的坐标.（2 0 2 0.湖北黄冈市.中考真题）试卷第6页,共 7页2 0.网络 销售已经成为一种热 门的销售方式为了减少农 产品的库存,我 市市长 亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗.为提高大家购 买的积极性,直播时,板栗公司每天拿出2000元现金，作为 红包发 给 购 买者.已 知该板栗的成本价格为6 元/k g,每日销售量y（kg）与销售单价 x（元/k g）满足 关 系 式:y=-100.r+5000.经 销售发 现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/k g.当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）.（1）请求岀
13、日获利卬与销售单价 x 之间的函数关系式（2）当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?最大利润 为多少元?（3）当40000元时，网络平台将向板栗公可收取a 元/kg（a 4）的相关费用，若此时日获利的最大值 为42100元，求 a 的值.参考答案:1.D【分析】根据长方形的长OA 是 1 2 m,宽O C是 4 m,可得顶点的横坐标和点C 的坐标,即可求出抛物线解析式,再把y=8 代入解析式即可得结 论.【详解】根据题意，得0A=12,0C=4.所以抛物线的顶点横坐标 为6,b艮 卩-=1 =6,/.b=2.2a 3VC(0,4),：.c=4,所以抛物线解析式为:1 产+2+46=-(
14、x-6)2+106当)，=8时,8=-(x-6)2+10,6解 得:x/=6+2 耳,X2=6-2.则 xi-X2=4 y/3.所以两排灯的水平，距离最小是4 G .故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的应用,解决本题的关键是把实 际 问 题 转化为二次函数问题解决.2.C【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式,然后根据题意求得。(0,2),且Cx轴,从而求得尸的纵坐标 为2,代入求得的解析式即可求得P 的坐标.【详解】:放 的顶点 A(-2,4)在抛物线)=“上,.*.4=4=。8=2,：.D(0,2),：DC LOD,.C x 轴,.尸 点的纵坐标为2,令)，=2,得 2=,解 得:戸
15、土丘.点P在第一象限,.点/3的坐标为:(夜,2)故答案为:C.【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征,坐标与图形变化一旋转,掌握旋转的性质是解题的关键.3.D【分析】根据函数的图象中的信息判断即可.【详解】由图象知小球在空中达到的最大高度是4 0?;故错误;小球抛出3秒后，速度越来越快;故正确;小球抛出3 秒时达到最高点即速度为0 i 故正确;设函数解析式为:(=*3)2+4 0,把。(0,()代入得0 =a(0-3 y+4 0,解得a=一与,.函数解析式为=_ 。3)-+4 0,把 7/=3 0 代入解析式得,3 0 =一三(-3)-+4 0,解 得;r =4.5 或，=1.5,小球的高度
16、/?=3 0 7 时,/=1.5 s或4.5 s,故错误；故选D.【点睛】本题考查了二次函数的应用,解此题的关键是正确的理解题意4.C答案第2页,共 1 4 页【分析】由A、C关于8。对称,推 出 以=P C,推出PC+PE=以+P E,推出当A、P、E共线 时,PE+PC的值最 小,观察图象可知,当点P与8重合时,PE+PC=6,推出BE=CE=2,A 8=B C=4,分别求出PE+PC的最小值，的长即可解决问 题.【详解】解:在菱形ABCD中，/A =120。,点E是BC边的中点,，易证AE丄BC,:A、C关于BD对称,APA=PC,，PC+PE=PA+PE,.当A、P、E共线 时,PE+
17、PC的值最小，即AE的长.观察图象可知,当点P与B重合时，PE+PC=6,.BE=CE=2,AB=BC=4,:,在 RtA AEB 中，AE=273,；.PC+PE的最小值 为2 6，.点H的纵坐标a=2 6,VBC/7AD,.A D _ P D _.BE PB BD=45,D C-2 A 0 8G PD=-x4,3=-,3 3.点H的横坐标b=|有,.,.a+b=2&+g =L3 3故选:C.【点睛】本题考查 动点问 题的函数图象,解答本题的关键是明确题意,找出所求问 题需要的条件,利用数形结合的思想解答.5.A【分析】设:左侧抛物线的方程为:丫=以2,点A的坐标 为（-3,4）,将点A坐标
18、代入上式并 解 得:=-,由题意 得:点MG是矩形，FE。的中线,则点N的纵坐标 为2,将y=2代答案第3页，共14页入抛物线表达式,即可求解.【详解】设左侧抛物线的方程为:y=ax2,点A的坐标 为（-3,4）,将点A坐标代入上式并解得:“=E,则抛物线的表达式为:y=1 f，由题意 得:点“G是矩形HF E O的中线,则点N的纵坐标 为2,将=2代入抛物线表 达 式 得:2 =如2,解得:述，兑=逑（舍）贝 A D=2 A H+2 x=6+3后,故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实 际生活中的应用，首先要吃透题意,确定变量，建立函数模型，然后求解.6.D【分析】先求出二次函数的对
19、称轴,再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a 0,然后由一2 WxWl时，y的最大值 为9,可得x=l时，y=9,即可求出a.【详解】.二次函数y=a x2+2 a x+3 a 2+3 （其中x是自变量）,对称轴是直线x=-=-l,Z当x 2时，y随x的增大而增大，Aa 0,.-2 WX S 1时，y的最大值 为9,；.x=l 时,y=a+2 a+3 a 2+3=9,/.3 a2+3 a-6=0,a=l,或a=-2 （不合题意舍去）.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数y=a x?+b x+c （a邦）的顶点坐标是（-b五丝上 工）,对称轴直线x=-3,二次函数y=a x?+
20、b x+c （a#）的图象具有如下性质:当a4。2a0时,抛 物线y=a x?+b x+c （a/）的开口向上,x V一3时,y随x的增大而减小;x.二2a 2a时,y随x的增大而增大;x二时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.2a 4a答案第4页,共1 4页b五当 aVO时,抛 物线y=ax?+bx+c（a/）的开口向下,x一 3时,y 随 X的增大而减小;x=-3时,y 取得最大值数 二 ,即顶点是抛物线的最高点.2a 2a 4a7.D【分析】设二次函数的解析式为:y=ax 2+b x+c,根据题意列方程组即可得到结 论.【详解】解:设二次函数的解析式为:y=ax2+bx+c,.当 x
21、=55,y=18OO,当 x=75,y=18O O,当 x=80 时，y=1550,552a+55/?+c=18OOA-752a+75/?+c=1800,802+80Z?+C=1550解得 a=-2,b=260,c=-6450,，y 与 x 的函数关系式是 y=-2x2+26Ox-6450=-2 （x-65）2+2000,故选:D.【点睛】本题考查了根据实 际 问 题列二次函数关系式，正确的列方程组是解题的关键.8.A【分析】由题意可知点A 坐标 为（-5,0.5）,点 B 坐标 为（0,2.5）,点 C 坐标 为（2.5,0）,设排球运动路线的函数表达式为:y=ax2+bx+c,将点A、B、
22、C 的坐标代入得关于a、b、c的三元一次方程组,解 得 a、b、c 的值,则函数解析式可得,从而问题得解.【详解】解:由题意可知点A 坐标 为（-5,0.5）,点 B 坐标 为（0,2.5）,点 C 坐标 为（2.5,0）设排球运动路线的函数解析式为：y=ax2+bx+c,.排球经 过A、B、C 三点，0.5=（-5）2 a-5 +c.2.5=c,0=2.52x6r+2.5/?+c14a=-75解得：=-）c=2.5.排球运动路线的函数解析式为=%+|,答案第5页，共 14页故 选:A.【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式并求得关系式,数形结合并明确二次函数的一般式是解题的关键.9.
23、3.75【分析】根据二次函数的对称轴公式=一2直接计算即可.2a,b 1.5【详解】解:”=-0.2+1.5 2 的对称轴为=五=不 巧=3.75(min),故:最佳加工时间为3.75min,故答案为：3.75.【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用,涉及求顶点坐标、对称轴方程等,记住抛物线顶点公式是解题关键.10.70【分析】设降价x 元，利润为W,根据题意得出方程,然后求出取最大值时的x 值即可得到售价.【详解】解：设降价x 元,利 润 为 W,由题意得：W=(80-50-x)(200+20 x),整理得：W=-20X2+400X+6000=-20(X-10)2+8000,.当x=10时
24、，可获得最大利润,此时每顶头盔的售价为：80-10=70(元)，故答案为：70.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键.II.1.25【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可.【详解】;s=1 5 L 6=-6(r-1.25)2+9.375,.汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒.故答案为：1.25.【点睛】考核知识点:二次函数应用.理解函数最值是关键.12.88 万 -答案第6 页，共 14页【详解】试题分析:（1）在B点处是以点B为圆心,1 0为半径的7个 圆;在A处是以A为圆 心,4为 半 径 的!个 圆;在C处是以C为圆心,6为半径的个圆;所以S=4
25、4-x 62+-r x 42+-Z T X 1 02=8 8;4 4 4（2）设 B C=x,则 A B=1 0-x,S=1 02 H-x（l O-x）2+=（x2-1 0 x+2 5 0）,当4 3 6 0 4 3x=1时,S 最小，E P B C=.2 21 3.（3,1）或（-1,1）或（1,-1）【分析】设点P （x,y）,根据相切的定义由题意可得:点尸到x轴的距离为1时相切,即投|=1，代入解析式可求点尸坐标.【详解】解:设点尸（x,y）,y =-1 x2-x-,.P与x轴相切.|=1：.y=+当y=l时,1 =丄-丄,2 2解 得:X/=3,X2 1.点 尸（3,1）,（-1,1）
26、当 y=-1 时，-1 =-x2-x-,2 2解得：x=l.,点 P （1,-1）故答案为（3,1）或（-1,1）或（1,-1）【点睛】本题考查了切线的性质、利用函数解析式求坐标，利用分类思想解决问题是解决问题的关键.1 4.0 m 2【分析】代入y=0求出抛物线与x轴交点的坐标，进而可得出0 m 3,由点P的横坐标可得出OM=m、P M=3m-m2,根据矩形的周长公式可得出C屈 影o M O N=-2m2+8 m,再利用二次函数的性质即可得出当矩形P M O N的周长随点P的横坐标m增大而增大时，m的取值范围.【详解】当y=0时,有一x 2+3x=0,答案第7页，共1 4页解 得:xi=O,
27、X2=3,.,0m 3,.点P 的横坐标为m,.点 P 的坐标为(m,-m2+3m),OM=m,PM=3m-m2,C igmoMON=2(OM+PM)=2(m+3m-m2)=-2m2+8m,当 0VmW2时,矩 形 PMON的周长随点P 的横坐标m 增大而增大.故答案为Vm$2.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质以及矩形的性质,利用二次函数的性质结合抛物线与x 轴的交点坐标,找出m 的取值范围.15.4也.【分析】首先过点F作 FG丄AD交AD的延长线于点G,由菱形ABCD的边长为8,NBAD=60。,即可求得 AD=CD=8,NFDG=60。,然后设 AE=x,即可得 S
28、ADEF-DEFG=-(x-4)2+4 ,24然后根据二次函数的性质,即可求得答案.【详解】过点F 作 FG丄AD交 A D 的延长线于点G.菱形 ABCD 的边长为 8,ZBAD=60,/.AD=CD=8,ZADC=180-Z BAD=120.NADC 是ADFG 的 外 角,A ZADC=ZG+ZDFG,/.ZDFG=30.设 AE二 x,则 DE=8-x,CF=8-x,DF=x.av ZDFG=30,.FG=x.2SADEF=XDEXFG.SADEF=-7 x(8-x)x l-x=-(x-4)2+4/3(0X620V-2 =型 2 毡 X；(2)y=-G x+G；(3)(-t 更).3
29、3 4 24【分析】(1)根据待定系数法即可求解;(2)先求出直线0 B 的解析式为y=*x 与线段 0 B 的中点E 的坐标,可设直线C D 的解析式为y=G x+m,再把E 点代入即可求出直线C D 的解析式;(3)设P 的横坐标 为t,先联立直线CD 与抛物线得 到 D 点的横坐标,得 到 t 的取值,再得到线段 PQ 关于t 的关系式,【详解】(1)把 洋0,0)、410=0+0+。得 0=。+。73 9 3.=a+b+c2 4 22 73a=-3解得b=7c=0二次函数的解析式为y=-(3(2)如图,cxo,o),今 万.其中点E 的坐标 为|日设直线O B 的解析式为y=kx把!用
30、 代 入 得 導解得k=且3.直线O B 的解析式为y=利用二次函数的性质即可求解.,)、8|二,手 代入 y=:2 +&T+C鼻 、3 3书)答案第11页,共 14页 直线CD 垂直平分OB,可设直线C D 的解析式为y=Gx+m,代入得 =-G X 3 +机解得m=6.直线C D 的解析式为y二-G x+6 ；y=(3)联立2 0 2 2 6-尸-X33y=y/ix+/3得到+石二组“正X33解得 X 1=-|,X 2=1 设P的横坐标 为t,则p(、空 巫,33,过点 P 作 P。丄轴,交 直线CD 于 Q,*.Q（t，G t+G）.PQ=（S+召）-/竽=-+警724【点睛】此题主要考
31、查二次函数综合,解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质.答案第12页,共 14页20.(1)-1 0 0 x2+550 0 x -27 0 0 0(6 x 1 0)-1 0 0/+560 O x _ 320 0 0(1 0 x v 40 0 0 0,20%40 0 0,.x 1 0.:当 6 W xW 10 时,w =(x 6+1)(1 O O x+50 0 0)20 0 0=-1 0 0/+550 0 x-27 0 0 0当 1 0 x 4 3 0时，w=(x-6)(-1 O O x+50 0 0)-20 0 0=-1 0 0A-2+560 0 x-320 0 0.,_ J-1 O
32、 O x2+550 0 x -27 0 0 0(6 x 1 0)-1 0 0 x2+560 0 x-320 0 0(1 0 x 1 0,.当 x =1 0 时,=5x 40 0 0-20 0 0 =1 8 0 0 0 元.当 1 0 1 8 0 0 0.综合 得,当 销售单价定为2 8元时,日 获利最大,且最大为4640 0元.(3),40 0 0 0 1 8 0 0 0,答案第1 3页,共1 4页.-.1 0 x 30,贝 卬=-1 0 0.+56o（）x _320 0 0 .令 川=4 0 0 0 0,则1 0 0/+560 0%-320 0 0 =40 0 0 0.解得:占=20,=36
33、.在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图.观察示意图可知:又.7 0 龙4 30,.20 4x 43.-,%=(x -6 a)(-1 O O x +50 0 0)-20 0 0=-1 0 0/+(560 0 +1 0 0 a)x-320 0 0 -50 0 0 a .对 称 轴 为 560 0+1 0 0。1-=2 8 +。2x(-1 0 0)2a 4,对称轴 x =28 +g a 3 0.,当 x =28 +g a 时,叫”=421 0 0 元.28 +J a-6力 1 0 0 1 28 +；“+50 0 0-20 0 0 =421 0 0.-.a2-8 8 a+1 7 2=0,=2,a2 8 6.又 a v 4，6 Z 2.【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用,明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键.答案第1 4页，共1 4页