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1、-一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用例 1：在ABC 中，BO 与 CO 分别是ABC 和ACB 的平分线，且相交于点 O，探究O 与A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？研究分析：O=180-(1+2)而1+2=2(180-A)=90-2A11O=180-(90-2A)=90+2A11O OA A由例由例 1 1 总结出规律：三角形的两个内角平分线交总结出规律：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成角的度数等于于一点，所形成角的度数等于 9090加上第三角的一半，加上第三角的一半，即为即为O=90O=90+2 2A A。1 11 1B B2 2例例 1 1C C例 2:已知如图
2、：在ABC 中，BO、CO 分别平分CBE 和BCF，且交于点 O，则O 与A 的关系又如何呢?分析：O=180-（1+2）而1+2=2(180+A)1O=180-2(180+A)1=180-90-2AE E例例2 21B BA A1 12 2C CF FO O=90-2A由例由例 2 2 总结出规律：总结出规律：三角形的两个外角平分线交于一点，三角形的两个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于所形成角的度数等于 9090减去第三角的一半。减去第三角的一半。即为即为O=O=9090-2 2A A。例 3：已知如图：PB 与 PC 分别为内角ABC 和外角ACD 的平分线，且交于点 P，探究：A
3、 与P 的关系。分析：P=2-1，12=2(A+ABC)AP1 111=2(180-A-BCA）P=2(A+ABC）-2(180-A-BCA）=2A+2ABC-90+2A+2BCA=A-90-2(180-A)=2A由例由例 3 3 总结出规律：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于第三角的一半。即为总结出规律：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于第三角的一半。即为P=P=2 2A A。1 111111111B1例例3 3C2D1规律的应用-1、如图，在ABC中，外角 CAE和ACD的 平分线AP与CP交于点P，且B=57，则APC=。2
4、、如图，在ABC 中，B、C 的平分线相交于点 E，且A=110，求E=。3、如图：在ABC 中,A=90,B=32,OA、OB、OC 分别平分A、B、C，则AOB=，BOC=，COA=。4、在ABC 中，OA、OC 分别平分A、C，且AOC=116，则B=。5、如图，BP、CP 分别是ABC 和ACD 的平分线，A=62，则P=。6、在ABC 中，A=m,ABC 和ACD 的平分线交于点 P1，得P1，P1BC 与P1CD 的平分线 P2，得P2，P2013BC 和P2013CD 的平分线交于 P2014，P2014=度。7、如图所示，ABC 的外角ACD 的平分线 CP 与内角ABC 的平
5、分线 BP 交于点 P，若BPC=40，则CAP=。APDBC（第 5 题）D二、三角形内角和、角平分线与高线规律发现及应用例 1：如图，在ABC 中，ADBC 于 D，AE 平分BAC，交 BC 于点 E，且CB，求证DAE=2(C-B)分析引导：DAE=BAC-BAE-CAD1而BAE=BAC，CAD=90-C211DAE=BAC-BAC-（90-C）=BAC+C-90221=（180-B-C）+C-902111=90-B-C+C-90=(C-B)222由例由例 1 1 总结出规律：三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角的差的一半。总结出规律：三角形同一顶点的高线与角平分线的
6、夹角度数等于另外两角的差的一半。1规律的应用（1）如图所示，AD、AE 分别为ABC 的高和角平分线，且B=35，C=45，则DAE=。（2）如图所示，AD 和 AE 分别是ABC 的高和角平分线，且-DAE=12，B=62，则A=，ACB=。（3）在 RtABC 中，CD 和 CE 分别是高和角平分线，DCE=15，则ABC 三边的比为。（4）已知如图，在ABC 中，AE 平分BAC（CB），F 为 AE 上任意一点（A、E 除外），且 FD BC 于 D，求证：DFE=2（C-B）在教学中通过对基本内容的讲解和分析、综合，找出其中的内在联系，并配以适当的作业练习，使学生对所学知识熟练化、系统化、规律化，使学生对知识强化的同时，也开发了学生的智力。1-