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1、高等数学第一章函数与极限试题一.选择题1.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，M N表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有（A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.（C）F(x)是周期函数f(x)是周期函数.（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数2设函数f(x)1x,则ex11（A）x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点.（B）x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C）x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点.（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点.x 113
2、设f(x)=x，x0,1,则ff(x)=()11A）1xB）1 xC）XD）x4下列各式正确的是()xA）lim(1=1B）x01+x)lim(1x=ex01+x)xxC）lim(11=-e D）lim(1+1xx)=exx15已知lim(x axx a)x 9，则a()。A.1；B.；C.ln3；D.2ln3。6极限：limx 1xx(x 1)()A.1；B.；C.e2；D.e27极限：x32xlimx3=（）A.1；B.；C.0；D.28极限：x xlimx1 10=（）A.0；B.；C1；D.229.极限：xlim(x2 x x)=（）A.0；B.；C.2；D.1210极限:limtan
3、 x sin xx0sin32x=（）A.0；B.；C.1；D.1616二.填空题11极限lim2xxxsinx21=.12.limarctanx=_.x0 x13.若y f(x)在点x0连续，则xlimx f(x)f(x)=_；14.limsin5xxx_；0 x15.limn(12n)n_；16.若函数y x21x23x 2，则它的间断点是_17.绝对值函数绝对值函数f(x)x x,x 0;0,x 0;x x x,x 0.2其定义域是,值域是 1,x 018.符号函数符号函数f(x)sgn x 0,x 01,x 0.其定义域是，值域是三个点的集合19.无穷小量无穷小量是20.函数y y f
4、 f(x x)在点 x0 连续，要求函数 y f(x)满足的三个条件是三.计算题21.求lim(x01 x1).xx1e22.设 f(ex1)=3x-2,求 f(x)(其中 x0);23.求lim(3x)x2x5x2;24.求lim(xx1x);x125.求limx0sin x2tan2x(x23x)x ax)9，求a的值；x ann1n26.已知lim(x(1 2 3)27.计算极限limn28.fxx 2 lg5 2x求它的定义域。x 129.判断下列函数是否为同一函数：f(x)sin2xcos2x g(x)1x2 1f(x)g(x)x 1x 1f(x)x 1g(x)x 12fxx 12g
5、(x)x 1 yax2 sat2330.已知函数 f(x)x2-1，求 f(x+1)、f(f(x)、f(f(3)+2)3n231.求 5n 1nlim6n2 4n 732.求nnlim1 2 n233.求nlim(n 1 n)34.求2n 3nnlim2n 3n35.判断下列函数在指定点的是否存在极限y x 1,x 2sin x,x 0 x,x 2x 2y 1x 03x,x 036.lim1x3x 337.limx 3x3x2938.lim1 x 1x0 x39.求当 x时，下列函数的极限y 2x3 x21x3 x 140.求当 x时，下列函数的极限y 2x2 x 1x3 x 141.41.l
6、imsin3xx0 x42.lim1cosxx0 x2n343.lim1n1n12n44.limn1n445.lim(1x1x)kxx146.lim1xx47.lim1kxx01x48.研究函数在指定点的连续性sin x,x 0f(x)x x001,x 049.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。f(x)50.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。1,x1x 11,x 0，xf(x)x0,x 051.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。x2,x 0，xf(x)1,x 052.证明 f(x)x2是连续函数53.limln(1 x)x
7、0 x x21limlnx54.x1x 155.试证方程 2x33x22x30 在区间1,2至少有一根sin xlimtan x 56.x30sin 2x57.试证正弦函数y=sin x 在(-,+)内连续。58.函数 f(x)=x=x，x 0；x，x 0在点 x=0 处是否连续？xsin1，x 0；x59.函数f(x)=是否在点x0连续？0，x 05ax1.60.求极限limx0 x答案：答案：一.选择题1.A【分析分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解详解】方法一：任一原函数可表示为F(x)0f(t)dt C，且F(x)f(x).x当 F(x)为偶函数时，
8、有F(x)F(x)，于是F(x)(1)F(x)，即也即f(x)f(x)，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)f(x)f(x)，为奇函数，则0f(t)dt为偶函数，从而F(x)0f(t)dt C为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1,排除(B)、(C);令 f(x)=x,则取 F(x)=x2,排除(D);故应选(A).【评注评注】函数 f(x)与其原函数 F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考 f(x)与其原函数 F(x)的有界性之间有何关系?2.D【分析分析】显然 x=0,x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解详解】
9、由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点.且lim f(x)，所以 x=0 为第二类间断点；x0 xx12lim f(x)0，lim f(x)1，所以 x=1 为第一类间断点，故应选(D).x1x1xx【评注评注】应特别注意：lim，lim.从而limex1，x1x1x 1x1x 1limexx1xx1 0.63 C4A5C6C7A8Cx时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：1原式=lim(x 1 1)(x 1 1)lim1.（有理化法有理化法）x0 x0 x(x 1 1)x 1 129D10Cx1x2tan x(1cos x)1.2解解
10、原式 lim limx0 x0(2x)38x316注注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则错误错误！原式 limx0 x x 0.(2x)3二.填空题11.212.113.0 014.515.e216.x 1,2717.(,)0,)18.(,)1,0,119.在某一极限过程中，以 0 为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量无穷小量20.函数 y f(x)在点 x0 有定义；x xx x0 0 xx0 时极限limlimf f(x x)存在；x xx x0 0极限值与函数值相等，即limlim f f(x x)f f(x x0
11、0)三.计算题21.【分析分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.x x21 ex1 x1x x21ex【详解详解】lim(=lim)lim2xx0 x01exx0 xxx(1e)1 2x ex2 ex3.=lim=limx0 x02x2222.f(x)=3lnx+1 x023.3e24.e25.26.ln3;27.328.解：由 x2解得 x-2由 x解得 x由 5x解得 x2.5函数的定义域为x2.5x-2 且 x1或表示为（2.5,1）（1,-2）21629.、是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的8字母可以不同。不是同一函数，因为它们的定义域不相同。不是同一函数，因为它
12、们对应的函数值不相同，即对应法则不同。30.解：f(x+1)(x+1)2-1x2+2x，f(f(x)f(x2-1)(x2-1)2-1x4-2x2f(f(3)+2)f(32-1+2)f(10)993n2 5n 153 23n2 5n 1nn lim lim31.解：nlim22 6n 4n 7n 6n 4n 7n 46 2nn1n27n211 lim23 0 01nnnnn11lim 6 4 lim 7 lim26 0 02nnnnnlim 3 5 limn(n 1)21 2 nn n12 lim lim32.解：nlim222nnnn2n2(n 1 n)lim33.解：nlimn(n 1 n)
13、(n 1 n)n 1 nnlim1 limn1nn1nn11n1nn 0n1lim lim1nnnlim22()n1lim()n lim 12 30 1n3n3lim lim 134.解：nnnn222 3()n1lim()n lim 10 1n3n3nn35.解：limy 2,limy 3，limy limy因为x2x2x2x2所以 函数在指定点的极限不存在。91lim y sin0 0,lim y 0 0，lim y lim y 因为x0 x03x0 x0所以 函数在指定点的极限limx0y 0lim1lim1136.x3x 3x3limx3x lim1x33336x 3x 37.limx
14、3x29 lim3x3x 3x 3 lim1x3x 31638.lim1x 1xlim(1x 1)(1x 1)x0 x0 x(1x 1)limxx0 x(1x 1)lim11x01x 122 139.lim2 x3 x2 1x1x3x x3 x 1 limx 1 11x2x3lim11x2limxx limxx3200 2limx1lim1110 0 xx2 limxx32140.x2lim2 x 1x1x2x3x x3 x 1 limx 1 11x2x32lim1xx lim11xx2 limxx300 0lim1110 0 0 x1 limxx2 limxx341.limsin3xx0 x
15、 limsin3xx03x3 3242.2sin2xx lim1cosx2sinx0 x2 limx04(x12lim2x0 x12)222lim(11)n43.=nne elimn(11n)312244.limn11nlim1nnn1n e2101 145.lim xkxkx1 1limxkxx1kkx1 ek1k46.lim1x1 x1kx11 lim1x xx1 e1 ek47.lim1kxx0ksin x48.解lim f(x)lim 1x x0 x0 x而 f(x0)f(0)1lim f(x)f(0)x0函数 在x 0处连续。49.间断，函数在 x1 处无定义且左右极限不存在，第二类
16、间断点50.间断，函数在 x0 处左右极限不存在，第二类间断点51.间断，lim f(x)0但 f(0)1，两者不相等，第一类间断点x052.证明：x0(,)lim f(x)lim x2(lim x)2 x0，f(x0)=x02因为xxxxxx0002lim f(x)f(x0)所以xx0因此，函数 f(x)x 是连续函数。253.解:54.解:ln(1 x)lim limln(1 x)x lnlim(1 x)x lne 1x0 x0 x0 x x21limlnx limx1lnx 20 0 x1x1x11155.证明：设 f(x)2x33x22x3，则 f(x)在1,2上连续，f(1)20根据
17、零点定理，必存在一点(1,2)使 f()0，则 x就是方程的根。1156.x1x2tan x(1cos x)12原式 lim limx0 x0(2x)38x31657.证证x(-,+)，任给 x 一个增量x，对应的有函数 y 的增量y=sin(x+x)-sin x=2sinxcos(x x).220 y 2 sinx 22x，再由x 的任意性知正 x，由夹逼准则知，y 0（x0）2弦函数 y=sin x 在其定义域(-,+)上处处连续，即它是连续函数。58.解解注意 f(x)是分段函数，且点x0两侧 f 表达式不一致。(x)0，解法解法 1 1f(0-0)=limx0limx 0，limf(x
18、)0.f(0+0)=x0 x0又 f(0)=0，函数 f(x)=x在点 x=0 处连续（图 119）。解法解法 2 2limf(x)lim(x)0 f(0)，函数在点x 0左连续；x0 x0f(x)limx0 f(0)，函数在点x 0右连续，所以函数在点x 0连续。又xlimx0059.证证虽然 f 是分段函数，但点 x=0 两侧函数表达式一致。M0lim f(x)lim xsin1xx 0 f(0)，x00f(x)在点 x=0 处连续60.解解令 ax 1=t，则 x=loga(1+t)，当 x0 时，t0,1t1lim lna.原式 lim1t0loga(t 1)t0log eatloga(t 1)ex11，这表明 x0 时，xex-1.特别地，limx0 x12