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1、|高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， 表示“M 的充分必 “ “ N M 要条件是 N”，则必有 （A） F(x)是偶函数 f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数. （C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数. （D） F(x)是单调函数 f(x)是单调函数 2设函数 则 , 1 1 ) ( 1 x x e x f （A） x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点 （C） x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点. （
2、D） x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点. 3设 (x)= ，x0,1,则 = ( ) f x x 1 f ) ( 1 x f A） 1x B） C） D） x x 1 1 X 1 4下列各式正确的是 ( ) A） =1 B） =e lim 0 x ) x 1+ 1 ( x lim 0 x ) x 1+ 1 ( x C） =-e D） =e lim x ) x 11 ( x lim x ) x 1+ 1 ( x |5已知 ，则 ( )。 9 ) ( lim x x a x a x a A.1； B. ； C. ； D. 。 3 ln 3 ln 2 6极限：
3、( ) x x x x ) 1 1 ( lim A.1； B. ； C. ； D. 2 e 2 e 7极限： =（ ） x lim 3 3 2 x x A.1； B. ； C.0； D.2 8极限： =（ ） x x x 1 1 lim 0 A.0； B. ； C ； D.2 2 1 9. 极限： =（ ） ) ( lim 2 x x x x A.0； B. ； C.2； D. 2 1 10极限: =（ ） x x x x 2 sin sin tan lim 3 0 A.0； B. ； C. ； D.16 16 1 二. 填空题 11极限 = . 1 2 sin lim 2 x x x x 1
4、2. =_. lim 0 x x arctanx 13. 若 在点 连续，则 =_； ) (x f y 0 x ) ( ) ( lim x f x f x x 14. _； x x x x 5 sin lim 0 15. _； n n n ) 2 1 ( lim 16. 若函数 ，则它的间断点是_ 2 3 1 2 2 x x x y 17. 绝对值函数 x x f ) ( . 0 , ; 0 , 0 ; 0 , x x x x x x| x x x x f 2 5 lg 1 2 其定义域是 ,值域是 18. 符号函数 x x f sgn ) ( . 0 , 1 ; 0 , 0 ; 0 , 1
5、x x x 其定义域是 ，值域是三个点的集合 19. 无穷小量是 20. 函数 在点 x0 连续，要求函数 y f (x) 满足的三个条件是 ) (x f y 三. 计算题 21.求 ). 1 1 1 ( lim 0 x e x x x 22.设f(e )=3x-2,求f(x)(其中x0); 1 x 23.求 (3x) ; lim 2 x 2 5 x x 24.求 ( ) ; lim x 1 1 x x x 25.求 lim 0 x ) 3 ( 2 tan sin 2 2 x x x x 26. 已知 ，求 的值； 9 ) ( lim x x a x a x a 27. 计算极限 n n n
6、n 1 ) 3 2 1 ( lim 28.求它的定义域。 29. 判断下列函数是否为同一函数： f(x)sin 2 xcos 2 x g(x)1 1 1 ) ( 2 x x x f 1 ) ( x x g 2 1 ) ( x x f 1 ) ( x x g 2 1 x x f 1 ) ( x x g yax 2sat 2|30. 已知函数 f(x)x 2 -1，求f(x+1)、f(f(x)、f(f(3)+2) 31. 求 7 4 6 1 5 3 lim 2 2 n n n n n 32. 求 2 2 1 lim n n n 33. 求 ) 1 ( lim n n n 34. 求 n n n n
7、 n 3 2 3 2 lim 35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限 2 , 2 , 1 x x x x y 2 x 0 , 3 1 0 , sin x x x x y 0 x 36. 3 1 lim 3 x x 37. 9 3 lim 2 3 x x x 38. x x x 1 1 lim 0 39. 求当 x时，下列函数的极限 1 1 2 3 2 3 x x x x y 40. 求当 x时，下列函数的极限 41. 1 1 2 3 2 x x x x y 41. x x x 3 sin lim 0 42. 2 0 cos 1 lim x x x 43. 3 1 1 lim n n n 4
8、4. n n n 2 1 1 lim |45. x x kx ) 1 1 ( lim 46. x x x 1 1 lim 47. x x kx 1 0 1 lim 48. 研究函数在指定点的连续性x 0 0 0 , 1 0 , sin ) ( x x x x x f 49. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。 1 1 ) ( x x f ,x1 50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。，x 0 , 0 0 , 1 ) ( x x x x f 51. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断 点。，x 0 , 1 0 , ) ( 2
9、 x x x x f 52. 证明 f(x)x 2 是连续函数 53. x x x ) 1 ln( lim 0 54. x x x x ln 1 1 lim 2 1 55. 试证方程 2x 3 3x 2 2x30在区间1,2至少有一根 56. x x x x 2 sin sin tan lim 3 0 57. 试证正弦函数 y = sin x 在 (-, +) 内连续。 58. 函数 f (x) = x = 在点 x = 0 处是否连续？ 0 0 x x x x ， ； ，|59. 函数 = 是否在点 连续？ ) ( x f 0 0 0 1 sin x x x x ， ； ， 0 x 60.
10、求极限 . x a x x 1 lim 0 答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排 除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ，且 x C dt t f x F 0 ) ( ) ( ). ( ) ( x f x F 当 F(x)为偶函数时，有 ，于是 ，即 ) ( ) ( x F x F ) ( ) 1 ( ) ( x F x F ，也即 ，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 ) ( ) ( x f x f ) ( ) ( x f x f f(x)为奇函数，则 为偶函数，从而 为偶函数， x dt t f 0 ) ( x C dt t
11、f x F 0 ) ( ) ( 可见(A)为正确选项.方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)= , 排除(D); 故应选(A). 2 2 1 x 【评注】 函数 f(x)与其原函数 F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多 次考查过. 请读者思考 f(x)与其原函数 F(x)的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然 x=0,x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点. 且 ，所以 x=0 为第二类间断点； ) ( lim 0 x f x， ，所以
12、x=1 为第一类间断点，故应选(D). 0 ) ( lim 1 x f x 1 ) ( lim 1 x f x 【评注】 应特别注意： ， 从而 1 lim 1 x x x . 1 lim 1 x x x|错误！ ， 1 1 lim x x x e . 0 lim 1 1 x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 Cx时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = . （有理化法） 2 1 1 1 1 lim ) 1 1 ( ) 1 1 )( 1 1 ( lim 0 0 x x x x x x x 9 D 10 C解 原式 . 16 1 8
13、 2 1 lim ) 2 ( ) cos 1 ( tan lim 3 2 0 3 0 x x x x x x x x 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上 例中若对分子的每项作等价替换，则 原式 . 0 ) 2 ( lim 3 0 x x x x 二.填空题 11. 2 12. 1 13. 0 14 . 5 |15 . 2 e 16. 2 , 1 x 17 . ) , ( ) , 0 18. ) , ( 1 , 0 , 1 19 . 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量 20 . 函数y f (x) 在点x0有定义； xx0 时极
14、限 存在； ) ( lim 0 x f x x 极限值与函数值相等，即 ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x 三. 计算题 21 . 【分析】 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则. “ “ 【详解】 = ) 1 ( 1 lim ) 1 1 1 ( lim 2 0 0 x x x x x e x e x x x e x 2 2 0 1 lim x e x x x x = = x e x x x 2 2 1 lim 0 . 2 3 2 2 lim 0 x x e 22. (x)=3lnx+1 x0 f 23. e 3 24. e 2 25. 6 1 26. ; 3 ln 27.
15、 3 28. 解：由x2解得x-2 由x解得x 由5x解得x2.5|函数的定义域为 x2.5x-2且x1或表示为（2.5,1）（1,-2） 29. 、是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的 字母可以不同。不是同一函数，因为它们的定义域不相同。 不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。30. 解：f(x+1)(x+1) 2 -1x 2 +2x， f(f(x)f(x 2 -1)(x 2 -1) 2 -1x 4 -2x 2 f(f(3)+2)f(3 2 -1+2)f(10)99 31 . 解： 2 2 2 2 2 2 n 2 2 7 4 6 1 5 3 lim 7 4
16、6 1 5 3 lim 7 4 6 1 5 3 lim n n n n n n n n n n n n n n n n 2 1 0 0 6 0 0 3 1 lim 7 1 lim 4 6 lim 1 lim 1 lim 5 3 lim 2 2 n n n n n n n n n n 32. 解： 2 1 2 lim 2 ) 1 ( lim 2 1 lim 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n 33 . 解： n n n n n n n n n n 1 ) 1 )( 1 ( lim ) 1 ( lim0 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 1 lim 1 1 lim
17、 n n n n n n n n n n n n n 34 . 解： 1 1 0 1 0 1 lim ) 3 2 ( lim 1 lim ) 3 2 ( lim 1 ) 3 2 ( 1 ) 3 2 ( lim 3 2 3 2 lim n n n n n n n n n n n n n n|35 . 解：因为 ， 3 lim , 2 lim 2 2 y y x x y y x x 2 2 lim lim所以 函数在指定点的极限不存在。 因为 ， 0 0 3 1 lim , 0 0 sin lim 0 0 y y x x y y x x 0 0 lim lim所以 函数在指定点的极限 0 lim
18、0 y x 36 . 6 1 3 3 1 3 lim lim 1 lim 3 1 lim 3 3 3 3 x x x x x x 37 . 6 1 3 1 lim 3 3 3 lim 9 3 lim 3 3 2 3 x x x x x x x x x 38 . 2 1 1 1 1 lim ) 1 1 ( lim ) 1 1 ( ) 1 1 )( 1 1 ( lim 1 1 lim 0 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x x 39 . 3 2 3 3 2 3 1 1 1 1 1 2 lim 1 1 2 lim x x x x x x x x x x 2 0 0 1 0
19、 0 2 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 2 lim 3 2 3 x x x x x x x x x x 40. 3 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 2 lim 1 1 2 lim x x x x x x x x x x x 0 0 0 1 0 0 0 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 2 3 2 3 2 x x x x x x x x x x x 41. 3 3 3 3 sin lim 3 sin lim 0 0 x x x x x x 42. 2 1 2 2 sin lim 2 1 ) 2 ( 4 2 sin 2 l
20、im cos 1 lim 2 0 2 2 0 2 0 x x x x x x x x x|43. = e e n n n n n 1 ) 1 1 ( lim ) 1 1 ( lim 3 44. 2 2 2 1 1 lim 1 1 lim e n n n n n n 45. k k kx x k kx x e kx kx 1 1 1 1 1 lim 1 1 lim 46. 1 1 1 1 1 lim 1 1 lim e x x x x x x 47. k k kx x e kx 1 0 1 lim 处连续。 在 函数 而 解 0 ) 0 ( ) ( lim 1 ) 0 ( ) ( 1 sin l
21、im ) ( lim . 48 0 0 0 0 x f x f f x f x x x f x x x x 49. 间断，函数在 x1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点 50. 间断，函数在x0处左右极限不存在，第二类间断点 51. 间断， 但 f(0)1，两者不相等，第一类间断点 0 ) ( lim 0 x f x 52. 证明： x 0 (,) 因为 ，f(x 0 )=x 0 2 2 0 2 2 ) lim ( lim ) ( lim 0 0 0 x x x x f x x x x x x 所以 ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x 因此，函数f(x)x 2 是连续函
22、数。 53. 1 ln ) 1 ( lim ln ) 1 ln( lim ) 1 ln( lim : 1 0 1 0 0 e x x x x x x x x x 解 54. 0 0 2 ln 1 lim ln 1 1 lim : 1 2 1 x x x x x x x 解|55 . 证明：设f(x)2x 3 3x 2 2x3， 则f(x)在1,2上连续，f(1)20 根据零点定理，必存在一点(1,2)使f()0， 则x就是方程的根。 56. 原式 16 1 8 2 1 lim ) 2 ( ) cos 1 ( tan lim 3 2 0 3 0 x x x x x x x x 57. 证 x (
23、-, +)，任给 x 一个增量x，对应的有函数 y 的增量 y = sin( +x)-sin x = . x ) 2 cos( 2 sin 2 x x x ，由夹逼准则知，y 0（x0） ，再由 x 的任意性知 x x x y 2 2 2 sin 2 0 正弦函数 y = sin x 在其定义域 (-, +)上处处连续，即它是连续函数。 58. 解 注意 f (x)是分段函数，且点 两侧 f 表达式不一致。 0 x 解法1 f (0 - 0) = ， 0 ) ( lim 0 x xf (0 + 0) = ， . 0 lim 0 x x 0 ) ( lim 0 x f x 又 f (0 ) =
24、0， 函数 f (x) = x 在点 x = 0 处连续（图 119） 。 解法2 ， 函数在点 左连续； ) 0 ( 0 ) ( lim ) ( lim 0 0 f x x f x x 0 x 又 ， 函数在点 右连续，所以函数在点 连续。 ) 0 ( 0 lim ) ( lim 0 0 f x x f x x 0 x 0 x 59. 证 虽然 f 是分段函数，但点 x=0两侧函数表达式一致。 ， ) 0 ( 0 1 sin lim ) ( lim 0 0 0 f x x x f M x x 在点 x = 0 处连续 ) (x f 60. 解 令 a x 1 = t，则 x = loga (1+t ) ，当 x0时，t0, 原式 . a e t t t a t a t a t ln log 1 ) 1 ( log 1 lim ) 1 ( log lim 1 0 0 特别地， ，这表明 x0时，x e x - 1. 1 1 lim 0 x e x x|