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1、第一章第一章函数与极限函数与极限1.设1()sin66|sin x|,|x|3(x)0,|x|3,求、(2).644222()sin4422()sin()42 0422.设fx的定义域为0,1，问：fx；fsin x；fx a a 0；fx a fx aa 0的定义域是什么？1；（1）0 x 1知 1 x 1,所以f(x)的定义域为1，22(2)由0 sin x 1知2k x (2k 1)(k Z),2k,(2k 1)所以f(sin x)的定义域为a,1a所以f(x a)的定义域为0 x a 1a x 1 a(4)由知从而得0 x a 1a x 1 a1a,1 a当0 a 时，定义域为21当a
2、 时，定义域为2(3)由0 x a 1知a x 1a3.设1fx01x 1x 1x 1，gx e，求fgx和gfx，并x做出这两个函数的图形。1,g(x)11,x 01.)fg(x)0,g(x)1 从而得fg(x)0,x 01,x 01,g(x)12.)g f(x)ef(x)e,x 11,x 11e,x 14.设数列x有界,又limynnn 0,证明:Mlimxnyn 0.nxn有界，M 0,对n,有 xn M又lim yn 0,即 0,N(自然数)，当n N时，有 ynn从而xnyn0 xn.yn M.M结论成立。5.根据函数的定义证明:lim3x18x3 0,要使3x 18 3x 3,只要
3、x 3 即可。3故 0,取，当0 x 3 时，恒有3x 18 成立3所以lim(3x 1)8x3(2)xlimsin xx 01 0,要使sin xxx,只要x sin xx即可。故取X 2sin xx 012，当x X时，恒有0 成立,所以limx36.根据定义证明:当x 0时,函数y 1x2x是无穷大.问x应满足什么条件时,才能使y 10?4M 0,要使故取1 2x111 22 M,只要x 即可。xxxM 2，当0 x 时，有1 2x M成立xM 21 2x所以lim x0 x要使 y 104,只要x 1即可。410 27.求极限:x2 3limx3x21=0=limh(2xh h)2xh
4、02x h x2limh0hx2 xlim4xx 3x21=0=n(n1)12limn2n2(4)(5)(6)lim1 2 n 1nn231lim3x11 x1 x=1 x x23lim 12x1(1 x)(1 x x)limx3 2x2x2x22=8.计算下列极限:lim x2sinx01x=0=lim1.arctan x 0 xxlimarctan xxx9.计算下列极限:limsinxx0 xx=limsin.xx0limtan3xx0 x1=limsinx3x.cos 33xx0(4)1 cos2xlimx0 xsin x3x=2sin2xlim 2x0 x.sin xx22lim(1
5、)x0 x e62lim1xx=1x6（5）lim1 2x=lim(1 2x)x01.22xx0 e2 e2（6）3 xlimx1 xx=2lim(1)x1 x1x.(2)1210.利用极限存在准则证明:111limn222 1nn n 2n nn211n212 n222 2n nn n 2n nn n2n2又lim21,lim21nn nnn 的极限存在,并故原式1 数列求其极限.解：10.先证单调。2,22,222,xn2 xn1,n 2,3,.x22 x122 2 x1,假设xk xk1,则xk12 xk2 xk1 xk故xn单调递增。20.再证有界。x12 2,假设xk1 2,则xk2
6、 xk12 2 2故xn有界。所以lim xn,设lim xn a,由xn2 xn1知a 2 ann所以a 2,a 1(舍去)lim xn 2n11.当x 0时,2x x与x高阶的无穷小?22 x3相比,哪一个是较x x2 2 x x3 3x x2 2(1(1 x x)limlim limlim 0 0 x x0 02 2x x x x2 2x x0 0 x x(2(2 x x)2当当x x 0 0时，时，x x2 2 x x3 3是较高阶的无穷小。是较高阶的无穷小。12.当x 1时,无穷小1 x和11 x是否同阶?是2否等价?1 1（1-1-x x2 2）(1(1 x x)(1)(1 x x
7、)limlim2 2 limlim 1 1x x1 11 1 x xx x1 12(12(1 x x)1 1当当x x 1 1时，时，(1-(1-x x2 2)1-1-x x2 2所以同阶且等价所以同阶且等价.13.证明:当x 0时,有sec x 1x2.21 1 1 1secsec x x 1 12(12(1 coscos x x)1 1coscos x xlimlim limlim limlim.2 22 22 2x x0 0 x x0 0 x x0 0 x xx xx xcoscos x x2 22 2x x4sin4sin2 22 2.1 1 1 1 limlimx x0 0 x x2
8、 2coscos x xx x2 2当当x x 0 0时，时，secsec x x 1 12 214.利用等价无穷小的代换定理,求极限:limtan x sin xx0sin3x.1 12 2x x(x x)1 1tantan x x sinsin x xtantan x x(1(1 coscos x x)limlim=limlim limlim2 23 3=3 33 3x x0 0 x x0 0 x x0 0sinsin x xx xx x2 215.讨论 x x2 20 0 x x 1 1f f x x 2 2 x x1 1 x x 2 2的连续性,并画出其图形.f f(1(1 0)0)l
9、imlim x x2 2 1 1x x1 1 f f(1(1 0)0)lim(2lim(2 x x)1 1x x1 1 又又f f(1)(1)1,1,f f(x x)在在x x 1 1处连续处连续.总之总之,f f(x x)在在0,0,22上连续上连续.16.指出下列函数的间断点属于哪一类.若是可去间断点,则补充或改变函数的定义使其连续.x21y 2x 3x 2x 1,x 2x x2 2 1 1(x x 1)(1)(x x 1)1)limlim2 2 limlim 2 2x x1 1x x 3 3x x 2 2x x1 1(x x 1)(1)(x x 2)2)x x 1 1为可去间断点为可去间
10、断点,补充定义补充定义:y yx x 1 1 2 2即可即可.limlimx x2 2x x 1 1(x x 1)1)limlim ,2 2x x2 2x x 3 3x x 2 2(x x 2)2)2 2x x 2 2为无穷间断点为无穷间断点.y yx x 1 1x 1y 3 xx 1x 1x 1=0 x x1 1 x x1 1 x x1 1 x x1 1 limlim y y limlim(x x 1)1)0 0limlim y y limlim(3(3 x x)2 2x x 1 1为其跳跃间断点为其跳跃间断点.1 x2nfx limxn1 x2n17.讨论函数的连续性,若有间断点,判别其类
11、型。2 2n n f f x x limlim1 1 x x 1,1,x x 1 1n n1 1 x x2 2n nx x 0,0,x x 1 1 1,1,x x 1 1在在x x 1 1处处,f f(1 1 0)0)1,1,f f(1 1 0)0)1 1x x 1 1为跳跃间断点为跳跃间断点.在在x x 1 1处处,f f(1(1 0)0)1,1,f f(1(1 0)0)1 1x x 1 1为跳跃间断点为跳跃间断点.18.求函数fxx3 3x2 x 3x2 x 6的连续区间,limx0fx,limx3fx.由x2 x 6 0得：x1 2,x2 3连续区间为（，3）（3，2）（2，）limx0
12、f(x)12(x 3)(x2limx3f(x)lim1)x218x3(x 3)(x 2)limx3x 2519.求下列极限：limx0 x22x 5=5limsin 23=142sinx limsin x sin2cosx 2xx limxx cos22xxlimx x x2 xxlimx2 x x2 x111limexxlimxx e e01limlnsin xx lnlimsin xx0 x0 x ln1 0并求111lim1 lim(1)e2xxxxx21x1220.设函数f(0)aexfxa xx 0 x 0,应怎样选择a，使fx在,内连续。f(00)lim ex1x0b 0,a 1时
13、，f(x)在（，）内连续21.证明方程x asin x b其中a 0,正根，并且它不超过a b.证明：令f(x)asin x b x显然，f(x)在0，a b上连续f(0)b 0f(a b)asin(a b)b a b asin(a b)a 0至少有一若f(a b)0,取a b;若f(a b)0,(0,a b)使f()0方程至少有一正根且不超过a b.22.若fx在a,b上连续，a x1 x2 xn bx1,xnf,则在上 必 有,使.fx1 fx2 fxnn证明：f(x)在x1,xn连续，最大值M与最小值m，使m f(x)M,i 1,2,.,nnm f(i)nMni1即m f()ii1n Mf(x1)f(x2).f(xn)nn由介值定理，x1,xn使f()23.证明:若fx在,内连续,lim fxx存在,则fxx必在,内有界.证明：设lim f(x)A，对1，X当x X时，有 f(x)A 1成立,即f(x)1 A又f(x)在 X,X上连续，故有界,即M1使 f(x)M1取MmaxM1,1 A，则对x(,)，有 f(x)M，即f(x)在(,)内有界。