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1、线变换和矩阵 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望7.3.1 7.3.1 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 现在设现在设V是数域是数域F上一个上一个n维向量空间，令维向量空间，令是是V的一个线性变换，取定的一个线性变换，取定V的一个基的一个基 令令 设设 n 阶矩阵阶矩阵A 叫做线性变换叫做线性变换关于基关于基 的的矩阵矩阵.显然显然,A的第的第j 列就是列就是(j)关于基关于基 的的坐标坐标.上面的表达常常写出更方便的形式上面的表达常常写出更方便的形式:(
2、1)(1)由此可知由此可知由此可知由此可知:取定取定取定取定F F上上上上n n维向量空间维向量空间维向量空间维向量空间V V的一个基之后，对于的一个基之后，对于的一个基之后，对于的一个基之后，对于V V的每一的每一的每一的每一个线性变换个线性变换个线性变换个线性变换，都有唯一确定的，都有唯一确定的，都有唯一确定的，都有唯一确定的n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A A与之对应与之对应与之对应与之对应这样一来，从这样一来，从这样一来，从这样一来，从L(V)L(V)到到到到MMn n(F)(F)必然存在着一个对应必然存在着一个对应必然存在着一个对应必然存在着一个对应关系关系关系关系-映射，不妨记为映
3、射，不妨记为映射，不妨记为映射，不妨记为练习:教材P284-习题第1题7.3.2 7.3.2 坐标变换坐标变换设设V 是数域是数域F上一个上一个n 维向量空间维向量空间,是是V 的一个基的一个基,关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 而而()的坐标是的坐标是 问问:和和 之间有什么关系呢之间有什么关系呢?设设因为因为是线性变换，所以是线性变换，所以 （2 2）将（将（1）代入（）代入（2）得）得 最后，等式表明，最后，等式表明，的坐标所组成的坐标所组成的列是的列是 综合上面所述综合上面所述,我们得到坐标变换公式：我们得到坐标变换公式：定理定理7.3.17.3.1 令令V是数域是数域F上一个上一
4、个n 维向量空间，维向量空间，是是V的一个线性变换，而的一个线性变换，而关于关于V的一个基的一个基 的矩阵是的矩阵是 如果如果V中向量中向量关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 ，而而()的坐标是的坐标是 ，那么那么例例例例在空间在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量单位向量 作为作为 的基的基.令令是将是将 的每一向的每一向量旋转角量旋转角的一个旋转的一个旋转.是是 的一个线性变换的一个线性变换.我们有我们有 所以所以关于基关于基 的矩阵是的矩阵是设设 ，它关于基，它关于基 的坐标是的坐标是 ,而而 的坐标是的坐标是 .那么那么 例例例例3 3 3 3
5、令是数域上一个令是数域上一个令是数域上一个令是数域上一个n n n n维向量空间，维向量空间，维向量空间，维向量空间，是的一个位似，那么关于任意基的矩阵是是的一个位似，那么关于任意基的矩阵是是的一个位似，那么关于任意基的矩阵是是的一个位似，那么关于任意基的矩阵是特别地，的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩特别地，的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩特别地，的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩特别地，的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵；零变换关于任意基的矩阵是零矩阵阵；零变换关于任意基的矩阵是零矩阵阵；零变换关于任意基的矩阵是零矩阵阵；零变换关于任意基的矩阵是零矩阵7.3.3 7.3.3 矩阵唯一确
6、定线性变换矩阵唯一确定线性变换 引理引理7.3.2 设设V是数域是数域F上一个上一个n 维向量空间，维向量空间，是是V的一个基，那么对于的一个基，那么对于V 中任意中任意n个向量个向量 ，有且仅有，有且仅有 V 的一个线性变换的一个线性变换，使得，使得:证证 设设 是是V中任意向量中任意向量.我们如下地定义我们如下地定义V到自身的一个映到自身的一个映射射：我们证明，我们证明，是是V的一个线性变换。设的一个线性变换。设那么那么 于是于是 设设 那么那么 这就证明了这就证明了是是V的一个线性变换。线性变换的一个线性变换。线性变换显然显然满足定理所要求的条件：满足定理所要求的条件：如果如果是是V的一
7、个线性变换，且的一个线性变换，且 那么对于任意那么对于任意从而从而 定理定理7.3.37.3.3 设设V V 是数域是数域 F F 上一个上一个n n 维向量空间，维向量空间，是是V V 的一个基，对于的一个基，对于V V 的每一个线的每一个线性变换性变换，令，令关于基关于基 的矩阵的矩阵A A与与它对应，这样就得到它对应，这样就得到V V 的全体线性变换所成的集合的全体线性变换所成的集合L L（V V）到）到F F上全体上全体n n 阶矩阵所成的集合阶矩阵所成的集合 的一的一个双射，并且如果个双射，并且如果 ,而而 ，则则(3)(3)(4)(4)证证 设线性变换设线性变换关于基关于基 的矩阵
8、是的矩阵是A。那么那么 是是 的一个映射。的一个映射。是是F上任意一个上任意一个n阶矩阵。令阶矩阵。令 由引理由引理7.3.2，存在唯一的，存在唯一的 使使 反过来，设反过来，设显然显然关于基关于基 的矩阵就是的矩阵就是A.这就证这就证明了如上建立的映射是明了如上建立的映射是 的双射的双射.设设 我们有我们有 由于由于是线性变换是线性变换,所以所以 因此因此 所以所以关于基关于基 的矩阵就是的矩阵就是AB。（7）式成立，至于（）式成立，至于（6）式成立，是显然的。）式成立，是显然的。推论推论7.3.47.3.4 设数域设数域F上上n 维向量空间维向量空间V 的一个线性变的一个线性变换换关于关于
9、V 的一个取定的基的矩阵是的一个取定的基的矩阵是A，那么，那么可逆可逆必要且只要必要且只要A可逆，并且可逆，并且 关于这个基的矩阵就是关于这个基的矩阵就是 .证证 设设可逆。令可逆。令 关于所取定的基的矩阵是关于所取定的基的矩阵是B。由（由（7），），然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵 I .所以所以AB=I.同理同理 BA=I.所以所以注意到（注意到（5），可以看出），可以看出 同理同理 所以所以有逆，而有逆，而 反过来，设反过来，设 而而A可逆。由定理可逆。由定理7.3.3，有，有 于是于是 我们需要对上面的定理我们需要对上面的定理7.3.1和
10、定理和定理7.3.3的深刻意义的深刻意义加以说明加以说明:1.取定取定n 维向量空间维向量空间V的一个基之后的一个基之后,在映射在映射:之下之下,(作为向量空间作为向量空间)研究一个抽象的线性变换研究一个抽象的线性变换,就可以转化为研究一个就可以转化为研究一个具体的矩阵具体的矩阵.也就是说也就是说,线性变换就是矩阵线性变换就是矩阵.以后以后,可以通过矩阵来研究线性变换可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变也可以通过线性变换来研究矩阵换来研究矩阵.2.我们知道我们知道,数域数域F上一个上一个n 维向量空间维向量空间V 同构同构于于 ,V上的线性变换上的线性变换 转化为转化为 上一个具体的变
11、换上一个具体的变换:也就是说也就是说,线性变换都具有上述形式线性变换都具有上述形式.引言：一般地线性变换关于基的矩阵与基的选择有关,同一线性变换在V中的两个不同基下的矩阵一般不同.为了利用矩阵研究线性变换，显然需要讨论线性变换在不同基下的矩阵间的关系。引例引例引例引例：设设 ，且，且 关于基关于基 ，的矩阵为的矩阵为 求关于基求关于基 的矩阵的矩阵分析分析分析分析:本题不能直接用定义做本题不能直接用定义做,因因 的对应关系不清楚的对应关系不清楚,由定义是求由定义是求B B使使 B B，又由题知又由题知 ，而，而 与与 间的关系易得，因而可通过上述已知转化一下。间的关系易得，因而可通过上述已知转
12、化一下。解：解：解：解：设设 B B，因因 ，所以，所以 其中其中 .于是于是 所以所以设线性变换设线性变换关于基关于基 的矩阵是的矩阵是 A,关于基关于基 的矩阵是的矩阵是 B,由基由基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵T,于于是有是有:定理定理7.3.5 7.3.4 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵 相似矩阵相似矩阵(1(1)(2(2)(3(3)由由由由(3)(3)得得得得比较两端比较两端比较两端比较两端,得得得得证明证明证明证明:定义：定义：设设 A，B 是数域是数域 F 上两个上两个 n 阶矩阵阶矩阵.如果存如果存在在F上一个上一个 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵
13、T 使等式使等式成立，那么就说成立，那么就说B与与A相似，记作：相似，记作：.n阶矩阵的相似关系具有下列性质：阶矩阵的相似关系具有下列性质：1.自反性：每一个自反性：每一个n阶矩阵阶矩阵A都与它自己相似，都与它自己相似，因为因为2.对称性：如果对称性：如果 ，那么，那么 ；因为由因为由3.3.传递性：如果传递性：如果且且那么那么事实上，由事实上，由 得得因此因此:线性变换在不同基下的矩阵是相似的线性变换在不同基下的矩阵是相似的.反过来，一对相似矩阵可以是同一个线反过来，一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的矩阵性变换在不同基下的矩阵.(证明略证明略-教材教材P283P284)容易证明容易证明NOTE:这两个式子的作用在于方便运算这两个式子的作用在于方便运算例例4 设设A、B都是都是n阶矩阵，且阶矩阵，且A可逆可逆.证明证明:ABBA.问问题题：Th7.3.5说明，关于V的不同基的矩阵是相似的；且所有彼此相似的矩阵可看成同一线性变换在不同基下的矩阵。这自然会提出问题：满足什么条件下，可以并且如何选取V的基，使线性变换关于这个基的矩阵尽可能简单？或曰：方阵满足什么条件时，如何在彼此相似的矩阵中选取一个方阵，使得它最简单？这是因为简单方阵研究起来方便一些。后几节讨论，什么样的方阵与对角方阵相似，进而寻找可逆方T，对给定的方阵A，使得 为对角形。