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1、基基变换和坐和坐标变换及及相似矩相似矩阵第1页，共25页，编辑于2022年，星期六复习复习复习复习1:1:1:1:将一个和式写为矩阵乘积的书写法将一个和式写为矩阵乘积的书写法将一个和式写为矩阵乘积的书写法将一个和式写为矩阵乘积的书写法 设设V为数域为数域P上的上的 n 维线性空间，维线性空间，为为V 中的一组向量，中的一组向量，若，若 则记作则记作广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第2页，共25页，编辑于2022年，星期六在形式书写法下有下列运算规律在形式书写法下有下列运算规律1).若若 线性无关，则线性无关，则 注：注：广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学
2、 院院院院第3页，共25页，编辑于2022年，星期六2).；为；为V中的两组向量，中的两组向量，矩阵矩阵，则，则:；若若 线性无关，则线性无关，则广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第4页，共25页，编辑于2022年，星期六复习复习2 2：线性变换在给定基下的矩阵：线性变换在给定基下的矩阵即即:则称A为线性变换T在基下的矩阵.广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第5页，共25页，编辑于2022年，星期六则记作则记作 设设V为数域为数域 P 上上 n 维线性空间，维线性空间，；为为V中的两组向量，若中的两组向量，若第一节第一节 线性空间的基变换与坐标变
3、换线性空间的基变换与坐标变换基变换公式基变换公式一、线性空间的基变换一、线性空间的基变换广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第6页，共25页，编辑于2022年，星期六广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院注意：证明：设矩阵为证明：设矩阵为P P上任一可逆矩阵，上任一可逆矩阵，任取任取V的一组基的一组基于是有，于是有，由由A可逆，有可逆，有第7页，共25页，编辑于2022年，星期六即，即，也可由也可由 线性表出线性表出.故故 线性无关，从而也为线性无关，从而也为V的一组基的一组基.并且并且A就是就是 的过渡矩阵的过渡矩阵.广广广广 东东东东 金金金金 融
4、融融融 学学学学 院院院院第8页，共25页，编辑于2022年，星期六分析：广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第9页，共25页，编辑于2022年，星期六4).若由基若由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A,由基由基 过渡矩阵为过渡矩阵为B，则，则由基由基 过渡矩阵为过渡矩阵为AB.若若则有，则有，分析：3).若由基若由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A,则由基则由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A-1.广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第10页，共25页，编辑于2022年，星期六二、坐标变换二、坐标变换 1.1.定义定义:V为数域为数域P上上n维线性空间维线性空间 为为V中
5、的两组基，且中的两组基，且设设 且且在基在基 与基与基 下的坐标分别为与下的坐标分别为与 ，广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第11页，共25页，编辑于2022年，星期六即，即，与与 则则或或 称称或或为向量为向量在基变换下的在基变换下的坐标变换公式坐标变换公式 广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第12页，共25页，编辑于2022年，星期六例例1.在在Pn中，求由基中，求由基 到基到基 过渡矩阵其中过渡矩阵其中 解：解：的过渡矩阵及由基的过渡矩阵及由基 到基到基 的的并求向量并求向量 在基在基 下的坐标下的坐标.广广广广 东东东东 金金金金 融融
6、融融 学学学学 院院院院第13页，共25页，编辑于2022年，星期六而，而，广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第14页，共25页，编辑于2022年，星期六到基到基 由基由基的过渡矩阵为的过渡矩阵为 故，由基故，由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第15页，共25页，编辑于2022年，星期六在基下的坐标就是在基下的坐标就是所以所以 在基在基 下的坐标为下的坐标为广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第16页，共25页，编辑于2022年，星期六设在基下的坐标为，则设在基下的坐标为，则所以在基下
7、的坐标为所以在基下的坐标为广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第17页，共25页，编辑于2022年，星期六例例2在在P4中，求由基中，求由基 到基到基 的过渡矩阵，其中的过渡矩阵，其中 广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第18页，共25页，编辑于2022年，星期六解解:设设 则有则有 或或，又又 广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第19页，共25页，编辑于2022年，星期六从而有从而有 广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第20页，共25页，编辑于2022年，星期六广广广广 东东东东 金金金金 融融融融
8、 学学学学 院院院院第21页，共25页，编辑于2022年，星期六第二节第二节 基变换对线性变换矩阵的影响基变换对线性变换矩阵的影响 引入分析：引入分析：广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第22页，共25页，编辑于2022年，星期六一一.线性变换的矩阵在基变换下的变化公式线性变换的矩阵在基变换下的变化公式广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第23页，共25页，编辑于2022年，星期六注意：2).2).相似矩阵广广广广 东东东东 金金金金 融融融融 学学学学 院院院院第24页，共25页，编辑于2022年，星期六第25页，共25页，编辑于2022年，星期六