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1、反函数复合函数隐函数初等函数 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望DWDW习惯上仍将反函数习惯上仍将反函数记为记为 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.在同一个坐标平面内在同一个坐标平面内,直接函数直接函数和反和反函数函数的图形关于直线的图形关于直线是对称的是对称的.定理（反函数存在定理）：定理（反函数存在定理）：单调函数单调函数 f 必存在单调必存在单调的反函数的反函数，且此反函数与，且此反函数与 f 具有相同的单调
2、性具有相同的单调性.牢记反函数的下列关系式牢记反函数的下列关系式例如例如：sinx arcsinx；cosx arccosx；tanx arctanx；cotx arccotx；例例1求函数求函数的反函数的反函数.解解令令则则故故即即解得解得改变变量的记号改变变量的记号,即得到所求反函数即得到所求反函数:例例2 已知已知(符号函数符号函数)求求的反函数的反函数.解解由题设由题设,易得易得解解解解所以反函数为所以反函数为.复合函数复合函数引例引例 设设定义定义 设函数设函数的定义域为的定义域为而函数而函数的值域为的值域为若若则称函数则称函数为为 的的复合函数复合函数.注注:其中其中自变量自变量,
3、中间变量中间变量,因变量因变量(1)函数函数与函数与函数 构成的复合函数构成的复合函数即即通常记为通常记为(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函不是任何两个函数都可以复合成一个复合函复合函数复合函数(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函不是任何两个函数都可以复合成一个复合函例如例如因前者定义域为因前者定义域为而后者而后者故此两函数不能复故此两函数不能复合成复合函数合成复合函数.数的数的.(3)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构复合函数可以由两个以上的函数经过复合构例如例如成的成的.例例3设设求求解解例例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基本初等函数的复合:解
4、解是由是由四个函数四个函数是由是由三个函数三个函数复合而成复合而成;复合而成复合而成;是由是由例例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基本初等函数的复合:解解是由是由三个函数三个函数复合而成复合而成;是由是由例例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基本初等函数的复合:解解是由是由三个函数三个函数复合而成复合而成;是由是由六个函数复合在而成六个函数复合在而成.分段函数的复合运算分段函数的复合运算例例5设设求求解解当当时时,或或或或解解当当时时,或或或或解解当当时时,或或或或当当时时,或或或或所以所以.隐函数隐函数当函数的因变量与自变量的对应关系是由方程当函数的
5、因变量与自变量的对应关系是由方程则称此函数为则称此函数为隐函数隐函数.所确定，所确定，它的确切含义是对任意的它的确切含义是对任意的x,由方程由方程只能唯一计算出一个只能唯一计算出一个y与之对应。与之对应。当函数用数学式子当函数用数学式子y=f(x)这种形式给出时，它明这种形式给出时，它明确给出因变量与自变量的对应关系，这是常见确给出因变量与自变量的对应关系，这是常见的函数形式，称为显函数。的函数形式，称为显函数。例如：例如：是一个隐函数是一个隐函数以下函数称为基本初等函数以下函数称为基本初等函数1.1.幂函数：幂函数：2.2.指数函数：指数函数：3.3.对数函数：对数函数：4.4.三角函数：三
6、角函数：5.5.反三角函数：反三角函数：（是常数）是常数）（是常数是常数,）（是常数，是常数，）四、初四、初 等等 函函 数数(一一)幂函数的图形幂函数的图形 同一坐标系中同一坐标系中幂函数的图象幂函数的图象(二二)指数函数的图形指数函数的图形 同一坐标系中指数函数的图象同一坐标系中指数函数的图象(三三)对数函数的图形对数函数的图形 同一坐标系中对数函数的图象同一坐标系中对数函数的图象正弦函数的图象正弦函数的图象(四四)三角函数的图形三角函数的图形 余弦函数的图象余弦函数的图象(五五)反三角函数的图象反三角函数的图象 由常数及基本初等函数经过有限次的复合步骤由常数及基本初等函数经过有限次的复合
7、步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数，叫作所构成并且可以用一个式子表示的函数，叫作初初等函数等函数.例如例如非初等函数的例子:符号函数当 x 0当 x=0当 x 0取整函数当双曲正弦与双曲余弦函数双曲正弦与双曲余弦函数若则称 f(x)为双曲余弦.若则称 f(x)为双曲正弦.记记又如而双曲余双曲正弦、双曲可以验证：正切都是奇函数，称为双曲正切.记弦是偶函数.容易验证它们满足下列公式：求双曲正弦函数的反函数.令则双曲正弦函数为由此得解得即故得所以，双曲正弦的反函数为且课堂练习题课堂练习题证明证证:令则由消去得时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设2.求的反函数及其定义域.解解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为