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1、星星之火，燎智慧之火以“力做功”引发的运算为例1活动背景为了推进高中数学“学本课堂”建设，提高高中数学课堂教学的有效性， 提高校本教研的实效，促进教师的专业成长。县数学中心组在杨德凯老师的带着 下积极探索教研活动新路子。本次“多人一课”活动的上课课题为241平面 向量数量积的物理背景及含义（必修4）,活动围绕观课，再观课，课后说课， 议课等几个环节，探索数学概念课堂教学中存在的问题以及不同教学方法的探索 等问题。2教学设计教材分析2.1.1 教学内容241平面向量数量积的物理背景及含义是选自人教A版数学必修4第 二章第四节，主要内容包括对平面向量数量积的概念、几何意义的掌握及其简单 应用。2.
2、1.2 地位与作用本节课是在学生基本掌握了平面向量的加法、减法以及数乘之后，对平面 向量线性运算的又一探索。数量积与之前的运算最大的差异在于其运算结果是数 量。但即便如此，在此之前学生连续三次经历“类比”、“抽象”、“概括”等方法, 已经能基本掌握学习平面向量线性运算的方法，这也使学生在本节课的学习中变 得有章可循。数量积的概念中既有长度又有角度，这也充分表达向量作为沟通代 数、几何与三角函数的重要工具，是高中数学知识的一个“大交汇:由此它也 成为是高中数学的一个非常重要的概念，并且在数学、物理等学科中应用都是十 分广泛的。本节课是第一课时，学生对概念的理解尤为重要。2.2 学法分析本节课在学
3、法上，主要采用类比法，通过物理情景中“功的概念”来理解 向量数量积的物理意义，进而理解其几何意义。通过对例题讲解和练习巩固，总 结归纳处理数量积的两种常见方法。同时，再次通过与实数运算律的类比再次探 索向量数量积的运算律。让学生切实体会到平面向量既有“数”的良好运算性质， 也有“形”的直观几何特征，是数形结合与转换的桥梁。2.3 教学目标2.3.1 知识与技能1、理解平面向量数量积的定义及其几何意义。2、会用平面向量数量积的定义、几何意义两方面来求两向量的数量积。2.3.2 过程与方法为促进学生深度学习，培养学科核心素养为理念，让学生再次经历“类比” “抽象” “概括”的过程，体会探索平面向量
4、数量积的定义和几何意义的过程。233情感态度与价值观使学生领会用“类比”“抽象” “概括”的方法，体验数学新概念的产生与发 展；通过学生之间、师生之间的交流与合作，以问题串的方式实现共同探究、教学相长的课堂气氛，调动学生学习的积极性，激发学生学习数学的信心。2.4 教学重点与难点教学重点平面向量数量积的定义及其几何意义。2.4.1 教学难点对几何意义的理解及其应用。2.5 教学设计教学环节问题展示设计意图复习回顾 引入课题1.回顾加减法数乘运算的发生 过程。1、沿用以“物理知识”作为 背景，让学生对新知识更加感 兴趣，强调向量这个只是体系 都是有其深远的背景意义。2、抛出新的物理问题（功问题）
5、， 并思考：确定功的因素3、尝试对新问题的探索，发 现功的运算就能实现向量发 生质的变化，也是激发学生继 续探究的兴趣。类比探究 抽象概括1：通过“类比”，将“功的运算” 抽象概括成数学概念1、让学生体会到数量积不是 刻意的认为定义，而是有其丰 富的实际背景的。2：总结概括出数量积的定义2、在“类比”中慢慢体会每 一个概念的形成都是有理有 据，而不是简单的模仿比照教师的板书与PPT ,发现aZ?=|x|Z?|xcos。与a =向x| xcosJ的区别在思考中，发现投影的做法与 运算律例题讲解 丰富概念例题：直角梯形ABCD,E是的BC的中点Z BCD=450,AB=AD，BC=2,求以 下数量
6、积。特意选择直角梯形为背景，在 “形”中寻找数量积概念中的A -A0三个基本量(1)AD-4=关注两向量的夹角夕，需共 起点(2)AD- AC=引出求数量积的两个角度： “数” “形”(3)(2AD-AQaB =引出运算律。并通过“类比” 实数乘法运算，得到数量积的 运算，并通过“功”的背景， 对运算律给出简单的证明。(4)假设点尸从点A 一点3 运动，那么凉茅的值 如何变化？再次从“数” “形”两个角度 诠释数量积(5)假设点。从点5 fC 运动，那么。在何处时， 能使诙力。为负？引出数量积的符号问题，以及 再次对投影进行说明课后思考：假设点。从 点5 fC运动，那么 诙勿。的取值范围通过4
7、、5两小题的诠释，可 以很快找到突破口。小结归纳 拓展延升本节课你有什么收获？3教学实录3.1 复习回顾，引入课题师：我们之前学习过了哪些平面向量的运算呢？我们今天简单的回顾总结 一下，当初这些运算都是与哪些物理问题息息相关？生：力的合成与分解，位移等问题中抽象概括得到的师：本章的重点研究对象：向量，就是由物理中的矢量抽象概括出来，自成 一个完整的体系，今天我们继续对物理问题进行研究，尝试将“向量”这个体系 变得更加完整，也能对物理研究提供理论支撑。物理问题：大力士拉车，沿着绳子方向上大小为5N的力，车向前移动了 3m, 记位移为，力和位移的夹角为，那么力所做的功为多少？并做以下思考：我们知道
8、功是一个标量，它与哪些量有关？生：力与位移师：没错！而力与位移都是矢量，可是通过功的作用却得到一个标量，这是 多么有趣的结果呢！同学们，我们通过“类比”，我们将这个结果“迁移”到我 们最近学习过的向量中去，可以得到这样的结论：两个向量可以通过“新运算” 得到一个数量。并且这种运算在物理中被广泛的应用，是一个普遍的现象。那么 我们数学要做的工作就是将这个“功”“抽象”出来，搞清楚它的来龙去脉，让 他自成一个完整的体系，将来能用来解释更多的现象。师：今天我们就来探讨这个“力做功”引发的运算到底是怎么样的呢？3.2 类比探究，抽象概括师：首先我们回顾一下初中对“功”的定义？“功”指的是位移和位移方向
9、的力的乘积师：你认为定义中“位移”和“位移方向上的力”在这个引例中，分别指？生：位移=3,位移方向上的力二力在位移方向上的分力揭示功的本质：位移的模与位移方向上的分力的乘积；即 W=|s|x| 用xcos。师：这就是功的计算公式，涉及到了两长度，以及夹角。由此我们也看到 了，功确实实现了从矢量转变成标量，这种质的变化，是其他运算所不具备的。 接下请同学们再用“类比”的方式将“功”抽象出来成为我们的数学的工具。将 位移和力看成两个“非零”向量32。生：类比得到：新运算的本质：5的模与B在方向上的分力的乘积；即W 而 xcos6我们一起完成匕在。方向上的分力如何做得。让学生体会到分力，即是作垂 线
10、便可得。师：我们将“功”抽象出来成为我们今天要学习的平面向量的心运算，并 且它与之前的运算相比，在运算结果上有所不同，它得到一个数量，由此我们给 它取啥名呢？生：数量积师：请同学们看我们整理的结果还有什么不合适的地方吗？生：向量没有分力师：很好！数学中，我们将这个分力称为加在W方向上的投影【师生共同完善了数量积的定义。并对数量积给出完整的定义。非零向量ZE,我们把的模与右在方向上的投影的乘积称为与加 的数量积，记作：a-b=axbxcosO 9其中强调|1|xcos6指的B在。方向上的投影。并提示学生数量积的几点注意】 师：好的，我们通过这个定义可以知道，物理中的“功”即是数量积的雏形，它 是
11、由两个向量的模以及他们的夹角来确定的。数量积通过数量的乘法完成了向量 到数量的转变。师：老师发现板书与PPT的不同之处，ab=|a|x|b|xcose与a-bbxaxcosO，需要修改吗?生：不需要，结果是一样的，满足实数乘法的交换律。师：两个等式虽然结果一样，但运算本质一致吗？生：不相同【师生共同完善了数量积的几何意义。1、Z的模与加在方向上的投影的乘积2、B的模与在B方向上的投影的乘积并一起完成了在右方向上的投影的图像表示。1师：由此我们也可以发现= 6。，这说明说明呢？生：满足交换律。师：这个交换律，老师认为这个名字还是很贴切的，同学们取名的依据是？生：就应该是交换律师：同学们这个是按照
12、小学的实数乘法运算律来取名的吧？按我们再通过“类比”来看看数量积满足哪些运算律呢？【师生共同完善了数量积的运算律，并简单介绍了结合律的证明】例题讲解，丰富概念例题：直角梯形ABCD,E是的BC的中点，其中NBCD=45。AB=AD，BC=2,那么求以下数量积的值(1)AD- EA =【学生口述，教师手写。错误的结果，让学生意识到夹角。总结：夹角需要共起点。】(2丽就二学生1：通过内错角相等，找到模与夹角的余弦值。学生2：直接去找投影。【由此师生共同总结出计算数量积的两种常见方法：1、“数”模、夹角；2、“形” 几何意义】(3)(2AD- AC)AD=学生1：按照运算顺序，先算2AD-AC,再做
13、数量积。学生2：用运算律(4)假设点尸从点A 一点B运动,那么诙而勺值如何变化？生：投影不变，所以数量积的值不变。师：很好，我们从“形”的角度上可以发现这个规律，那么也可以尝试从 “数”的角度上去解释这个结果。【师生共同完成“数”的运算】假设点。从点B 动，贝肛在何处时，能使D4。她负?师：思考：决定非零向量向量数量积的大小的量有哪几个？正负由哪些量 决定？生：夹角。师：很好，那我们讨论正负具体是如何决定的呢？【师生共同完成夹角与数量积的正负关系】师：由此，我们也尝试从“形”的角度上去探讨数量积的正负问题，具体 和什么有关呢？生：投影。师：非常好，那我们来看看投影的正负。【师生共同完成，得到两
14、个结论：1、投影是一个数，有正有负。2、投影落在同方向是表示正数，落在反方向表示负数】思考：求左为何值时，使向量说+ %砺与诙+ %方相互垂直?3.3 小结归纳，拓展延升师：今天我们学习了哪些内容？生：数量积。师：通过“类比”得到数量积的的定义、几何意义、运算律4反思“多人一课，同课异构”，改变了过去公开课单一化模式。要求教师精心 研究教材，潜心钻研教法和学法，各具特色，为集体研讨提供研究的平台。在“同 中求异”，“异中求同”比拟过程中提升每一个教师的教学水平。最精彩的局部就 是在大家畅所欲言的发表自己对教材，对教法、学法等看法中，在场的每个人的 思维彼此碰撞，产生更多更好的教学灵感，也为每一
15、位教师拾起当年的激情。“你 有一个苹果，我有一个苹果，交换后每人还是一个苹果；你有一种思想，我有一 种思想，交换后每人有两种思想”。这就是“同课异构”的教研效果，长善救失, 取长补短，提高教育教学效果。4.1 关于“数量积”概念教学的反思数学概念是一切后期数学知识的基础，把好第一道“概念”坎显得尤为重 要。概念学习不仅是理解定义描述的语句，也不只是能用以判断某个对象是否为 它的一个例，还要认识它的所有性质，这样才能更清楚的掌握这个概念。可是在 我们平时的教学中，学生虽然“知道”这些定义，但却应用起来不是特别顺利， 这又是什么原因呢？我觉得这就是对概念没有理解到位导致的。概念的学习需要一个过程，
16、不 但知识单纯的逻辑解析过程，“讲清楚”定义缺乏以让学生掌握概念。所以我在 平时的教学中会尝试让“概念自然的生长出来”，将课堂真正的换给学生。数学概念就像一粒种子，需要学生给这个“种子”灌溉，并且用学生自己 已有的知识去为这粒种子浇灌，才能开出属于学生自己的知识。但学生不懂得如 何去做，这时，数学中常用的思维方法交予学生，让学生自由的发挥想象，并在 教师与学生的探讨中慢慢的修整，化繁为简，留下属于学生的思维精华。所以这节课，以“类比”为主线，学生自由发挥想象联想，通过“问题” 设置探究活动使学生变得有章可循，亲身经历知识“再创造”的过程。只有这样, 学生才能真正体会和感受知识的生长过程，体验发
17、现与创造过程的曲折与艰难, 收获喜悦，丰富自己的学习情感。在本节课中，对“数量积的几点注意点”的处理，这样设计会让学生更加 自然的想到。在给出数量积的定义之后，给出以下的问题。试一试：（1） 与右的夹角为60,|=6,曲=6,求与血勺数量积的值【学生完成，并展示错误的答案，让学生发现数量积的几点注意，并总结：符号不改不省；教师解释向量中有很多其他的运算，符号的一点差异，就是不 同的运算方法】师：好的，我们重新回到数量积的定义，我们留意到，定义中涉及的向量 是非零向量，那对非零向量的数量积该如何定义呢?生：因为零向量与任何向量都是平行的，那么夹角是0。或者180。过，但模 是0,所以数量积是0.
18、师：很好，分析很到位，但由于夹角不好确定，于是我们就规定零向量与 任何向量的数量积是0.总的来说，数学之所以让学生决定困难，更多的是学生对数学的认识有所 偏颇。他们认为数学是凭空想出来，没有实用，这让学生对数学望而生畏。假设能 让学生在课堂上做到“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”，对数学能少 一份畏惧，多一份兴趣。这也是一个数学教师应该做到的。4.2 关于数量积的“运算律”教学的反思自从学习数学以来，运算和运算律自成一个体系，不可分割。在数量积的 运算律环节上，设计成一个偶然的发现，是不是对这个体系的整体性把握不到位 呢？曾经想过设计成如下：在例题中的第三问中，通过该小题来回运算律进行讨
19、论(3)(2AD-AQ AD =学生1:按照运算顺序，先算2R-君，再做数量积。学生2：用运算律师：你认为自己的运算中，涉及到哪些运算律呢？学生2：用到交换律，分配律师：数量积适合这些运算律吗？这些运算律的名字，你是怎么取的呢？【在教师的追问下，该学生能意识到自己是在“类比”实数乘法的运算， 给数量积也做了相同的定义。教师给出肯定学生的想法，并和同学们一起探讨数 量积的运算律】师：数量积适合所有的运算律吗？生：不是，结合律，不行，等式左右两边得到的是向量，不一定是相等的 向量。但是这样的设计也是刻意的。运算律的价值到底在哪里？是在理论上分析 数及其运算的性质。嫩简单的说是简便运算吗？不，运算律
20、不是使运算简便，而 主要是训练思维，比方培养思维的灵活性。对本节课，我产生了这样两个疑问：1、作为运算的一个整体一一运算律, 放在第二节课在来处理，可好？ 2、如何很自然的让学生意识到“运算需要运算律知识才能完整呢”4.3 对教学的启示注重对“课标”的研读，将核心素养落实打破每一节课中。作为教师自觉 将学科素养的内涵、表现形式、功能，与每一个教学内容相融合。明确每节课、 每个教学内容、每个教学环节、每道题可以落实哪些数学核心素养？落实某个核 心素养的哪些表现？可以到达的水平层次？注意核心素养开展的阶段性、延续 性、整体性的特点，不期望一步到位，但也努力做到。落实数学概念的理解，学会概念蕴含的数学方法。在每一个课堂，努力让 学生理解每一个概念的内涵与外延，概念的来龙去脉，概念中蕴含的研究问题的 思想方法。学会问题与清洁的创新设计，落实数学思维。数学课堂就是思维碰撞、发 展的课题，思维就是课题的灵魂。用一定数量的应用问题、开放性问题和探究性 问题来引领学生，加强学生思维链条。