第1讲　万有引力与宇宙航行.docx

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1、第五章万有引力与宇宙航行第讲万有引力与宇宙航行教材阅读指导（对应人教版新教材必修第二册页码及相关问题）IDP45开普勒行星运动定律的表述。提示：开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭 圆的一个焦点上。开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫 过的面积相等。开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方 的比都相等。P4546,对行星运动轨道简化为圆轨道后的开普勒三个定律的表述。提示：（1）行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。（2）对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）大小不变，即行星做匀速圆周运动。（

2、3）所有行星轨道半径;的三次方跟它的公转周期7的二次方的比值都相等,P48练习与应用仃2。提示:近地点的速度较大。P4950阅读“行星与太阳间的引力”这一局部内容，太阳与行星间引力公式依据什么推导出来的？提示：依据开普勒行星运动定律和圆周运动向心力公式及牛顿第三定律推导科学思维梳理科学思维梳理1 .万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力“可分解为：重力加g、提供物体随地球自转的向心(1)在赤道上：G = mg + mco2R0(2)在两极上：d得二加规。在一般位置：万有引力G宝T等于重力吆与向心力尸向的矢量和。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向 心力较小，通常

3、可认为万有引力近似等于重力，即曾二名。2 .星球上空的重力加速度g设星球上空距离星体中心=R +处的重力加速度为，那么用屋=濡3，得gGM 6mg二(A + 4产所以g = R2 3 .万有引力的“两点理解”和“两个推论”(1)两点理解两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力。(2)两个推论推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合 力为零，即EF弓尸0。推论2:在匀质球体内部距离球心，处的质点(机)受到的球体其他局部物质 的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M)对其的万有引力，即F =G o4 .万有

4、引力定律的表达式尸二G也斐适用于计算质点或匀质球体间的万有引力。当物体间的作用力不符合万有引力公式的适用条件时，可以把物体分成假设干 局部，求出两物体每局部之间的万有引力，然后求它们的合力。例2 （2020全国卷I ）火星的质量约为地球质量的七，半径约为地球半径的那么同一物体在火星外表与在地球外表受到的引力的比值约为（）A. 0.2B. 0.4C. 2.0D. 2.5答案BM火m解析设该物体质量为那么在火星外表有口火二G病，在地球外表有歹 由题意噬$，会4联立以上各式可啜受肾二哥 =0.4,故B正确。对点跟进训练1 .（万有引力定律的应用）（2021.山东高考）从“玉兔”登月到“祝融”探火，

5、我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。火星质量约为月球的9 倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。 在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停 时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（）A. 9 ： 1C. 36 : 1B. 9 ： 2D. 72 : 1答案B解析 悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力等于各自所受的 万有引力，根据尸=莓，可得短土x震x（豺= 9X2x（“，应选B。2.（万有引力定律的应用）理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体 的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀

6、的实心球体，。为球 心，以。为原点建立坐标轴Ox,如下图。一个质量一定的质点（假设它能够在 地球内部移动）在大轴上各位置受到的引力大小用少表示，那么尸随犬的变化关系图 像正确的选项是（）答案A解析 根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地 球的内部离球心处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的同心球体对质点的万有引力，所以尸半4,其中为地球的密度，为质点的 质量；当质点在地球球面或球面以外，离球心x处时，地球可以看成质量集中于 球心的质点，对质点的万有引力尸=G塔，其中M为地球的质量。综上所述，当xvR时，尸与x成正比，当后，尸与x的平方成反比，所以A正确。 考向2天体质量

7、和密度的估算科学思维梳理11 .重力加速度法：利用天体外表的重力加速度g和天体半径七 由G爷=氓得天体质量M二喑。天体密度。=性胃 =急。2 .天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径厂和周期兀由6誓=/弄得天体的质量加=答声。（2）假设天体的半径R,那么天体的密度专二产=。铲R3（3）假设卫星绕天体外表运行，可认为轨道半径，一等于天体半径穴，那么天体密度 二券，可见，只要测出卫星环绕天体外表运动的周期丁，就可估算出中心天体 的密度。注：假设的量不是八T,而是八。或八T等,计算中心天体质量和密度 Mm v v2r的思路相同。假设八u,利用G尸二机：得M=不。假设。、T,可先求出 一二要，

8、再利用G学= 或G誓二小（明年求M。假设、7那么不能求出M。例3 （2021 .广东高考）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱 成功发射并入轨运行。假设核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，引力常 量，由以下物理量能计算出地球质量的是（）A.核心舱的质量和绕地半径B.核心舱的质量和绕地周期C.核心舱的绕地角速度和绕地周期D.核心舱的绕地线速度和绕地半径I答案D解析I根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得华 =7=W27=加下了，贝|J可知要计算地球的质量M,除引 力常量G外，还要知道核心舱的绕地半径，及绕地线速度以 绕地角速度。或绕 地周期r中的一个。所以假设核心

9、舱的质量和绕地半径或核心舱的质量和 绕地周期，都不能计算出地球的质量；假设核心舱的绕地角速度和绕地周期， 不能计算出核心舱的绕地半径，也不能计算出地球的质量；假设核心舱的绕地 v2r线速度和绕地半径，可由加二正计算出地球的质量。故D正确，A、B、C错误。关键能力升华估算天体质量和密度时应注意的问题利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中 心天体的质量，并非环绕天体的质量。（2）区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体外表附近运动的卫星才有rkR；计算天体密度时，V = 中的r只能是中心天体的半径。（3）在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有一 二机外对点跟进训练（

10、天体质量的求解）（2017北京高考）利用引力常量G和以下某一组数据，不能 计算出地球质量的是（）A.地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案D解析 根据隼=伙?可知，地球的半径及重力加速度可计算出地球的 质量，A能；根据染二聆及。=半可知，人造卫星在地面附近绕地球做 圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据G塔二莘可知，已 知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量,C能；地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与

11、太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。考点3人造卫星的运动规律，深化:打彳科学思维梳理1.人造卫星的运动规律一种模型：无论自然天体（如地球、月亮）还是人造天体（如宇宙飞船、人造卫星)都可以看成质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。(2)两条思路万有引力提供向心力，即G半二加小。天体对其外表的物体的万有引力近似等于重力，即繁二吆或gR? 二 GM(R、g分别是天体的半径、外表重力加速度)，公式gR2二GM应用广泛，被称 为“黄金代换”。(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)2.地球同步卫星的特点物理量推导依据表达式最大值或最小值线速度Mm v2 堂二行IGMv

12、= 7当时有最大值，v =7.9 km/s角速度(j /=mcD-rGM 3= V /当/二R时有最大值周期Mm 2 晞=炳7T=21t 7GM当时有最小值，约85min向心加速度Mm G2 = manGM = 3当r = R时有最大值，最大值为g轨道平面圆周运动的圆心与中心天体中心重合共性：轨道半径越小，运动越快，周期越小(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。周期一定：与地球自转周期相同，即7=24 h = 86400 s。角速度一定：与地球自转的角速度相同。(4)高度一定:s Min4兀2 ,0据G- 亍厂得r = 423X1()4 km,卫星离地面高度力=-(为恒量)。(5)绕行方

13、向一定：与地球自转的方向一致。3.极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(2)近地卫星是在地球外表附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/so(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。例4 (2021 .海南高考)2021年4月29日，我国在海南文昌用长征五号B运 载火箭成功将空间站天和核心舱送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为400 km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000 km。那么该核心舱的()A,角速度比地球同步卫星的小B.周期比地球同步卫星的长

14、C.向心加速度比地球同步卫星的大D.线速度比地球同步卫星的小答案C解析核心舱和地球同步卫星都是由万有引力提供向心力而做匀速圆周运动，有= nuo2r = (爷= 心=由，可得=，7 =，a =平，v = R 而核心舱运行轨道距地面的高度为400 km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000 km,有厂舱 厂同，故有口舱同，丁舱丁同，。舱 同，。舱u同, 即核心舱的角速度比地球同步卫星的大，周期比地球同步卫星的短，向心加速度 比地球同步卫星的大，线速度比地球同步卫星的大，故A、B、D错误，C正确。关键能力升华1人造卫星问题的解题技巧(1)灵活运用卫星运动的动力学方程的不同表述形式:man =

15、 rrr - tna)2r =加(季=m(2nf)2ro第一宇宙速度的两种计算方法:GM=7.9 km/s；。= 7.9 km/So(3)同步卫星的特点：具有特定的线速度、角速度和周期；具有特定的位 置高度和轨道半径；运行轨道平面必须处于地球赤道平面上。注：比拟卫星与地球外表的物体的运动参量时，可以间接通过比拟卫星与同 步卫星的参量来确定。(4)天体相遇与追及问题的处理方法首先根据牛判断出谁的角速度大，然后根据两星转动的角度关系求解。当两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2兀的整数倍，即 -3 = 2兀(=1,2,3)，相距最远时两星运行的角度差等于兀的奇数倍，即Af -coit =

16、(2n + 1)Tt(n = 0,1, 2)。对点跟进训练1 .(天体的运动规律)(2020.北京高考)我国首次火星探测任务被命名为“天问 一号。火星质量约为地球质量的10%,半径约为地球半径的50%,以下说 法正确的选项是()A.火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B.火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C.火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D.火星外表的重力加速度大于地球外表的重力加速度答案A解析当发射速度大于地球的第二宇宙速度时，火星探测器才能克服地球引 力的束缚进入太阳系空间，从而被火星引力俘获，故A正确，B错误；对于在星 球外表附近做匀速圆周运动的物体

17、，所受万有引力提供向心力，那么有繁二等, 解得该星球的第一宇宙速度为5= 7窄,所以火星的第一宇宙速度为v火二八;常地二瑁 地，即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙 Y K 火Y/oN 地。速度，故C错误；对于在星球外表的物体，忽略星球的自转，那么所受万有引力近似等于物体在该星球所受的重力，即鬻=吆星，解得该星球外表的重力加速度GMGM 火 10%GM地 28星二铲，所以火星外表的重力加速度为g火=下;而不底=录地，即火星表 面的重力加速度小于地球外表的重力加速度，故D错误。2 .（人造卫星的运动规律）（2021辽宁高考）（多项选择）2021年2月，我国首个火星 探测器“天问一号”实现了对火

18、星的环绕。假设该探测器在近火星圆轨道与在 近地球圆轨道运行的速率比和周期比，那么可求出火星与地球的（）A.半径比B,质量比C.自转角速度比D.公转轨道半径比答案AB解析 设该探测器在近火星圆轨道与在近地球圆轨道运行的速率比广二小T火周期比# =心探测器在近星球轨道做圆周运动时，其轨道半径等于星球的半径, /地所以根据2山?=可得火星与地球的半径比黄=广广=血 故A正确；根据万穴地。地/地有引力提供向心力，有隼二弓，解得M=管,所以火星与地球的质量比会足皿二泡,故B正确；由于不知道火星与地球的同步卫星轨道半径比或自转周期比，所以无法求解火星与地球的自转角速度比，故C错误；由于不知 道火星与地球围

19、绕太阳公转的速度比或周期比，所以无法求解火星与地球的公转 轨道半径比，故D错误。3 .（综合）有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表 面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探 测卫星。各卫星排列位置如图，那么以下说法正确的选项是（）A. a的向心加速度大于b的向心加速度B.四颗卫星的速度大小关系是：VaVbVc VdC.在相同时间内d转过的弧长最长D. d的运动周期可能是3（） h答案D解析 由题意可知，卫星a、c的角速度相同，根据诙二小厂，可知a的向心 加速度小于c； b、c是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有：聋 = man

20、,得：cin = ,可知b的向心加速度大于c；综上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A错误。因为a、c的角速度相同，根据。=w,可知 a的速度大小小于c,即外勿；b、c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力 提供向心力有：G”二，?，得：v=因，bv&vrd,那么处%0d,故B错误。因b的线速度最大，那么在相同时间内b转过的弧长最长，故C错误。c、 d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力得：因d的轨 道半径大于c的轨道半径，那么d的周期大于c,而c的周期是24 h,那么d的运动 周期可能是30 h,故D正确。4.（天体的运动规律）（2021湖北高考）2021年5月，天问一号

21、探测器软着陆火 星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为 圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26 个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（）A.地球与火星的动能之比B.地球与火星的自转周期之比C.地球外表与火星外表重力加速度大小之比D.地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比答案D解析设地球和火星的公转周期分别为八、乃，由题意知火星和地球每隔约出来的。P5I什么是月一地检验?提示：地面物体所受地球的引力，月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。P52引力常量是如何测得的？数值为多少?提示:英国物

22、理学家卡文迪什利用扭秤装置测得G = 6.67X 10- N m2/kg2P5558万有引力理论的成就有哪些?提示:“称量”地球的质量、计算天体的质量、发现未知天体、预言哈雷彗星回归。P5960阅读“宇宙速度”这一局部内容，发射地球卫星的最小速度是多少？有哪两种计算方法?提示：7.9km/s。方法一：GMm mv2 I GM 八W = W，。=/w = 7.9 km/s;rriuI方法二：吆二下,v = gR = 7.9 km/soIP64科学漫步,黑洞的特点是什么？提示：黑洞是引力非常大的天体，光以3X 1(2m/s的速度都不能从其外表逃 逸。I迪P7”复习与提高B组T2； T3； T4；

23、T6o提示：T2:将行星看作球体，设半径为R,质量为加星，那么行星的密度为p= V = 4i0卫星贴近行星外表运行时，运动半径为R由万有引力提供向心力可知色患二滞嗔，即加星二普春由此可以解得尸吟，式中G为引力常量, 可见Q尸是一个对任何行星都相同的常数。温馨提示：当卫星贴着行星外表飞行时，只要有一个计时工具就可以知道行星的密度。，=26个月相距最近一次，又火星的轨道半径大于地球的轨道半径，那么东余1, 可解得八二号月，那么地球与火星绕太阳的公转周期之比力：T2=12 - = 7 ： 13,但不能求得地球与火星的自转周期之比，B错误；由开普勒第三定律二卷可 求得地球与火星的轨道半径之比，又由G等

24、 =M 得v = l平,那么地球 与火星的线速度之比可以求得，但由于地球与火星的质量关系未知，因此不能求GMw得地球与火星的动能之比，A错误；由G为=吆得g = -,由于地球和火星的质量关系以及半径关系均未知，那么不能求得地球外表与火星外表重力加速度大M大M星GM大小之比，C错误；由G曾# 二M星。得。二一甘，由于两星球的轨道半径之比可以求得，那么地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比可以求得，D正确。考点4卫星变轨问题，拓展延伸科学思维梳理当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向 心力，卫星的轨道将发生变化。1.卫星轨道的渐变Mm v当卫星的速度增加时，即万有引力

25、缺乏以提供向心力，卫星 将做离心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度增加很缓慢，卫星每转一周均可看 成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道运行时, 由。二 岸可知其运行速度比在原轨道时小。例如，由于地球的自转和潮汐力， 月球绕地球运动的轨道半径缓慢增大，每年月球远离地球3.8厘米。舄、2Mm v(2)当卫星的速度减小时，G即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可 看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行 时，由。=、/半可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀 薄大气

26、的摩擦力，轨道高度不断降低。2 .卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动 飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如下图， 发射同步卫星时，可以分多过程完成：(1)先将卫星发送到近地轨道I ,使其绕地球做匀速圆周运动，速率为功。(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由S增加到V2,这时噂“吟, 卫星脱离原轨道做离心运动，进入椭圆形的转移轨道II。(3)卫星运行到远地点。时的速率为6,此时进行第二次点火加速，在短时间 内将速率由。3增加到使卫星进入同步轨道III,绕地球做匀速圆周运动。飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回那么

27、是相反 的过程，通过突然减速，竿弓，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处 返回地面。3 .卫星变轨时一些物理量的定性分析(1)速度：设卫星在圆轨道I、III上运行时的速率分别为0、V4,在轨道II上 过P、0点时的速率分别为。2、。3,在P点加速，那么V2Vl ；在Q点加速，那么。4“3。 又因ViU4,故有。2切。4”3。(2)加速度：因为在P点不管从轨道还是轨道II上经过，。点到地心的距离 都相同，卫星的加速度都相同，设为电。同理，在。点加速度也相同，设为 又因Q点到地心的距离大于。点到地心的距离，所以收而。(3)周期：设卫星在、II、III轨道上运行周期分别为、乃、?3,轨道半径 或半

28、长轴分别为门、9、门，由最=左可知乃。例5 （2021 天津高考）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功, 迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号 探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道 调整，探测器先沿椭圆轨道运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道II运 行，如下图，两轨道相切于近火点P,那么天问一号探测器（）A.在轨道II上处于受力平衡状态B.在轨道I运行周期比在II时短C.从轨道I进入II在P处要加速D.沿轨道I向P飞近时速度增大答案1 D解析1天问一号探测器在轨道II上做变速运动，受力不平衡，故A错误； 轨

29、道的半长轴大于轨道II的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道运行 周期比在II时长，故B错误；天问一号探测器从轨道I进入II ,是从高轨道进入 低轨道，那么应在。处减速，故C错误；天问一号探测器沿轨道I向P飞近时，万 有引力做正功，动能增大，速度增大，故D正确。关键能力升华航天器变轨问题的三点考前须知（1）航天器变轨时半径（半长轴）的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关 系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由。= 怦判断。两个不同轨道的 “切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。（2）航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径（半长轴）越大，机械能越大。只考虑

30、万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正 功，动能反增大，引力势能减小。（3）两个不同轨道的“切点”处加速度。相同。对点跟进训练11 .（卫星变轨问题）（2021 福建省厦门市高三三模）（多项选择）“嫦娥五号”从环月 轨道上的P点实施变轨，进入近月点为。的环月轨道II ,如下图，那么“嫦娥 五号”（）A.在轨道II上的机械能比在轨道I上的机械能小B.在轨道II运行的周期比在轨道I上运行的周期大C.沿轨道I运动至。点时，点火后发动机喷气方向与运动方向相同才能进 入轨道IID.沿轨道II运行在尸点的加速度大于

31、沿轨道I运行在P点的加速度答案AC解析同一卫星绕行的轨道半径（或半长轴）越大机械能越大，故可知“嫦娥 五号”在轨道II上机械能小，A正确；由开普勒第三定律可知，“嫦娥五号”在 轨道II运行的周期比在轨道上运行的周期小，故B错误；“嫦娥五号”沿轨道 I运动至。点时进入轨道II ,需要制动减速，所以点火后发动机喷气方向与运动 方向相同，故C正确；由牛顿第二定律可知，“嫦娥五号”沿轨道II和轨道I运 行到P点的加速度相同，故D错误。2 .（卫星变轨问题）（2021 浙江6月选考）空间站在地球外层的稀薄大气中绕行, 因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行 修正。图中给出

32、了国际空间站在2020.022020.08期间离地高度随时间变化的曲线，那么空间站（）A,绕地运行速度约为2.0km/sB.绕地运行速度约为8.0km/sC.在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒D.在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒答案D解析 由题意可知，空间站绕地运行的轨道半径略大于地球半径，根据。二 、/平可知,空间站绕地运行速度略小于地球的第一宇宙速度7.9 km/s,故A、B 错误；由图中曲线知，在4月份空间站绕行的轨道半径出现明显变化，那么可知空 间站的发动机做功对轨道进行了修正，修正时空间站的机械能明显变大，不可视 为守恒，故C错误；由图中曲线知，在5月份空间站绕行的

33、轨道半径变化很小， 故任意两个小时内机械能可视为守恒，D正确。启智微专题 建模提能2双星、多星模型前面我们讨论的是类似太阳系的单星系统，其特点是有一个主星，质量远大 于周围的其他星体，可以看成近似不动，所以其他星体绕它运动。除此之外，在 宇宙空间，还存在两颗或多颗质量差异不大的星体，它们离其他星体很远，在彼 此间的万有引力作用下运动，组成双星或多星系统。双星系统轨道比拟稳定，很 常见，三星及其他更多星体的系统轨道不稳定，非常罕见。下面介绍具有代表性 的双星模型和三星模型。1双星模型两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。(2)特点各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gnim2 ) 72

34、- = mcoyr,Gmmi , -p =加 2G 协。两颗星的周期及角速度都相同，即71 二，CD =C02o两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：n + r2 = L。两颗星到轨道圆心的距离门、冷与星体质量成反比，即裁二。双星的运动周期丁2负：+丽。4k2L3双星的总质量+加2 =2三星模型(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比拟稳定，三颗星的质量 一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星 体对该星体的万有引力的合力提供。特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方 向相同，运行的角速度、周期相同。理想情况下，它们的位置具有

35、对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径 为R的圆形轨道上运行（如图3甲所示）。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图3乙所示）。【典题例证】 “双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远 小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力 作用下，绕某一点。做匀速圆周运动。如下图，某一双星系统中A星球的质量 为入 B星球的质量为*它们球心之间的距离为L引力常量为G,那么以下说 法正确的选项是（）A. B星球的轨道半径为;7TA星球运行的周期为2兀L + 加2）B. A星球和B星球的线速度大小

36、之比为孙：加2D.假设在。点放一个质点，那么它受到两星球的引力之和一定为零答案1 BI解析由于两星球的周期相同，那么它们的角速度也相同，设两星球运行的角速度为G，轨道半径分别为门、2根据牛顿第二定律，对A星球有：G誓: mco2r,对 B 星球有：=miarn,得 n : r2 = 2 ： m,又小 + a = ,得 n:L, r2 = y, A错误；根据 昆1詈=7i爷vi,门二:2解得Atn + m2 2| + 及l /in i + m2星球运行的周期丁二2兀乙而看而，B正确；A星球和B星球的线速度大小之比,二黑二管，C错误；。点处质量为小的质点受到B星球的万有引力/b =c/B cx/A

37、 2，/eGm2m?flGm2m?flQmyn+ m2 )受到A星球的万有引力心=3詈G”故该质点-1(机2 jP+ mi 受到两星球的引力之和不为零，D错误。【名师点睛】 解决双星、多星问题，要抓住四点(1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半 径。(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。(3)星体的角速度相等。(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关 系，正确计算万有引力和向心力。【针对训练】1. (2018全国卷I )(多项选择)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并 的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子

38、星合并前约100 s时，它们相 距约40() km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量 均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出 这一时刻两颗中子星()A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度答案BC解析 依题意两颗中子星的周期八 距离L,各自的自转角速度不可求,D错误；对如：母=mco2n ,对叱：染詈=miorn,几何关系：门+卷=L, co = y,联立以上各式可解得：n =m2m + m2, m ,4h2L3L, n - L, m +mi= 不, m + m2G/2nLB正确；速率之和01 +。2=Wl +32=S

39、+废）=-C正确；质量之积2122r1*不可求，故力22不可求，A错误。心Eri c力7| I T J= _G_G_ = _Gr_r,r2j2. （2021河南省济源市、平顶山市、许昌市高三下第三次质量检测）（多项选择）宇 宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如下图，三颗 质量均为m的星球位于边长为R的等边三角形的三个顶点上，并绕其中心O做 匀速圆周运动。忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G,以下对该三星 系统的说法正确的选项是（）A.每颗星球做圆周运动的半径都为苧RB.每颗星球做圆周运动的加速度都与三颗星球的质量无关C.每颗星球做圆周运动的周期都为2兀/rj含D.假

40、设距离A和?均增大为原来的3倍，那么每颗星球的线速度大小不变答案ACD解析 由几何关系知每颗星球做圆周运动的半径，/与R故A正确；任意G加2两颗星球之间的万有引力为F二先,每一颗星球受到的合力Fi二/凡 由合力 提供向心力，有卑如二心，解得二塔，即每颗星球做圆周运动的加速度 都与三颗星球的质量m成正比，故B错误；由合力提供向心力, 广，解得每颗星球做圆周运动的周期丁= 2兀/故C正确；由合力提供向心 力，有挈也二解得v = 愕，假设距离R和机均增大为原来的3倍，那么 每颗星球的线速度大小不变，故D正确。一、选择题（此题共8小题，其中第15题为单项选择，第68题为多项选择）1. （2021 .北

41、京高考）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆， 我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天 问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星外表2.8X102切小远火点距离 火星外表5.9X105小，那么“天问一号”（）A.在近火点的加速度比远火点的小B.在近火点的运行速度比远火点的小C.在近火点的机械能比远火点的小D.在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动答案D解析 根据牛顿第二定律有聋二，也，解得。二绥，故“天问一号”在近 火点的加速度比远火点的大，故A错误；根据开普勒第二定律，可知“天问一号” 在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误；“天问一号”

42、在同一轨道上运行 时，只有火星的万有引力做功，那么其机械能守恒，故C错误；“天问一号”在近 火点做的是离心运动，假设要变为绕火星做圆周运动，需要在近火点减速，故D正 确。2. （2（）21江苏高考）我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红 一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一 步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球 赤道平面成一定夹角。该卫星（）A.运动速度大于第一宇宙速度B.运动速度小于第一宇宙速度T3：36.。质量分布均匀的球体之间的万有引力可以等效为质量集中在两球心的两个质点之间的万有引力，直接代公式可求。此题

43、采用先填补成完整的 球体，再减去补上的小球局部产生的引力的方法来求解。T4： 4ho地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，那么卫星的公转周期也 4兀2/4兀?厂应随之变小，由?二下J可得T二、不二,故卫星与地球间的距离变小。要想仅用三颗同步卫星来实现地球赤道上任意两点之间保持无线电通信的目的， 最小的轨道半径对应的几何关系为卫星连线正好和地球相切，如下图。由几何 关系可推出最小半径，从而得到最小周期。T6： rl.l年。海王星的轨道半径最大，海王星相邻两次冲日的时间间隔最 短。行星冲日现象可类比田径场跑道上的运发动的追及相遇问题。轨道半径越大 的行星公转周期越长，轨道半径越小的行星公转周期越

44、短，公转周期短的不断超 越公转周期长的。地外行星的公转周期都比地球的公转周期长，地球的公转周期 最短，每超越一次就发生一次冲日。行星与地球的公转周期相差越大，冲日的周 期就越短。物理观念网顾与一建|物理观念1开普勒行星运动定律1.定律内容（1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是回植园，太阳处在椭 圆的一个画焦点上。C.轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星D.轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星答案B解析 根据G竿二串可知二胪蜻,因为“北斗”第49颗卫星的运 动周期与地球自转周期相同，等于“静止”在赤道上空的同步卫星的周期，可知 该卫星的轨道半径等于“静止”在赤道上空的同步卫星

45、的轨道半径，C、D错误; 根据d誓二,可知V =第一宇宙速度是指物体绕地球外表做匀速圆周运动的速度，该卫星的轨道半径远大于地球的半径，可知运行速度小于第一宇宙 速度，A错误，B正确。3. （2021 .河北高考）“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿 椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火 星飞行，其周期也为2个火星日。一个火星日的时长约为一个地球日，火星 质量约为地球质量的0.1倍，那么该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的 比值约为（）A.步A.步答案D解析 飞船或卫星绕中心天体做圆周运动时，根据万有引力提供向心力，可z_ GMm4兀2得一二

46、 2亍广，z_ GMm4兀2得一二 2亍广，那么 三归那.日知区.2 -0 1 川3 _ : 匹.握_ 那么N 4兀2，金-2, M地 0.1,那么同地制-a/0.1X22 =a/0.1X22 =D正确。4. （2020海南高考）2020年5月5日，长征五号B运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，将新一代载人飞船试验船送入太空，假设试验船绕地球做匀速圆 周运动，周期为T,离地高度为儿地球半径为R,万有引力常量为G,那么（）A.试验船的运行速度为第B.地球的第一宇宙速度为岸、2n(R + )3C.地球的质量为4n2(/? + hD.地球外表的重力加速度为一而一答案B2n(/? + /?)解析试验船的运行速度为一亍,故A错误；近地轨道卫星的速度等于 地球的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，对近地卫星有 聋=泰，对