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1、学习好资料欢迎下载拓展题型二次函数综合题拓展四二次函数与特殊三角形判定问题针对演练1.(2016 枣庄 10 分)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线 x1，且经过 A(1，0)，C(0，3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B.(1)若直线 ymxn 经过 B，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴x1 上的一个动点，求使 BPC为直角三角形的点P 的坐标第 1 题图学习好资料欢迎下载2.(2016 新疆 13分)如图，抛物线 yax
2、2bx3(a0)的顶点为E，该抛物线与x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 BOOC3AO，直线 y13x1 与 y 轴交于点 D.(1)求抛物线的解析式；(2)求证：DBOEBC；学习好资料欢迎下载(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由第 2 题图学习好资料欢迎下载3.(2016 襄阳 13 分)如图，已知点 A 的坐标为(2，0)，直线334yx与 x 轴，y 轴分别交于点 B 和点 C，连接 AC，顶点为 D的抛物线 yax2bxc 过 A，B，C 三点(1)请直接写出 B，C 两点的坐标，
3、抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)设抛物线的对称轴DE 交线段 BC 于点 E，P 为第一象限内抛物线上一点，过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 BC 于点 F.若四边形 DEFP为平行四边形，求点P 的坐标；(3)设点 M 是线段 BC 上的一动点，过点M 作 MNAB，交 AC于点 N.点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段BA 向点 A 运动，运动时间为 t(秒)当 t(秒)为何值时，存在 QMN 为等腰直角三角形？第 3 题图学习好资料欢迎下载【答案】1解：(1)依题意得1203baabcc，解得123abc，抛物线解析式为yx22x3，对称轴为 x1，抛物线经
4、过 A(1，0)，B(3，0)，把 B(3，0)，C(0，3)分别代入 ymxn 得，303mnn，解得13mn，直线 BC 的解析式为 yx3；(3 分)(2)设直线 BC 与对称轴 x1 的交点为 M，如解图，连接AM，第 1 题解图MAMB，MAMCMBMCBC，使 MAMC 最小的点 M 应为直线 BC与对称轴 x1的交点，把 x1 代入直线 yx3，得 y2，M(1，2)；(6 分)(3)设 P(1，t)，B(3，0)，C(0，3)，学习好资料欢迎下载BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10，若 B 为直角顶点，则 BC2PB2PC2，即 184t
5、2t26t10，解得 t12；若 C 为直角顶点，则 BC2PC2PB2，即 18t26t104t2，解得 t24；若 P 为直角顶点，则 PB2PC2BC2，即 4t2t26t1018，解得 t33172，t43172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P1(1，2)，P2(1，4)，P3(1，3172)，P4(1，3172)(10 分)2(1)解：当 x0 时，yax2bx33，C(0，3)，即 OC3，OBOC3OA，OB3，OA1，A(1，0)，B(3，0)，将 A(1，0)，B(3，0)代入 yax2bx3 得：309330abab，解得12ab，抛物线的解析式为yx22x
6、3；(4 分)(2)证明：由抛物线解析式 yx22x3(x1)24 可得：E(1，4)，学习好资料欢迎下载当 x0 时，y13x11，D(0，1)，即 OD1，2210BDODOB，同理可得 CE 2，BE2 5，BC3 2，在 DBO 和EBC 中，22DBDOBOEBECBC，DBOEBC；(9 分)(3)解：存在，点 P 的坐标为(1，1)，(1，317)，(1，317)，(1，14)或(1，14)(13 分)【解法提示】如解图，过点 P 作 PGy 轴于点 G，连接 PC，PB，设抛物线对称轴与x 轴的交点为 M，设点 P(1，a)，第 2 题解图则 PG1，GC|a3|，PM|a|，
7、PC21(a3)2，PB2a24，BC218，当 P 是等腰三角形顶点时，PC2PB2，即 1(a3)24a2，解得 a1，P1(1，1)；学习好资料欢迎下载当 C 是等腰三角形顶点时，PC2CB2，即 1(a3)218，解得 a13 17，a23 17，P2(1，317)，P3(1，317)；当B是等腰三角形顶点时，PB2CB2，即 4a218，解得 a114，a214，P4(1，14)，P5(1，14)综上所述，存在点P，使得PBC是等腰三角形，点P 的坐标分别为：P1(1，1)，P2(1，317)，P3(1，317)，P4(1，14)，P5(1，14)3解：(1)B(4，0)，C(0，3
8、)，抛物线的解析式为y38x234x3，D(1，278)；(4 分)【解法提示】令 x0，代入 y34x3，得 y3，C(0，3)，令 y0，代入 y34x3，得34x30，解得 x4，B(4，0)，设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)，把 C(0，3)代入 ya(x2)(x4)，学习好资料欢迎下载 a38，抛物线的解析式为 y38(x2)(x4)38x234x3 38(x1)2278，顶点 D 的坐标为(1，278)(2)如解图，第 3 题解图 四边形 DEFP 是平行四边形，DPBC，设直线 DP 的解析式为 ymxn，直线 BC 的解析式为 y34x3，m34，y34xn，把 D(1，
9、278)代入 y34xn，n338，学习好资料欢迎下载直线 DP 的解析式为 y34x338，联立y38x234x3y34x338，解得 x3 或 x1(舍去)，把 x3 代入 y34x338，得 y158，P 的坐标为(3，158)；(7 分)(3)由题意可知：0t6，设直线 AC 的解析式为 ym1xn1，把 A(2，0)和 C(0，3)代入 ym1xn1，得2m1n10n13，解得m132n13，直线 AC 的解析式为 y32x3，由题意知：QBt，如解图，当 NMQ90 时，OQ4t，第 3 题解图 把 x4t 代入 y34x3，学习好资料欢迎下载y34t，M(4t，34t)，MNx
10、轴，N 的纵坐标为34t，把 y34t 代入 y32x3，x12t2，N(12t2，34t)，MN(4t)(t22)632t，MNAB，NMQ90，MQ34t，当 MNMQ 时，632t34t，t83，此时 QB83，符合题意；(9 分)如解图，当 MNQ90 时，第 3 题解图 学习好资料欢迎下载QBt，点 Q 的坐标为(4t，0)，把 x4t 代入 y32x3，y932t，N(4t，932t)，MNx 轴，点 M 的纵坐标为 932t，把 y932t 代入 y34x3，x2t8，M(2t8，932t)，MN(2t8)(4t)3t12，MNAB，MNQ90，NQ932t，当 NQMN 时，9
11、32t3t12，t143，此时 QB143，符合题意；(10 分)学习好资料欢迎下载如解图，当NQM90 时，过点 Q 作 QEMN 于点 E，过点M 作 MFx 轴于点 F，第 3 题解图 设 QEa，把 ya 代入 y34x3，x443a，M(443a，a)，把 ya 代入 y32x3，x23a2，N(23a2，a)，MN(443a)(23a2)62a，当 MN2QE 时，62a2a，a32，MFQE32，MFOC，学习好资料欢迎下载BMFBCO，MFCOBFBO，BF2，QBQFBFMFBF32272，t72，此情况符合题意，(12 分)综上所述，当 t83或143或72秒时，QMN 为等腰直角三角形(13 分)学习好资料欢迎下载