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1、精品_精品资料_复 数1. 复数的概念：（1） 虚数单位 i .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 复数的代数形式 z=a+bi , a, b R.（3） 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数.2. 复数集整数有理 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实 数 b0分 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复 数 abi a , bR 无理数无 限不循环 小数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_虚数 b0纯 虚数 a0非 纯 虚数 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 复数 a
2、+bia, b R由两部分组成,实数 a 与 b 分别称为复数 a+bi 的实部与虚部, 1 与 i 分别是实数单位和虚数单位, 当 b=0 时,a+bi 就是实数, 当 b0 时,a+bi 是虚数, 其中 a=0 且 b0 时称为纯虚数.应特殊留意, a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件,如 a=b=0,就 a+bi=0 是实数.4. 复数的四就运算如两个复数 z1=a1+b1i ,z2=a2+b2i ,（1）加法： z1+z2=a1+a2+b1+b2i.（2）减法： z1z2=a1 a2+b1 b2i .（3）乘法： z1z2=a1a2 b1b2+a1b2+a2b1i .可编辑资
3、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z1a1a2b1b2a2b1a1b2 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_za 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 除法：222.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5） 四就运算的交换率、结合率.安排率都适合于复数的情形.（6） 特殊复数的运算： i n n 为整数 的周期性运算.1 i 2 = 2i .13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如=- 2 + 2i ,就 3=1, 1+2=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 共轭复数与复数的模（1） 如 z=a+
4、bi ,就 zabi , zz 为实数, zz 为纯虚数 b 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 复数 z=a+bi 的模|Z|=a2b2,且 z z| z|2 =a2+b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 依据两个复数相等的定义,设a, b, c, d R,两个复数a+bi和 c+di相等规定为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a+bi=c+dia cb d .由这个定义得到 a+bi=0a 0b 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个复数不能比较大小,只能由定义判定它们相等或不相等.4. 复数 a+bi 的共轭
5、复数是 a bi ,如两复数是共轭复数,就它们所表示的点关于实轴对称.如 b=0,就实数 a 与实数 a 共轭,表示点落在实轴上.5. 复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区分,最主要的是在运算中将i 2=1 结合到实际运算过程中去.22如a+biabi=a +b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 复数的除法是复数乘法的逆运算将满意c+dix+yi=a+bic+bi 0 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商.由 于 两 个 共轭 复 数的 积是 实 数 , 因 此 复数 的除 法 可 以通 过 将 分 母实 化 得 到, 即可编辑资料 -
6、 - - 欢迎下载精品_精品资料_abicdiabi cdi cdi cdi acbd c2bcad i d 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离.（二）典型例题讲解1. 复数的概念例 1实数 m取什么数值时,复数 z=m+1+m1i是（ 1）实数？（ 2）虚数？（ 3）纯虚数？（4）对应的点 Z 在第三象限？解：复数 z=m+1+m 1i中,由于 m R,所以 m+1,m 1 都是实数,它们分别是 z 的实部和虚部, （1）m=1时, z 是实数.（ 2） m 1 时, z 是虚数.可编辑资料 - -
7、- 欢迎下载精品_精品资料_（3） 当（4） 当m10m10 时,即 m= 1 时, z 是纯虚数.m10m10 时,即 m 1 时, z 对应的点 Z 在第三象限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知 2x 1+i=y 3 yi ,其中 x, y R,求 x, y.2x1y5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依据复数相等的意义,得方程组13y ,得 x= 2, y=4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4当 m为何实数时,复数 z（3）是纯虚数2m23m2m252+m2+3m10i .（ 1）是实数.（ 2）是虚数.可编辑资料 - -
8、 - 欢迎下载精品_精品资料_解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,m23m100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） z 为实数,就虚部 m2+3m 10=0,即解得 m=2, m=2 时, z 为实数.m2250可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m23m100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）z 为虚数,就虚部 m2+3m10 0,即m2250, 2m2 m23m203m100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 m 2 且 m 5.当 m2 且 m 5 时,
9、z 为虚数m2250,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1解得 m= 21,当 m= 2时, z 为纯虚数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_诠释：此题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必需具备的条件,仍应特殊留意分母不为零这一要求例 5运算： i i2 i3+ +i2022.解：此题主要考查 in 的周期性i i2 i3+ +i2022=i+i2+i3+i4+ +i2022+i2022+ i2022i2022 i2022=i1i+1+ i1 i+1+ +i 1 i+1+i 0 0 0+i i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或者可利用等比数列的
10、求和公式来求解（略）诠释：此题应抓住 in 的周期及合理分组例 8使不等式 m2m2 3mi m24m 3i 10 成立的实数 m.解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2m23mi m2 4m3i 10,且虚数不能比较大小,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m210m23m0| m| 10m0或 m3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m24m30 ,解得 m3或 m1 , m=3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m3 时,原不等式成立诠释：此题应抓住复数能比较大小时必需都为实数这一条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精
11、品_精品资料_例 9已知 z=xyix ,y R,且2 x yilog 2 x81log 2yi ,求 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：此题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x y80xy3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x yilog 2 x81log 2yi ,log 2 x1log 2y ,xy2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x解得y2x1 或 y12 , z 2i 或 z12i 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_诠释：此题应抓住复数相等的充要
12、条件这一关键,正确、娴熟的解方程（指数,对数方程）例 10已知 x 为纯虚数, y 是实数,且 2x1i y 3 yi ,求 x、y 的值解：此题主要考查复数的有关概念,实数与i 的运算,复数相等的充要条件,方程组的解法 设 xti tR,且 t 0）,就 2x1i y3 yi可化为2ti 1i y 3 yi ,即 2t 1i 1=y3 yi ,2t13y55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y,y= 1, t= 2, x= 2 i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 复数的四就运算例 1运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（1） 1i 2
13、ni 2 n 11,nN+.33i 63i 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）如 = 2 + 2i , 3=1,运算22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）32i 52i 53i 223i 25i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）S=1+2i+3i2+4i3+ +100i99.1i 2n1i 22i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n 1i 2n2i 1n 1 2i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1） 1i 2 n 1 = 1i 22i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2in2
14、k1,kN=2in2k, kN.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3i 63i 6i13i 6i13i 6i 6 62 6 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）22=22= 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）由于32ii23i,52ii25i,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32i 52i 53i 223i 25i =8.=|i i53i 2 | | 53i2|53 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）S=1+2i+3i2+4i3+ +100i99=1+2
15、i+3i2+4i3+5i4+6i5+7i6+8i7+ +97i96+98i97+99i98+100i99=1+2i 34i+5+6i78i+ +97+98i 99100i=25 2 2i= 5050i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知复数 z 满意|z 2|=2 ,z+ 解：设 z=x+yi, x, yR,就4z R,求 z.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44zxyi4 xyix4x y4 yi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z+ z =z+zzx2y2x2y2x2y2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ z+4yz R
16、,4 y22xy=0, 又|z 2|=2, x 22+y2=4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_联立解得,当 y=0 时, x=4或 x=0 舍去 x=0,因此时 z=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 y0 时,x1y3 , z=1 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 综上所得 z1=4 ,z2=1+3 i , z3=1 3 i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3设 z 为虚数,求证： z+1z 为实数的充要条件是 |z|=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：设 z=a+bi a, bR,b0
17、 ,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11abiabi aa bb i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z+ z =a+bi+abia 2b221ba2b 2a 2b2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 b 0, z+z Rb a2b=0a2+b2=1|z|=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z例 4复数 z 满意z+1z +1=| z |2 ,且 z解：设 z=x+yi x, yR,就11 为纯虚数,求 z.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z+1z +1=|
18、 z |2+z+ z +1=| z |2 , z+ z +1=0, z+ z =1,x= 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z1 z1z1| z |2zz1x2y 2xyixyi1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z1 = z1z1| z1|2=| z1|2为纯虚数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 x2+y2 1=0, y= 21, z= 231+ 2 i 或 z= 23 2 i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5复数 z 满意1+2iz+3 10iz =434i ,求 z
19、.解：设 z=x+yi x, yR,就1+2ix+yi+310ixyi =4 34i , 整理得 4x 12y 8x+2yi=4 34i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x8x12y 2 y4x34 ,解得 y41 , z=4+i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1例 6设 z 是虚数, =z+ z 是实数,且 12,1z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）求|z| 的值及 z 的实部的取值范畴.（ 2）设 u=1（3）求 u2 的最小值.解：（ 1）设 z=a+bi a, bR, b 0 ,就z ,求证 u 为 纯虚数.可编辑资料 - -
20、- 欢迎下载精品_精品资料_2222aabbi=abab,由于是实数且 b0, a2+b2=1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即|z|=1 ,由 =2a, 1 0 ,就 u222 3=1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a+1= a1 ,即 a=0 时,上式取等号,所以 u2 的最小值为 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7证明：iziz 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：此题考查复数的运算、模的定义,共轭复数的性质等 设 zabi ,a, bR,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iziabia1bia21b) 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iz =iabia1bia221b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iziziz1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 2： iziziz ,iz = iziz.可编辑资料 - - - 欢迎下载