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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点复 数 1复数的概念：（1 ）虚数单位 i；（2 ）复数的代数形式 z=a+bi ,a, b R；（3 ）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数；2复数集复数abia bR实 数 b0有理数整数分数虚b无 理数无 限不循环小数数 0纯 虚数 aa0非纯 虚0数 3复数 a+bia, b R由两部分组成,实数a 与 b 分别称为复数 a+bi 的实部与虚部, 1 与 i分别是实数单位和虚数单位,当 b=0 时, a+bi 就是实数,当 b 0 时,a+bi 是虚数,其中a=0 且 b 0 时称为纯虚数；应特殊留意, a=0 仅是复数
2、a+bi 为纯虚数的必要条件,如 4复数的四就运算 如两个复数 z1=a1+b1i ,z2=a2+b2i ,（1 ）加法： z1+z2=a1+a2+b1+b2i；（2 ）减法： z1z2=a1 a2+b1 b2i ；（3 ）乘法： z1z2=a1a2 b1b2+a1b2+a2b1i；z 1a a2b b 2a b 1a b i（4 ）除法：z 2a 22b 22；a=b=0 ,就 a+bi=0 是实数；（5 ）四就运算的交换率、结合率；安排率都适合于复数的情形；（6 ）特殊复数的运算： ni n 为整数 的周期性运算；1 i 2 = 2i ；1 3 如 =-2 +2 i,就 3=1 ,1+ +
3、 2=0. 5共轭复数与复数的模（1 ）如 z=a+bi ,就zabi , zz 为实数, zz 为纯虚数 b 0. 和 c+di相等规定为（2 ）复数 z=a+bi 的模|Z|=a22 b , 且z z|z|2=a2+b2. 6. 依据两个复数相等的定义,设a, b, c, d R,两个复数a+biaca0a+bi=c+dibd . 由这个定义得到 a+bi=0b0. 两个复数不能比较大小,只能由定义判定它们相等或不相等；4复数 a+bi 的共轭复数是 abi ,如两复数是共轭复数,就它们所表示的点关于实轴对称；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 -
4、- - - - - - - - 名师总结 优秀学问点如 b=0 ,就实数 a 与实数 a 共轭,表示点落在实轴上；5复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区分,最主要的是在运算中将i2=1 结合到实际运算过程中去；如a+bia bi= a2+b2c+dix+yi=a+bi c+bi 0的复数 x+yi 叫做复数6复数的除法是复数乘法的逆运算将满意a+bi 除以复数 c+di 的商；由 于 两 个 共 轭 复 数 的 积 是 实 数 , 因 此 复 数 的 除 法 可 以 通 过 将 分 母 实 化 得 到 , 即abiabicdiacbd2bcad i. cdicdicdicd27复
5、数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数（二）典型例题讲解1复数的概念a+bi 的点到原点的距离；例 1实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+m 1i 是（ 1）实数？（ 2）虚数？（ 3）纯虚数？（ 4）对应的点 Z 在第三象限？解：复数 z=m+1+m 1i 中,由于 m R,所以 m+1 ,m 1 都是实数,它们分别是 z 的实部和虚部, （1 ）m=1 时, z 是实数；m10（2）m 1 时, z 是虚数；（3 ）当m10时,即 m= 1 时,z 是纯虚数；（4 ）当m10时,即 m 1 时,z 对应的点 Z 在第三象限；m10例 2已知 2x 1+i=y 3 yi,其中 x,
6、y R,求 x, y. 解：依据复数相等的意义,得方程组22x1y 5y ,得 x= 2, y=4. 13例 4当 m 为何实数时,复数 z2 m3m2m225+m2+3m 10i ；（1 ）是实数；（ 2）是虚数；（ 3）是纯虚数解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法（1）z 为实数,就虚部 m2+3m 10=0 ,即2 m3 m100,2 m250解得 m=2 , m=2 时,z 为实数；2 m3 m1000,（2 ）z 为虚数,就虚部 m2+3m 10 0,即2 m250,22 m3 m2解得 m 2 且 m 5. 当 m 2 且 m 5 时,z 为虚数2 m3 m1002 m
7、25011解得 m= 2, 当 m= 2时, z 为纯虚数诠释：此题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必需具备的条件,仍应特殊注名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点意分母不为零这一要求例 5运算： i i2 i3+ +i2005. 解：此题主要考查in 的周期性 +i2001+i2002+ i2003i2004 i2005 ii2 i3+ +i2005=i+i2+i3+i4+=i1i+1+ i 1 i+1+ +i 1i+1+i 00 0+i i. 组或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释
8、：此题应抓住 in 的周期及合理分例 8使不等式 m2 m2 3mi m2 4m 3i 10 成立的实数 m . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2 m2 3mi m2 4m 3i 10, 且虚数不能比较大小,2 m2 m100,解得m|m| 103, m=3. 3 m00或mm 24m3m3或m1当 m 3 时,原不等式成立诠释：此题应抓住复数能比较大小时必需都为实数这一条件；例 9已知 z=xyix ,yR,且2xyilog2x81log2y i ,求 z解：此题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法2x yilog2x82xy802y ,xy3
9、,1log2y i ,log2x1 logxy2解得x2x1, z2 i 或 z12i y1或y2诠释：此题应抓住复数相等的充要条件这一关键,正确、娴熟地解方程（指数,对数方程）例 10 已知 x 为纯虚数, y 是实数,且 2x 1iy3yi ,求 x、y 的值解：此题主要考查复数的有关概念,实数与i 的运算,复数相等的充要条件,方程组的解法设 xti t R,且 t 0）,就 2x 1iy3yi 可化为2ti 1iy3 yi ,即2t 1i 1=y 3yi ,2 t113y55i. y, y=1, t= 2, x=24名师归纳总结 1已知复数 z 满意 |z 2|=2 ,z+z R,求 z
10、. 24yy2i,第 3 页,共 4 页解：设 z=x+yi, x, yR,就z+44zxyi4xyixx24x2yxzzx2y2yz =z+ z+4yx24y2 y =0 , 又|z 2|=2, x22+y2=4, z R,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点 联立解得,当 y=0 时, x=4 或 x=0 舍去 x=0, 因此时 z=0,x13 , 13 i. 当 y 0 时, y3, z=1 综上所得 z1=4 ,z2=1+3 i,z3=1 z2复数 z 满意z+1 z +1=| z |2 ,且z1为纯虚数,求 z. 解：设 z
11、=x+yi x, y R,就 1z+1 z +1=| z |2+z+z +1=|z |2 , z+ z +1=0 ,z+ z =1,x= 2. z1=z1z1|z2 |zz1|z1=x2y2xyi2xyi1为纯虚数,z1z1|2|z1|z131313x2+y2 1=0, y= 2, z=2+2i 或 z=22i. 3复数 z 满意1+2iz+3 10i z =4 34i ,求 z. 解：设 z=x+yi x, y R,就1+2ix+yi+3 整理得 4x 12y 8x+2yi=4 34i. 4 x12y4, 解得x4, z=4+i. 8x2y34y110ix yi =4 34i ,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页