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1、精品_精品资料_中考复习专题一次函数学问点总结一 变量：自变量：自己变化的量.在一个变化的过程中,我们称数值变化的量是自变量 常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量函数：被变量是自变量的函数函数值：当自变量确定一个值,被变量随之确定的一个值因变量：自变量的变化引起另一个量的变化,另一个量是因变量二 一次函数和正比例函数的概念1. 概念： 如两个变量 x, y 间的关系式可以表示成y=kx+b （ k, b 为常数, k 0）的形式, 就称 y 是 x 的一次函数（ x 为自变量）,特殊的,当b=0 时,称 y 是 x 的正比例函数 .（1） 一次函数的自变量的取值范畴是一切实数,但在实际问题中
2、要依据函数的实际意义来确定 .（2） 一次函数 y=kx+b（ k,b 为常数, k 0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量x 的次数为 1,一次项系数 k 必需是不为零的常数, b可为任意常数 .判定一个等式是否是一次函数先要化简（3） 当 b=0, k 0 时, y= kx仍是一次函数 . 正比例函数 （4） 当 b=0, k=0 时,它不是一次函数 .2. 函数的表示方法：）解析法,）列表法,）图象法列表法直观但不完全解析法精确完全但不直观图象法直观形象但不够精确也不太完全图象的画法：一列表、二描点、三连线（顺次用平滑的曲线）解析式的列法：一）实际问
3、题,确定自变量的取值二）符合题意三 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点, 全部这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线一次函数的图象由于一次函数 y=kx+b（ k,b 为常数, k 0）的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b由于两点确定一条直线,描出适合关系式的两点,再连成直线,一般选取两个特殊点：b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线与 y 轴的交点（ 0, b）,直线与 x 轴的交点（ -只要描出点（ 0, 0）,（ 1,k）即可 .四
4、一次函数性质1.一次函数 y=kx+b（ k, b 为常数, k 0）的性质（1） k 的正、负打算直线的倾斜方向. k0 时, y 的值随 x 值的增大而增大. kO时, y 的值随 x 值的增大而减小, 0）. 画正比例函数y=kx 的图象时,k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） |k|大小打算直线的倾斜程度, 即|k|越大,直线与 x 轴相交的锐角度数越大 （直线陡） ,|k| 越小,直线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）.（3） b 的正、负打算直线与y 轴交点的位置.当 b 0 时,直线与 y 轴交于正半轴上.当 b 0 时,直线与 y 轴交于负半轴上.当 b
5、=0 时,直线经过原点,是正比例函数（4） 由于 k, b 的符号不同,直线所经过的象限也不同.kb经过的象限Y 随 x 的变化图象y=kx+bb 0k 0b0一, 二三Y 随 x 的增大而增大y=kx+bb 0k 0b0一三四Y 随 x 的增大而增大y=kx+bb 0k 0b0一二四Y 随 x 的增大而减小y=kx+bb 0k 0b0二三四Y 随 x 的增大而减小（5）由于 |k| 打算直线与 x 轴相交的锐角的大小, k 相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的另外,从平移的角度也可以分析,例如：直线y=x 1 可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的2
6、.正比例函数 y=kx（ k 0）的性质（1）正比例函数 y=kx 的图象必经过原点.（2） 当 k 0 时,图象经过第一、三象限（3） 当 k 0 时,图象经过其次、四象限,y 随 x 的增大而增大.,y 随 x 的增大而减小y=kxk0y=kxk0（a0）的解.在 x轴的下方也就是函数的值小于零,x 的值是不等式 ax+b0【或向下 k0【或左 h0 【或左 h0 【或下 k0 【或下 k0【或左 h0】平移 |k|个单位y=ax-h2+k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移.k 值正上移,负下移”可编辑资料 - - - 欢
7、迎下载精品_精品资料_概括成八个字“左加右减,上加下减”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、二次函数2ya xh2k 与 yax2bxc 的比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_请将 y2 x24x5 利用配方的形式配成顶点式.请将yaxbxc 配成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ya xhk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结：从解析式上看,2ya xhk 与 yax2bxc 是两种不同的表达形式,后者通过配可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -
8、 欢迎下载精品_精品资料_方可以得到前者,即2yaxb 2a4acb2 4a,其中 hb ,k 2a4acb24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、二次函数yax2bxc 图象的画法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五点绘图法：利用配方法将二次函数yaxbxc 化为顶点式yaxhk ,确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称的描点画图. 一般我们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_选取
9、的五点为：顶点、与y 轴的交点 0 ,c、以及 0 ,c关于对称轴对称的点2h ,c 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 x 轴的交点x1 ,0 ,x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、二次函数yaxbxc 的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -
10、 - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 当 a0 时,抛物线开口向上,对称轴为xb ,顶点坐标为2ab4acb2,2a4 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xb 2a时, y 随 x 的增大而减小. 当 x2b 时, y 随 x 的增大而增大. 当 xb 2a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时, y 有最小值4acb4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 当 a0 时,抛物线开口向下,对称轴为xb ,顶点坐标为2ab4acb2,当2a4 a
11、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xb时, y 随 x 的增大而增大.当 x 2a2b 时, y 随 x 的增大而减小.当 x 2ab时, y2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有最大值4acb 4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2六、二次函数解析式的表示方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 一般式：yaxbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 顶点式：2ya xhk （ a , h , k 为常数, a0 ）.可
12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 两根式：ya xx1 xx2 （ a0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即2b4ac0 时,抛物线的解析式才可以用交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系21. 二次项系数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
13、资料_二次函数yaxbxc 中, a 作为二次项系数,明显a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 a大. 当 a大0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下,可编辑资料 - - - 欢迎下载精
14、品_精品资料_当 b0 时,当 b0 时, 当 b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴左侧.2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴.2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 b0 时,当 b0 时, 当 b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴右侧.2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴.2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结起来,在 a 确定的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置 总结
15、：3. 常数项 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 c 当 c 当 c0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正.0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 .0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的 二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据
16、题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式.2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式.3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式.4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yax2bxc 关于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y
17、a xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2yaxhk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 关于 y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2yaxbxc 关于 y 轴对称后,得到的解析式是yaxbxc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ya xhk 关于 y 轴对称后,得到的解析式是22ya xhk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23. 关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2yaxbxc 关于原点对称后,得到的解析式是yaxbxc .可编辑资料
18、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ya xhk 关于原点对称后,得到的解析式是2ya xhk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 关于顶点对称22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yaxbxc 关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxcb .2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式是2ya xhk 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 关于点m ,n 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载
19、精品_精品资料_2ya xhk 关于点m ,n对称后,得到的解析式是2ya xh2m2nk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据对称的性质, 明显无论作何种对称变换, 抛物线的外形肯定不会发生变化,因此 a永久不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时, 可以依据题意或便利运算的原就, 挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线） 的顶点坐标及开口方向, 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：21. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一元二次
20、方程ax 2bxc0 是二次函数yaxbxc 当函数值 y0 时的特殊情形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象与 x 轴的交点个数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 当b4ac0 时,图象与 x 轴交于两点A x1 ,0,B x2 ,0 x1x2 ,其中的x1 ,x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是一元二次方程 ax2bxc0 a0的两根这两点间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ABx2x1b4ac . a可编辑资料 -
21、- - 欢迎下载精品_精品资料_ 当0 时,图象与 x 轴只有一个交点. 当0 时,图象与 x 轴没有交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 当 a0 时,图象落在x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 当 a0 时,图象落在x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 抛物线yax 2bxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 , c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 二次函数常用解题方
22、法总结： 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程. 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 依据图象的位置判定二次函数yaxbxc 中 a ,b , c 的符号, 或由二次函数中 a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合.2 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 与二次函数有关的仍有二次三项式,二次三项式axbxca0 本身就是所含字母可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 的二次函数.下面以内在联系：a