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1、中考复习专题一次函数知识点总结一 变量：自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量函数：被变量是自变量的函数函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值因变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是因变量二 一次函数和正比例函数的概念1概念：若两个变量x，y 间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b 为常数， k0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数 . （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定 . （2）一
2、次函数y=kx+b（k，b 为常数， k0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b可为任意常数 . 判断一个等式是否是一次函数先要化简（3）当 b=0，k0 时， y= kx 仍是一次函数.( 正比例函数 ) （4）当 b=0，k=0 时，它不是一次函数. 2. 函数的表示方法：）解析法，）列表法，）图象法列表法直观但不完全解析法准确完全但不直观图象法直观形象但不够准确也不太完全图象的画法：一列表、二描点、三连线（顺次用平滑的曲线）解析式的列法：一）实际问题，确定自变量的取值二）符合题意三 函数的图象把一个函
3、数的自变量x 与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b 为常数， k0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与 y 轴的交点（ 0，b），直线与x 轴的交点（ -kb， 0）. 画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（ 0，0），（ 1，k）即可 . 四 一次函数性质1. 一次函数y=kx+b（k，b 为常数， k0）的性质（
4、1）k 的正、负决定直线的倾斜方向；k0 时， y 的值随 x 值的增大而增大；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页kO时， y 的值随 x 值的增大而减小（2） |k| 大小决定直线的倾斜程度，即|k| 越大，直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡） ，|k| 越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；当 b0 时，直线与y 轴交于正半轴上；当 b0 时，直线与y 轴交于负半轴上；当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于 k，b 的符号不同，直线所经
5、过的象限也不同；k b 经过的象限Y随 x 的变化图象y=kx+b (b 0) k0 b0 一 , 二三Y随 x 的增大而增大y=kx+b (b 0) k0 b0 一三四Y随 x 的增大而增大y=kx+b (b 0) k0 b0 一二四Y随 x 的增大而减小y=kx+b (b 0) k0 b0 二三四Y随 x 的增大而减小（5）由于 |k| 决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x1 可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的 2. 正比例函数y=kx（k0）的性质（1）正比例
6、函数y=kx 的图象必经过原点；（2）当 k0 时，图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大；（3）当 k0 时，图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小点 P（x0，y0）与直线y=kx+b 的图象的关系（1）如果点P（ x0，y0）在直线 y=kx+b 的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上例如：点 P（1，2）满足直线y=x+1，即 x=1 时， y=2，则点 P（1，2）在直线 y=x+l 的图象上；点P（ 2，1）不满足解析式y=x+1，因为当 x=2
7、时， y=3，所以点 P（ 2，1）不在直线 y=x+l 的图象上y=kx (k0) y=kx (k0（a0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax+b0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y随x的增大而减小；xh 时，y有最小值 k 0a向下hk，X=h
8、 xh 时，y随x的增大而减小；xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y有最大值 k 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页概括成八个字“左加右减，上加下减”三、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较请将2245yxx利用配方的形式配成顶点式。请将2yaxbxc 配成2ya xhk。总结：从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，四、二次函数2yaxbxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数
9、2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10 x ，20 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页五、二次函数2yaxbxc 的性质 1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacba
10、a，当2bxa时，y随x的增大而减小； 当2bxa时，y随x的增大而增大； 当2bxa时，y有最小值244acba 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （a， b ，c为常数，0a）；2. 顶点式：2()ya xhk （a， h， k 为常数，0a）；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式
11、或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2yaxbxc 中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，
12、a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置总结： 3. 常数项c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线
13、与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同
14、的两点，常选用顶点式二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称2yaxbxc 关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ； 2. 关于y轴对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页2yaxbxc 关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk； 3. 关于原点对称2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk
15、关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk； 4. 关于顶点对称2yaxbxc 关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5. 关于点mn，对称2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数
16、与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： 当240bac时， 图象与x轴交于两点1200A xB x，12()xx， 其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0 时，图象与x轴只有一个交点； 当0 时，图象与x轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y2. 抛物线2yaxbxc 的图象与y轴一定相交，交点坐标为
17、(0 ，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc 中a，b ，c的符号， 或由二次函数中a，b ，c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2
18、(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y= -x2y= -x220抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页