《2022年高中数学数列题型归纳及解题方法梳理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学数列题型归纳及解题方法梳理.docx（42页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列典型例题分析【题型 1 】等差数列与等比数列的联系an例 1 （ 2022 陕西文 16） 已知 a n 是公差不为零的等差数列, a1 1,且 a1, a3, a9 成等比数列. （） 求数列 a n 的通项 ; （） 求数列 2 的前 n 项和 Sn.解：（）由题设知公差 d 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a1 1, a1, a3, a9 成等比数列得12 d1 18d ,12d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 d 1, d 0（舍去）,故a n 的通
2、项an 1+（ n 1） 1 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 由（）知公式得a m =2n,由等比数列前n项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S =2+22+23+2n= 212n =2n+1-2.m12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结与拓展： 数列an是等差数列, 就数列 a an 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列,公比为a d ,其中 a 是常数, d 是an的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公差.（ a0 且 a 1） .1可编辑资料 -
3、- - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【题型 2】与“前 n项和 Sn与通项 an ”、常用求通项公式的结合例 2已知数列 a n 的前三项与数列 b n 的前可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1三项对应相同,且a 2a 22a 2n1a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23n8n
4、对任意的 nN* 都成立,数列 bn 1 bn 是等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_差数列求数列 a n 与b n 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 ： a1 2a2 22a 2n 1a 8nn N* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 n2 时, a1 2a2 21n N* a3 2n2an18n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn4 1得 2n 1a 8,求得 a 24 n,在中令 n 1,可得 a1 8 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n
5、a 24 nn N* 由题意知b1 8, b2 4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b3 2,b2 b1 4, b3 b2 2,数列 b n1 bn 的公差为 2 4 2,bn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 1 bn 4 n 1 2 2n 6,法一 （ 迭代法）bn b1 b 2 b1 b 3 b2 b n bn 1
6、8 4 2 2n 8 n2 7n14n N* 法二 （ 累加法）即 bn bn12n 8, bn1 bn2 2n 10,b3 b2 2, b2 b1 4, b1 8,相加得 bn 8 4 2 2n 8n 1 4 2n 8 8 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -n2 7n14n N* 小结与拓展： 1）在数列 a n 中,前 n 项和 S
7、n与通项 an 的关系为：a1S1n1an. 是重要考点. 2）韦达定理应SnSn 1n2,nN 引起重视. 3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法.【题型 3 】中项公式与最值 （数列具有函数的性质）例 3（ 2022 汕头一模） 在等比数列 an中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n15a 0 nN）,公比 q0,1,且 a a+ 2a a+a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_352a8 25, a3 与 as 的等比中项为2.（ 1）求数列 an的通项公式. （ 2）设bn log 2 a n,数列 bn的前 n 项和为 Sn 当 S1S2Sn
8、 最大时,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 的值.12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）由于a1a5 + 2a3a5 +a2a8 25,所以,a532+ 2a3a5 + a2 25又 an o,a3a55又 a3 与 a54可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的等比中项为2,所以, a3a5 4
9、而 q（ 0,1 ）,所以, a3 a5,所以, a34, a5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1, q1 , a1 16,所以,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an16n 1125 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）bn log 2 an 5 n,所以,bn 1 bn 1,所以,b n 是以4 为首项, 1 为公差的等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n列.所以, Sn92n , Sn9nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,当 n 8 时,Sn
10、 0,当n 9 时,nSn 0,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 9 时,Sn 0,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 8 或 9 时, S1S2Sn 最大.12n小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值. 2）等差中项与等比中项.二、数列的前n 项和 1.前 n 项和公式 Sn 的定义： Sn=a1+a2+an.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word
11、精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2.数列求和的方法（1）（ 1）公式法： 1）等差数列求和公式. 2）等比数列求和公式. 3）可转化为等差、等比数列的数列. 4）常用公式 :1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kn123k 1nnn21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n22221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2123k 1nnn612n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123n333k 3k13nnn212.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
12、精品资料_n2 k113k 15.2n- 1n 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）分组求和法： 把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化成等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式求解.（ 3）倒序相加法： 假如一个数列 a n ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常 数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的.（ 4）裂项相消法： 即把每一项都拆成正负两项,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 21 页
13、- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -使其正负抵消,只余有限几项,可求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_适用于c其中 an 是各项不为0的等差数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an an 1c为常数.部分无理数列、含阶乘的数列等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： 1）1和anan 11anan 1（其中an等差）可裂项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11
14、为： 11 . 2）11 aa .（根式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aadaan 1ndaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1nn 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在分母上时可考虑利用分母有理化,因式相消求和）常见裂项公式 ：111（ 1） n n1nn1 .1111（ 2） .n nk knnk1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） nn1n12n n1 n1n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.典型例题分析【题型 1 】公式法例 1等比数列 an 的前项和S 2 p,就aaa
15、a.2222123n7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1）当n=1 时, a12 - p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）当 n2 时, a nSn - Sn -12 n- p - 2 n -1- p2 n -1 .
16、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 为 数 列 an 为等 比 数列 ,所 以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a12 - p21-11p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而等比数列 an等比数列.为首项为1,公比为2 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an故等比数列比数列.2为首项为 1,公比为 q 24 的等可编辑资料 - - - 欢迎下
17、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaa222123211 -an1 -4 n 41 4 n3- 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结与拓展： 1）等差数列求和公式.2）等比及数列求和公式. 3）可转化为等差、等比数列的数列. 4）常用公式 :（见学问点部分）.5）等比数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n如数列 a 为等比数列,就数列2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1也为等比数列, 首项分别为a na 2 、1 ,1a1可编辑资料 - - - 欢迎下
18、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公比分别为q 2 、 1 .q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型 2 】分组求和法例 2（ 2022 年丰台期末 18）数列 an 中,a11 ,8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且点 an ,an 1 n
19、N 在函数f xx2 的图象上 .（）求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 an的通项公式. （）在数列 an 中,依次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抽取第 3,4,6,2n 12 ,项,组成新数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bn,试求数列 bn 的通项bn 及前 n 项和Sn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（） 点 an ,
20、an 1 在函数f xx2 的图象上, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1an2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an 1an2 ,即数列 an 是以a11 为首项, 2 为公差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的等差数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an1 n122n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）依题意知：ba22n 1212n3n2n 12nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
21、Sbbb=2 i32i3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12n22n 1=i 1i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3n2n 1123n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结与拓展： 把数列的每一项分成多个项,再把数列的项重新组合,使其转化成等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式求解.9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳
22、 - - - - - - - - - - - -【题型 3 】裂项相消法例 3（ 2022 年东城二模19 改编） 已知数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na的 前n项 和 为Sn,a11 ,Sn 14an1 , 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bnan12an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明数列bn是等比数列.*1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（） 数列cn满足 cnlog 2 bn3nN , 求可编辑资料 - - -
23、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Tnc1c2c2c3c3c4cncn1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：（）由于Sn 14an1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2 时, Sn4an 11 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 得an 14an4 an 1所 以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
24、料_an 12an2an2an1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 bnan 12an,所以 bn2bn 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 a11 ,且 a1a24a11 ,所以 a23a114 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 b1a22a12 故数列bn是首项为2 ,公比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 2 的等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：
25、（ ）由（）可知 b2n ,就c11 （ nN * ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nnnlogb3n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Tnc1c2c2 c3c3 c4cncn 11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_455667n3 n410可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -11n4
26、n44 n4小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和.它适用于c其中 an 是各项不为0 的等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an a n 1差数列, c 为常数.部分无理数列、含阶乘的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列等.如：1）an1和an 11anan（其中1an等差）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可裂项为：11 11 . 2）1 1 aa .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aadaa
27、n 1ndaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1nn 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（根式在分母上时可考虑利用分母有理化,因式相消求和）（ 5）错位相减法： 适用于差比数列 （假如 an等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_差, bn等比,那么anbn叫做差比数列）即把每可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一项都乘以bn的公比 q ,向后错一项,再对应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同次项相减,转化为等比数列求和.如：等比数列的前n 项和就是用此法推导的.（
28、 6）累加（乘）法（ 7）并项求和法： 一个数列的前n 项和中, 可11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -两两结合求解,就称之为并项求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形如an 1 nfn类型, 可采纳两项合并求.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.典型例题分析【题型 4 】错位相减法可编辑资料 - -
29、- 欢迎下载精品_精品资料_例 4求数列2 ,4 ,6,222232n, 2n,前 n 项的和 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由题可知 2n 的通项是等差数列2n的通n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项与等比数列 1的通项之积2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 Sn21 S462n2 2232 n2462n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n22223242n 1可编辑资
30、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（设制错位）得1n1 S22222 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_位相减）22222324212n2 n 1（错2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n 12n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -Sn4n22
31、 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型 5 】并项求和法222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5求S100 1002 99 98 97 2 122222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： S100 100 99 98 97 2 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_100 99 98 97 2 1 5050.【题型 6 】累加（乘）法及其它方法： 归纳、猜想、证明.周期数列的求和等等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6求111111111n个11 之和 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于1111k个1199999k个11 10 k19（找通项及特点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1111111111n个11 101191 102191 103191 10n19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 分 组 求 和 ） 1 1019102103