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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数；两个函数的和、 差、基本导数公式, 利用导数争论函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值；二、热点题型分析题型一：利用导数争论函数的极值、最值；1f x 1x3x3 x22在区间1,1 上的最大值是 2 c 6 ；2已知函数yfxxxc 2在x2处有极大值,就常数3函数y3x3有微小值 1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线y4xx 3 x 在点1, 3 处的切线方程是yx2y1,02假设曲线fx 4x在 P 点处的切线平行于直线3xy0,就
2、P点的坐标为3假设曲线y4 x 的一条切线 l 与直线x4y80垂直,就l的方程为4x304求以下直线的方程：1曲线 y x 3 x 2 1 在 P-1,1 处的切线；2曲线 y x 2过点 P3,5 的切线；解：1点 P 1 1, 在曲线 y x 3 x 2 1 上,y / 3 x 2 2 x k y / | x1 32 1所以切线方程为 y 1 x 1,即 x y 2 02明显点 P3,5不在曲线上, 所以可设切点为 A x 0y 0 ,就 y 0 x 0 2又函数的导数为 y / 2 x,所 以 过 A x 0y 0 点 的切 线的 斜率为 k y / | x x 0 2 x 0, 又切
3、 线过 A x 0y 0 、 P3,5 点 , 所以 有2 x 0 yx 0 03 5,由联立方程组得,xy 00 11 或y x0 025 5,即切点为1, 1时,切线斜率为k 1 2 0 ;2；当切点为 5,25时,切线斜率为 k 2 2 0 10；所以所求的切线有两条,方程分别为 y 1 2 x 1 或 y 25 10 x 5 ,即 y 2 x 1 或 y 10 x 25题型三：利用导数争论函数的单调性,极值、最值1已知函数fxx3ax2bxc,过曲线yfx上的点P ,1f1 的切线方程为y=3x+1 第 1 页 共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10
4、页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设函数fx在x2处有极值,求fx的表达式；在的条件下,求函数yfx 在 3,1 上的最大值；13；假设函数yfx 在区间 2,1 上单调递增,求实数b 的取值范畴解：1由fxx3ax2bxc ,求导数得fx3 x22axb .过yfx 上点P ,1f 1 的切线方程为：yf 1 f 1 x1 ,即yabc1 32ab x1 .而过yfx 上P ,1f 1 的切线方程为y3x1 .故32 ab3即2ab0ac3ac3yfx 在x2 时有极值,故f2 ,04 ab12由得 a=2 ,b=4,c=5 fx x32x24x5.2fx 3x24x43
5、x2 x2.当3x2 时,fx;0当2x2时,fx0;3当2x1 时,fx0 .fx 极大f213又f1 4 ,fx在 3,1 上最大值是33y=fx在 2,1 上单调递增,又fx3 x22 axb,由知 2a+b=0；依题意fx在 2,1 上恒有fx0,即3x2bxb0.当xb1 时,fx minf 1 3bb0,b6；6当xb2 时,fxminf2122 bb0 ,b；6当261 时,fx min12bb20 ,就0b6.b12综上所述,参数b 的取值范畴是,02已知三次函数f x x3ax2bxc 在x1和x1时取极值,且f 24第 2 页 共 10 页名师归纳总结 - - - - -
6、- -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 求函数yf x 的表达式；2 求函数yf x 的单调区间和极值；0在区间m3, n 上的值域为 4,16 ,试求 m 、 n 应满3 假设函数g x f xm4 m m足的条件2解： 1 f 3 x 2 ax b ,由题意得,1, 1是 3 x 22 ax b 0 的两个根,解得,a 0, b 33再由 f 2 4 可得 c 2f x x 3 x 222 f 3 x 3 3 x 1 x 1,当 x 1 时,f 0；当 x 1 时,f 0；当 1 x 1 时,f 0；当 x 1 时,f 0；当 x 1 时,f 0
7、函数 f x 在区间 , 1 上是增函数；在区间 1, 上是减函数；在区间 1, 上是增函数函数 f x 的极大值是 f 1 0,微小值是 f 1 43 函数 g x 的图象是由 f x 的图象向右平移 m 个单位,向上平移 4 m个单位得到的,所以,函数 f x 在区间 3, n m 上的值域为 4 4 ,16 4 m m 0而 f 3 20,4 4 m 20,即 m 4于是,函数 f x 在区间 3, n 4 上的值域为 20, 0令 f x 0 得 x 1 或 x 2由 f x 的单调性知,1 n 4 2,即3 n 6综上所述,m、n应满意的条件是：m 4,且3 n 63设函数 f x
8、x x a x b 1假设 f x 的图象与直线 5 x y 8 0 相切, 切点横坐标为,且 f x 在 x 1 处取极值,求实数 a b 的值；第 3 页 共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2当 b=1 时,试证明：不管a 取何实数,函数f x 总有两个不同的极值点解：1f 3x22ab xab. x由题意f25,f10,代入上式,解之得：a=1,b=12当 b=1 时,令f 0得方程3x22a1xa0.因4 a2a1 0 ,故方程有两个不同实根x1,x2不妨设x 1x2,由fx3xx1xx2可判定
9、f x的符号如下：当x1x 时,f x；当x 1xx2 时,f x；当xx2 时,f因此1x是极大值点,x 是微小值点 ,当 b=1 时,不管 a 取何实数,函数f x 总有两个不同的极值点；题型四：利用导数争论函数的图象1如右图：是f x的导函数,f/ x的图象如右图所示,就f x的图象只可能是 D A BCD2函数y1x34x1 的图像为 A 6 y 6 y 36 y 6 y 4 74 4 y 2 4 x 4 o 2 4 x 2 2 2 2 -4 -2 o 2 4 x -4 -2 o 2 4 x -4 -2 -2 -2 -2 B -2 -4 -4 -4 -4 3方程2x36x20 在0 2
10、, 内根的个数为 A 、0 B、1 C、2 D、3 题型五：利用单调性、极值、最值情形,求参数取值范畴第 4 页 共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1设函数fx1x32ax23 a2xb0,a1.3 1求函数fx的单调区间、极值. a,试确定 a 的取值范畴 . 3 a2假设当xa,1a2 时,恒有|fx|解：1f x24ax2 3 a = x3 xa ,令f 0得x 1a x 2列表如下：x - ,a a a,3a3a 3a,+23a24a4f - 0 + 0 - f x 微小极大f x 在 a,3a
11、上单调递增,在- , a和 3a,+上单调递减xa 时,f微小 b4a3,x3 a 时,f微小 b32f x24 ax2 3 a 0a1,对称轴x2aa1,f x 在 a+1 ,a+2 上单调递减fMaxa2 14 a a13a22 a1,fmina224 a a依题|f |a|fMax|a ,|fmin|a即| 2a1|a,| 4a4 |a解得4a1,又0a1a 的取值范畴是4,15522已知函数f x x3 ax2 bxc 在 x3 与 x 1 时都取得极值1求 a、b 的值与函数 f x的单调区间2假设对 x 1,2,不等式 f x c2 恒成立,求c 的取值范畴；解：1f x x3ax
12、2 bxc, f x 3x22axb 由 f 2124 a b 03,f 1 3 2ab0 得 a1,b 2 392f x 3x2x 2 3x2x1,函数 f x的单调区间如下表：第 5 页 共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 2221 1,3 33 ,1f x 0 0 f x极大值 微小值2 2所以函数 f x的递增区间是,3 与 1,递减区间是3 ,11 2 222f x x32 x22xc,x 1,2,当 x3 时, f x27 c 为极大值,而 f 2 2 c,就 f 2 2c 为最大值；要使
13、 f x c2x 1, 2恒成立,只需 c2 f 2 2c,解得 c 1 或 c 2 题型六：利用导数争论方程的根1已知平面对量a =3 , 1. 1,3. b = 221假设存在不同时为零的实数试求函数关系式k=ft ；k 和 t ,使x=a+t2 3b,y=-ka+tb,xy,2 据 1 的结论,争论关于t 的方程 ftk=0 的解的情形 . 与直线 y=k 的交点个解： 1 xy,x y=0 即a+t2-3 b -k a +t b =0. 整理后得 -k2 a +t-kt2-3 a b + t2-3 2 b =0 a b=0,2 a =4,2 b =1,上式化为 -4k+tt2-3=01
14、tt2-3 ,即 k=4112 争论方程4tt2-3-k=0的解的情形,可以看作曲线ft= 4tt2-3数. 于是 f t= 33t+1t-1. t 、ft的变化情形如下表：1,+ 4t2-1= 4令 f t=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时, f t - , -1 -1 -1,1 1 f t + 0 - 0 + Ft 极大值微小值1当 t= 1 时, ft有极大值, ft极大值 =2. 第 6 页 共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1当 t=1 时, ft有微小值, ft微小值 = 21
15、函数 ft=4tt2-3的图象如图1321 所示,可观看出：1 11 当 k 2 或 k 2 时, 方程 ftk=0 有且只有一解；1 12 当 k= 2 或 k= 2 时, 方程 ftk=0 有两解；1 13 当2k2 时, 方程 ftk=0 有三解 . 题型七：导数与不等式的综合1设a0 函数fxx3ax在,1上是单调函数 . 1求实数a的取值范畴；2设 x 1,f x 1,且 f f x 0 x 0,求证：f x 0 x 0 . 2 2解：1y f x 3 x a , 假设 f x 在 ,1 上是单调递减函数,就须 y 0 , 即 a 3 x ,这样的实数 a 不存在 . 故 f x 在
16、 ,1 上不行能是单调递减函数 . 假设 f x 在 ,1 上是单调递增函数,就 a 3x ,22由于 x ,1 , 故 3 x 3 . 从而 0a 3. 2 方 法 1 、 可 知 f x 在 ,1 上 只 能 为 单 调 增 函 数 . 假 设 1 x 0 f x 0 , 就f x 0 f f x 0 x 0 冲突 , 假设 1f x 0 x 0 , 就 f f x 0 f x 0 , 即 x 0 f x 0 冲突,故只有 f x 0 x 0 成立 . 3 3方 法 2 ： 设 f x 0 u , 就 f u x 0,x 0 ax 0 u , u au x 0 , 两 式 相 减 得 x
17、0 3 u 3 a x 0 u u x 0 x 0 u x 0 2 x 0 u u 2 1 a 0 , x 01,u 1,x 0 2 x 0 u u 2 ,3 又 0 a 3,x 0 2 x 0 u u 2 1 a 0第 7 页 共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2已知a为实数,函数f x 2 x3xa21假设函数f x 的图象上有与x 轴平行的切线,求a 的取值范畴3 22,）2假设f 10,求函数f x 的单调区间证明对任意的x 1、x 2 1,0,不等式|f x 1f x2 |5恒成立16解：f
18、x 3 xax23x3a,f 3x22ax3222函数f x 的图象有与x 轴平行的切线,f 0有实数解4a24330,a29,所以a的取值范畴是（,32222f 10,32a30,a9,f 3x29x33x1x124222由f 0,x1或x1；由f 0, 1x12227f x 的单调递增区间是, 1,1,；单调减区间为 1,122易知f x 的最大值为f 125,f x 的微小值为f149,又f082168f x 在 1 0, 上的最大值M27,最小值m49816对任意x 1,x 2 1,0,恒有|f x 1f x 2 |Mm2749581616题型八：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷；
19、它下部的外形是高为 1m的正六棱柱,上部的外形是侧棱长为 3m的正六棱锥如右图所示 ；试问当帐篷的顶点 O究竟面中心 o 的距离为多少时,帐篷的体积最大？解：设 OO1为x m,就 1 x 4第 8 页 共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由题设可得正六棱锥底面边长为：32x1 282x2 x,单位：m3 3 3 2故底面正六边形的面积为：64 8 2 x x 2 2= 2 8 2 x x ,单位：m 2V（x）3 3 8 2 x x 2 1 x 1 1 3 16 12 x x 3 3帐篷的体积为：2 3
20、 2单位：m 3 2V（x） 12 3 x 求导得 2；令 V（x）0,解得 x 2不合题意,舍去 ,x 2,当 1 x 2 时,V（x）0,V（x）为增函数；当 2 x 4 时,V（x）0,V（x）为减函数；当 x 2 时,V（x）最大；答：当 OO1为 2m时,帐篷的体积最大,最大体积为 16 3 m ；32统计说明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y 升关于行驶速度 x 千米 /1 3 3y x x 80 x 120.小时的函数解析式可以表示为：128000 80已知甲、乙两地相距 100 千米；I 当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升？II
21、 当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：I 当x40时,汽车从甲地到乙地行驶了1002.5小时,40140334082.517.5升；要耗没12800080100 II 当速度为x千米 / 小时时,汽车从甲地到乙地行驶了x小时,设耗油量为h x 升,依题意得h x 1x33x8.1001x2800150x120,12800080x1280x4h x x800x38030x120.640x2640x2第 9 页 共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 令h x 0,得x80.当
22、x 0,80 时,h x 0, h x 是减函数；当 x 80,120 时,h x 0, h x 是增函数；当 x 80 时,h x 取到微小值 h 80 11.25.由于 h x 在 0,120 上只有一个极值,所以它是最小值；答：当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升；当汽车以 80千米 / 小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升；题型九：导数与向量的结合3 1 1 3a , b ,.1设平面对量 2 2 2 2 假设存在不同时为零的两个实数 s、t 及实数 k,使x a t 2k b , y s a t b , 且 x
23、y,1求函数关系式 S f t ；2假设函数 S f t 在 1,上是单调函数,求 k 的取值范畴；3 1 1 3解：1a 2 ,2 , b 2 ,2 . a b 1,a b 0又 x y x . y 0,得a（t 2k b）（sa tb）0,即 sa 2（t t 2k b） - （2t st 2sk a b 0；s（t 2k）t 0,故 s（ ）f t t 3kt；22f（t）3 t k 且 f（t）在 1,上是单调函数,就在 ,1 上有 f t 0 或 f（t）02 2 2由 f t 0 3 t k 0 k 3 t k 3 t min k 3；2 2由 f t 0 3 t k 0 k 3 t；由于在 t ,1 上 3t 2是增函数,所以不存在 k,使 k 3t 2在 ,1 上恒成立；故 k 的取值范围是 k 3；第 10 页 共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页