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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列典型例题分析【题型 1 】等差数列与等比数列的联系an例 1 （ 2021 陕西文 16） 已知 a n 是公差不为零的等差数列， a1 1，且 a1， a3， a9 成等比数列. （） 求数列 a n 的通项 ; （） 求数列 2 的前 n 项和 Sn.解：（）由题设知公差 d 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 a1 1， a1， a3， a9 成等比数列得12 d1 18d ，12d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 d 1， d 0（舍去），故a n 的通
2、项an 1+（ n 1） 1 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 由（）知公式得a m =2n，由等比数列前n项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S =2+22+23+2n= 212n =2n+1-2.m12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结与拓展： 数列an是等差数列， 就数列 a an 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等比数列，公比为a d ，其中 a 是常数， d 是an的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公差。（ a0 且 a 1） .1可编辑资料 -
3、- - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【题型 2】与“前 n项和 Sn与通项 an ”、常用求通项公式的结合例 2已知数列 a n 的前三项与数列 b n 的前可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1三项对应相同，且a 2a 22a 2n1a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23n8n
4、对任意的 nN* 都成立，数列 bn 1 bn 是等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结差数列求数列 a n 与b n 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 ： a1 2a2 22a 2n 1a 8nn N* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2当 n2 时， a1 2a2 21n N* a3 2n2an18n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn4 1得 2n 1a 8，求得 a 24 n，在中令 n 1，可得 a1 8 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n
5、a 24 nn N* 由题意知b1 8， b2 4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b3 2，b2 b1 4， b3 b2 2，数列 b n1 bn 的公差为 2 4 2，bn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 1 bn 4 n 1 2 2n 6，法一 （ 迭代法）bn b1 b 2 b1 b 3 b2 b n bn 1
6、8 4 2 2n 8 n2 7n14n N* 法二 （ 累加法）即 bn bn12n 8， bn1 bn2 2n 10，b3 b2 2， b2 b1 4， b1 8，相加得 bn 8 4 2 2n 8n 1 4 2n 8 8 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -n2 7n14n N* 小结与拓展： 1）在数列 a n 中，前 n 项和 S
7、n与通项 an 的关系为：a1S1n1an. 是重要考点。 2）韦达定理应SnSn 1n2,nN 引起重视。 3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。【题型 3 】中项公式与最值 （数列具有函数的性质）例 3（ 2021 汕头一模） 在等比数列 an中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n15a 0 nN），公比 q0,1，且 a a+ 2a a+a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结352a8 25， a3 与 as 的等比中项为2。（ 1）求数列 an的通项公式。 （ 2）设bn log 2 a n，数列 bn的前 n 项和为 Sn 当 S1S2Sn
8、 最大时，求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 的值。12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）由于a1a5 + 2a3a5 +a2a8 25，所以，a532+ 2a3a5 + a2 25又 an o，a3a55又 a3 与 a54可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的等比中项为2，所以， a3a5 4
9、而 q（ 0,1 ），所以， a3 a5，所以， a34， a5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1， q1 ， a1 16，所以，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an16n 1125 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）bn log 2 an 5 n，所以，bn 1 bn 1，所以，b n 是以4 为首项， 1 为公差的等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n列。所以， Sn92n , Sn9nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，当 n 8 时，Sn
10、 0，当n 9 时，nSn 0，n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 9 时，Sn 0，n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n 8 或 9 时， S1S2Sn 最大。12n小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值。 2）等差中项与等比中项。二、数列的前n 项和 1.前 n 项和公式 Sn 的定义： Sn=a1+a2+an。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word
11、精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2.数列求和的方法（1）（ 1）公式法： 1）等差数列求和公式。 2）等比数列求和公式。 3）可转化为等差、等比数列的数列。 4）常用公式 :1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kn123k 1nnn21 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n22221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 2123k 1nnn612n1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123n333k 3k13nnn212。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
12、师归纳总结n2 k113k 15.2n- 1n 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）分组求和法： 把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。（ 3）倒序相加法： 假如一个数列 a n ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常 数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的。（ 4）裂项相消法： 即把每一项都拆成正负两项，6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 21 页
13、- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -使其正负抵消，只余有限几项，可求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结适用于c其中 an 是各项不为0的等差数列，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an an 1c为常数。部分无理数列、含阶乘的数列等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： 1）1和anan 11anan 1（其中an等差）可裂项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11
14、为： 11 。 2）11 aa 。（根式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aadaan 1ndaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1nn 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）常见裂项公式 ：111（ 1） n n1nn1 。1111（ 2） 。n nk knnk1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） nn1n12n n1 n1n2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.典型例题分析【题型 1 】公式法例 1等比数列 an 的前项和S 2 p，就aaa
15、a.2222123n7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1）当n=1 时， a12 - p 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）当 n2 时， a nSn - Sn -12 n- p - 2 n -1- p2 n -1 。
16、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因 为 数 列 an 为等 比 数列 ，所 以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a12 - p21-11p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而等比数列 an等比数列。为首项为1，公比为2 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an故等比数列比数列。2为首项为 1，公比为 q 24 的等可编辑资料 - - - 欢迎下
17、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaa222123211 -an1 -4 n 41 4 n3- 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结与拓展： 1）等差数列求和公式。2）等比及数列求和公式。 3）可转化为等差、等比数列的数列。 4）常用公式 :（见学问点部分）。5）等比数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n如数列 a 为等比数列，就数列2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1也为等比数列， 首项分别为a na 2 、1 ，1a1可编辑资料 - - - 欢迎下
18、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公比分别为q 2 、 1 。q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【题型 2 】分组求和法例 2（ 2021 年丰台期末 18）数列 an 中，a11 ，8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且点 an ,an 1 n
19、N 在函数f xx2 的图象上 .（）求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 an的通项公式。 （）在数列 an 中，依次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抽取第 3，4，6，2n 12 ，项，组成新数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn，试求数列 bn 的通项bn 及前 n 项和Sn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（） 点 an ,
20、an 1 在函数f xx2 的图象上， 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1an2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 1an2 ，即数列 an 是以a11 为首项， 2 为公差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的等差数列，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an1 n122n1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）依题意知：ba22n 1212n3n2n 12nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
21、Sbbb=2 i32i3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12n22n 1=i 1i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n2n 1123n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结与拓展： 把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳
22、 - - - - - - - - - - - -【题型 3 】裂项相消法例 3（ 2021 年东城二模19 改编） 已知数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结na的 前n项 和 为Sn，a11 ，Sn 14an1 ， 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bnan12an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）证明数列bn是等比数列。*1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） 数列cn满足 cnlog 2 bn3nN ， 求可编辑资料 - - -
23、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Tnc1c2c2c3c3c4cncn1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：（）由于Sn 14an1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2 时， Sn4an 11 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 得an 14an4 an 1所 以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
24、总结an 12an2an2an1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 bnan 12an，所以 bn2bn 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 a11 ，且 a1a24a11 ，所以 a23a114 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 b1a22a12 故数列bn是首项为2 ，公比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 2 的等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：
25、（ ）由（）可知 b2n ，就c11 （ nN * ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2nnnlogb3n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Tnc1c2c2 c3c3 c4cncn 11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结455667n3 n410可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -11n4
26、n44 n4小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和。它适用于c其中 an 是各项不为0 的等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an a n 1差数列， c 为常数。部分无理数列、含阶乘的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列等。如：1）an1和an 11anan（其中1an等差）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可裂项为：11 11 。 2）1 1 aa 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aadaa
27、n 1ndaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1nn 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）（ 5）错位相减法： 适用于差比数列 （假如 an等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结差， bn等比，那么anbn叫做差比数列）即把每可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一项都乘以bn的公比 q ，向后错一项，再对应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同次项相减，转化为等比数列求和。如：等比数列的前n 项和就是用此法推导的.（
28、 6）累加（乘）法（ 7）并项求和法： 一个数列的前n 项和中， 可11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -两两结合求解，就称之为并项求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如an 1 nfn类型， 可采纳两项合并求。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.典型例题分析【题型 4 】错位相减法可编辑资料 - -
29、- 欢迎下载精品名师归纳总结例 4求数列2 ,4 ,6,222232n, 2n,前 n 项的和 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由题可知 2n 的通项是等差数列2n的通n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项与等比数列 1的通项之积2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2设 Sn21 S462n2 2232 n2462n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n22223242n 1可编辑资
30、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（设制错位）得1n1 S22222 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结位相减）22222324212n2 n 1（错2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n 12n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -Sn4n22
31、 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【题型 5 】并项求和法222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5求S100 1002 99 98 97 2 122222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： S100 100 99 98 97 2 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结100 99 98 97 2 1 5050.【题型 6 】累加（乘）法及其它方法： 归纳、猜想、证明。周期数列的求和等等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6求111111111n个11 之和 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于1111k个1199999k个11 10 k19（找通项及特点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1111111111n个11 101191 102191 103191 10n19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 分 组 求 和 ） 1 1019102103