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1、第6章刚体动力学 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望6.1 力矩力矩 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程一一.力矩力矩力力改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度刚体获得角加速度 力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩力矩取决于力的大小、方力矩取决于力的大小、方向和作用点向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向只有两个指向质点获得加速度质点获得加速度改变质点的运动状态改变质点的运动状态hA(1)(1)力
2、对点的力矩力对点的力矩O .(2)(2)力对定轴力矩的矢量形式力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由力矩的方向由右螺旋法则右螺旋法则确定确定(3)(3)力对任意点的力矩，在力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴投影，等于该力对该轴 的力矩的力矩讨论讨论hA xLOMy例例已知棒长已知棒长 L,质量质量 M，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的桌面转动的桌面转动(如图如图)解解根据力矩根据力矩xdxTT例如例如TT在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算求求 摩擦力对摩擦力对y轴的力矩轴的力矩刚体的转动定律刚体的转动定律作用在刚体上
3、所有的外力对作用在刚体上所有的外力对定轴定轴 z z 轴的力矩的代数和轴的力矩的代数和刚体对刚体对 z z 轴轴的转动惯量的转动惯量(1)M 正比于正比于 ，力矩越大力矩越大，刚体的刚体的 越大越大(2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同二二.刚体对定轴的转动定律刚体对定轴的转动定律实验证明实验证明当当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动为零时，则刚体保持静止或匀速转动当存在当存在 M 时，时，与与 M 成正比，而与成正比，而与J 成反比成反比(3)与牛顿定律比较：与牛顿定律比较：讨论讨论在国际单位中在国际单位中 k=1O理论推证理论推证
4、取一质量元取一质量元切线方向切线方向对固定轴的力矩对固定轴的力矩对所有质元对所有质元合内力矩合内力矩=0合外力矩合外力矩 M刚体的转动惯量刚体的转动惯量 J三三.转动惯量转动惯量定义式定义式质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布计算转动惯量的三个要素计算转动惯量的三个要素:(1)总质量总质量(2)质量分布质量分布(3)转转轴的位置轴的位置(1)J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关例如例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量LzOxdxM(2)J 与质量分布有关与质量分布有关例如例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量
5、例如例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrROLxdxMzLOxdxM四四.平行轴定理及平行轴定理及垂直轴定理垂直轴定理zLCMzz(3)J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关1.平行轴定理平行轴定理:刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离两轴间垂直距离例例 均匀细棒的转动惯量均匀细棒的转动惯量2.(薄板薄板)垂直轴定理垂直轴定理ML 例如例如求对圆盘的一条直径的转动惯量求对圆盘的一条直径的转动惯量已知已知 yx z 圆盘圆盘 R C mx,y轴在薄板内；轴在薄板内；z 轴垂直轴垂直薄板。薄板。zx
6、y(1)飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2)如以重量如以重量P=98 N的物体挂在的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速绳端，试计算飞轮的角加速解解 (1)(2)两者区别两者区别五五.转动定律的应用举例转动定律的应用举例例例求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦，飞轮与转轴间的摩擦不计，不计，(见图见图)一根长为一根长为 l，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初
7、始时它在水平位置求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 OlmCx解解 取一质元取一质元重力对整个棒的合力矩等于重力全部重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩集中于质心所产生的力矩dm例例圆盘以圆盘以 0 0 在桌面上转动在桌面上转动,受摩擦力而静止受摩擦力而静止解解例例求求 到圆盘静止所需到圆盘静止所需时间时间取一质元取一质元由转动定律由转动定律摩擦力矩摩擦力矩R例例 一个刚体系统，如图所示，一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量已知，转动惯量，现有一水平力作用于距轴为，现有一水平力作用于距轴为 l 处处求求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。轴对棒的作用力（也称轴反力）。解
8、解 设轴对棒的作用力为设轴对棒的作用力为 N由质心运由质心运动定理动定理打击中心打击中心质心运动定理与转动定律联用质心运动定理与转动定律联用质点系质点系由转动定律由转动定律6.2 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理一一.转动动能转动动能z O设系统包括有设系统包括有 N 个质量元个质量元,其动能为其动能为各质量元速度不同，各质量元速度不同，但角速度相同但角速度相同刚体的总动能刚体的总动能P绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半量与其角速度平方乘积的一半结论结论取取二二.力矩的功力矩的功O 功的定义功
9、的定义力矩作功的力矩作功的微分形式微分形式对一有限过程对一有限过程若若 M=C(积分形式积分形式 ）力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应.P三三.转动动能定理转动动能定理 力矩功的效果力矩功的效果对于一有限过程对于一有限过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的轴转动刚体的动能定理动能定理(2)力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。讨论讨论(1)合力矩的功合力
10、矩的功 刚体的机械能刚体的机械能刚体重力势能刚体重力势能刚体的刚体的机械能机械能质心的势能质心的势能刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立例例 一根长为一根长为 l，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置解解由动能定理由动能定理求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCx图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体图示装置可用来测量
11、物体的转动惯量。待测物体A装在转装在转动架上，转轴动架上，转轴Z上装一半径为上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。的重物。重物下落时，由绳带动被测物体重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕绕 Z 轴转动。今测得轴转动。今测得重物由静止下落一段距离重物由静止下落一段距离 h，所用时间为，所用时间为t，例例解解 分析（机械能）：分析（机械能）：求求 物体物体A对对Z 轴的转动惯量轴的转动惯量Jz。设绳子。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计
12、。处的摩擦力矩忽略不计。若滑轮质量不可忽略，怎样？若滑轮质量不可忽略，怎样？机械能守恒机械能守恒一一.质点动量矩质点动量矩(角动量角动量)定理和动量矩守恒定律定理和动量矩守恒定律1.质点的动量矩质点的动量矩(对对O点点)其大小其大小(1)质点的动量矩与质点的动量及质点的动量矩与质点的动量及位矢位矢(取决于固定点的选取决于固定点的选择择)有关有关特例：特例：质点作圆周运动质点作圆周运动6.3 动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律说明说明O S惯性参照系惯性参照系(2)当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的的动量矩也称为质点对过动量矩
13、也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量垂直于运动平面的轴的动量矩矩(3)质点对某点的动量矩质点对某点的动量矩,在通过在通过该点的任意轴上的投影就等于该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩质点对该轴的动量矩例例一质点一质点m，速度为，速度为v，如图，如图所示，所示，A、B、C 分别为三分别为三个参考点个参考点,此时此时m 相对三个相对三个点的距离分别为点的距离分别为d1、d2、d3求求 此时刻质点对三个参考点的动量矩此时刻质点对三个参考点的动量矩md1d2 d3ABC解解O S(质点动量矩定理的积分形式质点动量矩定理的积分形式)(质点动量矩定理的微分形式质点动量矩定理的微分形式)质点所
14、受合力矩的冲量质点所受合力矩的冲量矩矩等于质点的动量等于质点的动量矩矩的增量的增量2.质点的动量矩定理质点的动量矩定理说明说明(1)冲量矩是质点动量矩变化的原因冲量矩是质点动量矩变化的原因(2)质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果3.质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律(2)(2)通常对有心力：通常对有心力：例如例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律(1)动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体
15、系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用讨论讨论m 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积过过O点点,M=0,动量矩守恒动量矩守恒当飞船静止于空间距行星中心当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度时，以速度v 0发射一发射一 求求 角及着陆滑行的初速度多大？角及着陆滑行的初速度多大？解解 引力场（有心力）引力场（有心力）质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒系统的机械能守恒系统的机械能守恒例例 发射一宇宙飞船去考察一发射一宇宙飞船去考察一 质量为质量为 M、半径为、半径为 R 的行星，的行星
16、，质量为质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面二二.质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律质点系对参考点质点系对参考点O 的动量矩就是的动量矩就是质点系所有质点对同一参考质点系所有质点对同一参考点的动量矩的矢量和点的动量矩的矢量和记质点系质心记质点系质心 C 的位置矢量为的位置矢量为，速度为，速度为。对第。对第 i 个质个质，则，则点，设其相对于质心的位置矢量为点，设其相对于质心的位置矢量为，速度为，速度为1.质点系的动量矩质点系的动量矩(1)(1)质点系的动量矩质点系的动量矩(角动量角动量)可分为两项可分为两项第一项：第
17、一项：只包含系统的总质量只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度质心的位矢和质心的速度 轨道角动量轨道角动量第二项：第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和自旋角动量自旋角动量说明说明(2)质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心 处的一个质点对于参考点的角动量。处的一个质点对于参考点的角动量。它反映了整个质点它反映了整个质点 系绕参考点的旋转运动系绕参考点的旋转运动 (3)质点系的自旋角动量是以质心为参考点的角动量。质点系的自旋角动量是以质心为参考点的角动量。与与质心运动无关。它只代表系
18、统的内禀性质质心运动无关。它只代表系统的内禀性质 2.质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理微分形式微分形式积分形式积分形式质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩说明说明3.质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律对质点对质点系系三三.刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律1.刚体定轴转动的动量矩刚体定轴转动的动量矩刚体上任一质点对刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩轴的动量矩都具有相同的方向都具有相同的方向 O(所有质元的动量矩
19、之和所有质元的动量矩之和)如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴动则沿此轴动量矩守恒量矩守恒,如如2.刚体定轴转动的动量矩定理刚体定轴转动的动量矩定理由转动定律由转动定律（动量矩定理（动量矩定理积分形式）积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量(1)(1)变形体绕某轴转动时，若其上各点变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元质元)转动的角速度转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩相同，则变形体对该轴的动量矩说明说明3.刚体定轴转动的动量矩守恒定律刚体定轴转动的动量矩守恒定律对
20、对定轴转动刚体定轴转动刚体动量矩定理动量矩定理微分形式微分形式当当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒如：花样滑冰如：花样滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从的增加而减少，据报导有只猫从3232层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有
21、轻微的损伤。为什么会这样呢？有轻微的损伤。为什么会这样呢？一长为一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落下处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度匀角速度转动转动Or 昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，动量矩守恒力矩为零，动量矩守恒例例解解求求 昆虫沿杆爬行的昆虫沿杆爬行的速度速度。使杆以匀角速度转动使杆以匀角速度转动代入得代入得转动定律转动定律其中其中四四.进动进动高速自转的陀螺在高速自转的陀螺在陀螺重力对支点陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动的力矩作用下发生进动陀螺的动量矩近似为陀螺的动量矩近似为动量矩定理动量矩定理当当时时则则只改变方向，只改变方向，不改变大小不改变大小(进动进动)进动角速度进动角速度而且而且所以所以以上只是近似讨论，以上只是近似讨论，只适用高速自转，即只适用高速自转，即动量矩定理动量矩定理