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1、第6章刚体动力学本讲稿第一页，共三十五页6.1 力矩力矩 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程一一.力矩力矩力力改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度刚体获得角加速度 力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩质点获得加速度质点获得加速度改变质点的运动状态改变质点的运动状态hA 力矩力矩本讲稿第二页，共三十五页力矩取决于力的大小、方向和作用点力矩取决于力的大小、方向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向沿转轴的正方向和沿转轴的正方向和负方向负方向（代数量）（代数量）方向由方向由右螺旋法则右螺旋法则确定：从确定：从z轴正端向负端看，若力轴
2、正端向负端看，若力F使物使物体沿逆时针方向转动，则力矩为正方向，否则为负。（图体沿逆时针方向转动，则力矩为正方向，否则为负。（图示为正方向）示为正方向）说明说明本讲稿第三页，共三十五页(1)(1)力对点的力矩（非定轴转动）力对点的力矩（非定轴转动）O .(2)(2)力对定轴力矩的矢量形式力对定轴力矩的矢量形式(3)(3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴的力矩。该力对该轴的力矩。讨论讨论本讲稿第四页，共三十五页xLOMy例例已知棒长已知棒长 L,质量质量 M，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的桌面转动的桌面转动(如图如图)
3、解解根据力矩根据力矩xdx求求 摩擦力对摩擦力对y轴的力矩轴的力矩例例已知已知圆盘半径圆盘半径 R,质量质量 m，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的桌面转动的桌面转动R求求 摩擦力对轴的力矩摩擦力对轴的力矩解解取一质元取一质元摩擦力矩摩擦力矩本讲稿第五页，共三十五页TT例如例如TT在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算本讲稿第六页，共三十五页刚体的转动定律刚体的转动定律作用在刚体上所有的外力对作用在刚体上所有的外力对定轴定轴 z z 轴的力矩的代数和轴的力矩的代数和刚体对刚体对 z z 轴轴的转动惯量的转动惯量(1)M 正比于正比于 ，力矩越大力矩越大，刚体的刚体
4、的 越大越大(2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同二二.刚体对定轴的转动定律刚体对定轴的转动定律实验证明实验证明当当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动为零时，则刚体保持静止或匀速转动当存在当存在 M 时，时，与与 M 成正比，而与成正比，而与J 成反比成反比(3)与牛顿定律比较：与牛顿定律比较：讨论讨论在国际单位中在国际单位中 k=1本讲稿第七页，共三十五页O理论推证理论推证取一质量元取一质量元投影到圆轨迹投影到圆轨迹的切线方向的切线方向对固定轴的力矩对固定轴的力矩对所有质元对所有质元合内力矩合内力矩=0合外力矩合外力矩 M刚体的转动
5、惯量刚体的转动惯量 J本讲稿第八页，共三十五页三三.转动惯量转动惯量定义式定义式质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布计算转动惯量的三个要素计算转动惯量的三个要素:(1)刚体的总质量刚体的总质量(2)刚体质量对轴刚体质量对轴的分布的分布(3)转轴的位置转轴的位置(1)J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关例：例：两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴的转动惯量两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴的转动惯量LzOxdxM本讲稿第九页，共三十五页(2)J 与质量分布有关与质量分布有关例：例：圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量例：例：圆盘绕中心轴旋转的转动惯量圆盘绕中心轴旋转
6、的转动惯量dlOmROmrdrR本讲稿第十页，共三十五页OLxdxMzLOxdxM四四.平行轴定理平行轴定理zLCMzz(3)J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关:刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离两轴间垂直距离本讲稿第十一页，共三十五页例例 均匀细棒的转动惯量均匀细棒的转动惯量ML 计算转动惯量的方法计算转动惯量的方法（1 1）定质量密度）定质量密度一维质量线密度一维质量线密度二维质量面密度二维质量面密度三维质量体密度三维质量体密度（2 2）取质量元）取质量元（3 3）计算）计算转动惯量转动惯量（4 4）代回质量密度）代回质量密
7、度本讲稿第十二页，共三十五页几种常用刚体的转动惯量几种常用刚体的转动惯量本讲稿第十三页，共三十五页(1)飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2)如以重量如以重量P=98 N的物体挂在绳端，的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速试计算飞轮的角加速解解 (1)(2)两者区别两者区别五五.转动定律的应用举例转动定律的应用举例例例求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的的拉力，飞轮的转动惯量拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计。，飞轮与转轴间的摩擦不计。(如图所示如图所示)本讲稿第十四页，共三十五页本讲稿第十五页
8、，共三十五页一根长为一根长为 l，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转在竖直平面内转动，初始时它在水平位置动，初始时它在水平位置求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 OlmCx解解 取一质元取一质元重力对整个棒的合力矩等于重力全部重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩集中于质心所产生的力矩dm例例s本讲稿第十六页，共三十五页6.2 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理一一.转动动能转动动能z O设系统包括有设系统包括有 N 个质量元个质量元,其动能为其动能为各质量元速度不同，各质量元速度不同，但角速度相同但
9、角速度相同刚体的总动能刚体的总动能P绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半其角速度平方乘积的一半结论结论取取本讲稿第十七页，共三十五页二二.力矩的功力矩的功O 功的定义功的定义力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应.P即：力的元功，等于该力对转轴的力矩与刚体元角位移的乘积，称为即：力的元功，等于该力对转轴的力矩与刚体元角位移的乘积，称为力力矩的元功矩的元功。本讲稿第十八页，共三十五页对一有限过程对一有限过程若若 M=C(2)力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。内力矩作
10、功之和为零。讨论讨论(1)合力矩的功合力矩的功本讲稿第十九页，共三十五页三三.转动动能定理转动动能定理 力矩功的效果力矩功的效果刚体也是一个质点系，根据质点系动能定理：刚体也是一个质点系，根据质点系动能定理：而刚体在转动过程中，组成刚体的各个质点间不发生相对位移，所而刚体在转动过程中，组成刚体的各个质点间不发生相对位移，所以刚体的内力不做功：以刚体的内力不做功：刚体转动动能的增量，仅由刚体转动动能的增量，仅由外力外力所做的功决定。所做的功决定。本讲稿第二十页，共三十五页对于一有限过程对于一有限过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该
11、过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。即绕定轴转动刚体的作用在刚体上所有外力所作功的总和。即绕定轴转动刚体的动能定理动能定理。本讲稿第二十一页，共三十五页 刚体的机械能刚体的机械能刚体重力势能刚体重力势能刚体的机刚体的机械能械能质心的势能质心的势能刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立本讲稿第二十二页，共三十五页例例 一根长为一根长为 l，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在在 竖直平面内转动，初始时它在水平位置竖直平面内转动，初始时它在水平位置解解由动能定理由动能定
12、理求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCx本讲稿第二十三页，共三十五页例例 质量为质量为 m1、m2 的两物体用细绳连接起来，放在固定的两物体用细绳连接起来，放在固定的光滑斜面上，细绳跨过半径为的光滑斜面上，细绳跨过半径为 R，转动惯量为，转动惯量为 J 的的定滑轮。斜面的倾角为定滑轮。斜面的倾角为 a a。解解求求 物体物体 m1 从静止开始下落从静止开始下落 h 高度时的速度高度时的速度受力分析，列方程受力分析，列方程hm1m2gRJam2a am1gT1T1T2T2Nm1（1）m2（2）滑轮滑轮（3）（4）常数常
13、数由由本讲稿第二十四页，共三十五页一一.质点动量矩质点动量矩(角动量角动量)定理和动量矩守恒定律定理和动量矩守恒定律1.质点对轴的动量矩质点对轴的动量矩6.3 动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律x yzO 方向由右手螺旋定则确定。方向由右手螺旋定则确定。（质点在（质点在xoy平面内运动）平面内运动）平面内任一点的动量矩也称为质点对通过该点并垂直于运动平面的平面内任一点的动量矩也称为质点对通过该点并垂直于运动平面的轴的动量矩轴的动量矩。方向由右手螺旋定则确定。方向由右手螺旋定则确定。本讲稿第二十五页，共三十五页(1)质点的动量矩与质点的动量及质点的动量矩与质点的动量及位矢位矢(取决于固
14、定点的选择取决于固定点的选择)有关有关说明说明(2)质点对某点的动量矩质点对某点的动量矩,在通过该点在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩轴的动量矩例例一质点一质点m，速度为，速度为v，如图所示，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点分别为三个参考点,此此时时m 相对三个点的距离分别为相对三个点的距离分别为d1、d2、d3求求 此时刻质点对三个参考点的动量矩此时刻质点对三个参考点的动量矩md1d2 d3ABC解解OS本讲稿第二十六页，共三十五页(质点动量矩定理的积分形式质点动量矩定理的积分形式)(质点动量矩定理的微分形式质点动量矩定理的微分形式)质点所
15、受合力矩的冲量质点所受合力矩的冲量矩矩等于质点的动量等于质点的动量矩矩的增量。的增量。2.质点的动量矩定理质点的动量矩定理冲量矩本讲稿第二十七页，共三十五页说明说明(1)冲量矩是质点动量矩变化的原因冲量矩是质点动量矩变化的原因(2)质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果3.质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律当合外力矩为零时当合外力矩为零时动量矩守恒定律动量矩守恒定律类比类比时时本讲稿第二十八页，共三十五页(2)(2)通常对有心力：通常对有心力：例如例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律(1)动量
16、矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用讨论讨论m 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积过过O点点,M=0,动量矩守恒动量矩守恒本讲稿第二十九页，共三十五页二二.质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩本讲稿第三十页，共三十五页三三.刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律刚体定轴转动的动量
17、矩定理和动量矩守恒定律1.刚体定轴转动的动量矩刚体定轴转动的动量矩刚体上任一质点对刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩都具轴的动量矩都具有相同的方向有相同的方向 O（所有质元的动量矩之和）（所有质元的动量矩之和）本讲稿第三十一页，共三十五页2.刚体定轴转动的动量矩定理刚体定轴转动的动量矩定理由转动定律由转动定律（动量矩定理动量矩定理积分形式积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量(1)(1)变形体绕定轴转动时，若其上各点变形体绕定轴转动时，若其上各点(质元质元)转动的角速度相同，转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩则变形体对
18、该轴的动量矩说明说明3.刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律对对定轴转动刚体定轴转动刚体动量矩定理动量矩定理微分形式微分形式本讲稿第三十二页，共三十五页当当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒如：花样滑冰如：花样滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等。芭蕾舞等。本讲稿第三十三页，共三十五页例例 一长为一长为 L，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 自由转动。自由转动。一质量为一质量为 m ，速度为，速度为 的子弹射入棒内距支点为的子弹射入棒内距支点为 a 处，处，使棒偏转使棒偏转 30。解解求求 子
19、弹的初速率子弹的初速率LaOmm过程过程1：子弹射入棒。子弹、棒系统：子弹射入棒。子弹、棒系统受力矩为零受力矩为零过程过程2：棒从：棒从 1 2。子弹、棒、地球。子弹、棒、地球 系统系统12机械能守恒机械能守恒选选 O 点为势能零点点为势能零点（1）（2）本讲稿第三十四页，共三十五页 求求 相对地面，人和转台各自旋转的角度。相对地面，人和转台各自旋转的角度。解解 设设例例 质量为质量为 M、半径为、半径为 R 的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。设阻力忽略不计。质量为设阻力忽略不计。质量为 m 的人站在台边缘，人沿台边缘奔跑的人站在台边缘，人沿台边缘奔跑一周。一周。O人和转台组成的系统无外人和转台组成的系统无外力矩，动量矩守恒力矩，动量矩守恒台台人人（相对地面）（相对地面）（人相对地面）（人相对地面）（人相对台）（人相对台）（正方向）人跑一周时间人跑一周时间人对地人对地台对地台对地本讲稿第三十五页，共三十五页