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1、第1章 刚体转动动力学基础第1页，本讲稿共57页2022/10/1621.1 1.1 1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法l 刚体刚体 如果有某些不为零的力或力系作用在一个系统的某些如果有某些不为零的力或力系作用在一个系统的某些如果有某些不为零的力或力系作用在一个系统的某些如果有某些不为零的力或力系作用在一个系统的某些质点或所有质点上，并且对于任意时刻，系统两点之间的质点或所有质点上，并且对于任意时刻，系统两点之间的质点或所有质点上，并且对于任意时刻，系统两点之间的质点或所有质点上，并且对于任意时刻，系统两点之间的距离始终保持，则该系统称为刚体。距离始终保持
2、，则该系统称为刚体。距离始终保持，则该系统称为刚体。距离始终保持，则该系统称为刚体。l 刚体坐标系刚体坐标系 固结在刚体上的坐标系。刚体系相对参考坐标系固结在刚体上的坐标系。刚体系相对参考坐标系固结在刚体上的坐标系。刚体系相对参考坐标系固结在刚体上的坐标系。刚体系相对参考坐标系的位置和运动，可以描述刚体相对参考坐标系的位置的位置和运动，可以描述刚体相对参考坐标系的位置的位置和运动，可以描述刚体相对参考坐标系的位置的位置和运动，可以描述刚体相对参考坐标系的位置和运动。和运动。和运动。和运动。第2页，本讲稿共57页2022/10/1631.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速
3、度描述方法l 自由刚体的运动自由度自由刚体的运动自由度 三个平动自由度和三个转动自由度（即六自由度）。三个平动自由度和三个转动自由度（即六自由度）。三个平动自由度和三个转动自由度（即六自由度）。三个平动自由度和三个转动自由度（即六自由度）。第3页，本讲稿共57页2022/10/164l l自由刚体位置和运动的描述：自由刚体位置和运动的描述：自由刚体位置和运动的描述：自由刚体位置和运动的描述：用刚体上三个非共线的用刚体上三个非共线的用刚体上三个非共线的用刚体上三个非共线的点的位置和运动来描述。点的位置和运动来描述。点的位置和运动来描述。点的位置和运动来描述。l l 定轴转动刚体：定轴转动刚体：定
4、轴转动刚体：定轴转动刚体：刚体上的两点相对于参考坐标系固定，失刚体上的两点相对于参考坐标系固定，失刚体上的两点相对于参考坐标系固定，失刚体上的两点相对于参考坐标系固定，失去平动的自由，只能绕该轴转动。去平动的自由，只能绕该轴转动。去平动的自由，只能绕该轴转动。去平动的自由，只能绕该轴转动。l l 定点转动刚体定点转动刚体定点转动刚体定点转动刚体：刚体上的一点相对于参考坐标系固定，刚体上的一点相对于参考坐标系固定，刚体上的一点相对于参考坐标系固定，刚体上的一点相对于参考坐标系固定，失去平动的自由，只能绕该点转动。失去平动的自由，只能绕该点转动。失去平动的自由，只能绕该点转动。失去平动的自由，只能
5、绕该点转动。1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法第4页，本讲稿共57页2022/10/1651.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法第5页，本讲稿共57页2022/10/166一一一一 质点的位置向量及其表示方法质点的位置向量及其表示方法质点的位置向量及其表示方法质点的位置向量及其表示方法1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法 广义坐标广义坐标 列向量表示列向量表示 方向余弦方向余弦 一个空间自由质点相对参考系的位置，可以用三个独立参数来表示，一个空间自由质点相对参考系的位置，可以用三个独立参
6、数来表示，一个空间自由质点相对参考系的位置，可以用三个独立参数来表示，一个空间自由质点相对参考系的位置，可以用三个独立参数来表示，也可以用多于三个的不完全独立的参数来表示，后者必须满足约束条件。也可以用多于三个的不完全独立的参数来表示，后者必须满足约束条件。也可以用多于三个的不完全独立的参数来表示，后者必须满足约束条件。也可以用多于三个的不完全独立的参数来表示，后者必须满足约束条件。第6页，本讲稿共57页2022/10/167二二二二 定点转动刚体角位置的广义坐标表示定点转动刚体角位置的广义坐标表示定点转动刚体角位置的广义坐标表示定点转动刚体角位置的广义坐标表示1.1 1.1 刚体的角位置与角
7、速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法 三个非共线向三个非共线向三个非共线向三个非共线向量的量的量的量的广义坐标广义坐标 自由刚体六个参自由刚体六个参自由刚体六个参自由刚体六个参数独立数独立数独立数独立 定点刚体三个参定点刚体三个参定点刚体三个参定点刚体三个参数独立数独立数独立数独立第7页，本讲稿共57页2022/10/1681.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法三三三三 定点转动刚体角位置的方向余弦描述定点转动刚体角位置的方向余弦描述定点转动刚体角位置的方向余弦描述定点转动刚体角位置的方向余弦描述采用三个正交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：采用三个正
8、交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：采用三个正交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：采用三个正交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个3333的矩的矩的矩的矩阵），可以确定刚体的角位置。阵），可以确定刚体的角位置。阵），可以确定刚体的角位置。阵），可以确定刚体的角位置。第8页，本讲稿共57页2022/10/169三三三三 定点转动刚体角位置的方向余弦描述定点转动刚体角位置的方向余弦描述定点转动刚体角位置的方向余弦描述定点转动刚体角
9、位置的方向余弦描述对于刚体的一个角位置，有唯一的一个方向余弦矩阵，对于刚体的一个角位置，有唯一的一个方向余弦矩阵，对于刚体的一个角位置，有唯一的一个方向余弦矩阵，对于刚体的一个角位置，有唯一的一个方向余弦矩阵，反之亦然。反之亦然。反之亦然。反之亦然。1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法第9页，本讲稿共57页2022/10/1610l方向余弦矩阵的应用：坐标变换及基本公式方向余弦矩阵的应用：坐标变换及基本公式讨论：讨论：第10页，本讲稿共57页2022/10/1611讨论：讨论：l方向余弦矩阵的性质方向余弦矩阵的性质（1 1 1 1）两个方向余弦矩阵互为转置矩
10、阵）两个方向余弦矩阵互为转置矩阵）两个方向余弦矩阵互为转置矩阵）两个方向余弦矩阵互为转置矩阵（2 2 2 2）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵（3 3 3 3）方向余弦矩阵是正交矩阵）方向余弦矩阵是正交矩阵）方向余弦矩阵是正交矩阵）方向余弦矩阵是正交矩阵 约束方程约束方程约束方程约束方程第11页，本讲稿共57页2022/10/1612l l方向余弦矩阵的约束方程方向余弦矩阵的约束方程方向余弦矩阵的约束方程方向余弦矩阵的约束方程讨论：讨论：第12页，本讲稿共57页2022/10/1613四四四四 定点转动刚体角位置的欧
11、拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法选用选用选用选用三个独立的角度三个独立的角度三个独立的角度三个独立的角度来表示来表示来表示来表示定点转动刚体的方位定点转动刚体的方位定点转动刚体的方位定点转动刚体的方位。依次三次转动，第三次转动的转动轴选取不同，产生依次三次转动，第三次转动的转动轴选取不同，产生依次三次转动，第三次转动的转动轴选取不同，产生依次三次转动，第三次转动的转动轴选取不同，产生两类两类两类两类欧拉角欧拉角欧拉角欧拉角。第13页，本讲稿共57页2022/
12、10/1614l l第第第第类欧拉角类欧拉角类欧拉角类欧拉角 (转动顺序为：转动顺序为：转动顺序为：转动顺序为：Z-X-ZZ-X-Z)四四四四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述第14页，本讲稿共57页2022/10/1615l l第第第第类欧拉角的线性化类欧拉角的线性化类欧拉角的线性化类欧拉角的线性化四四四四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述 对于无限小角度转动，第对于无限小角度转动，第对于无限小角度转动，第对于无限小角
13、度转动，第类欧拉角的三个参类欧拉角的三个参类欧拉角的三个参类欧拉角的三个参数不再独立。数不再独立。数不再独立。数不再独立。第15页，本讲稿共57页2022/10/1616l l第第第第类欧拉角（转动顺序为：类欧拉角（转动顺序为：类欧拉角（转动顺序为：类欧拉角（转动顺序为：X-Y-ZX-Y-Z）四四四四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述第16页，本讲稿共57页2022/10/1617l l第第第第类欧拉角的线性化类欧拉角的线性化类欧拉角的线性化类欧拉角的线性化四四四四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚
14、体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述定点转动刚体角位置的欧拉角描述两类欧拉角的差别在于：在第三次转动时，是用第一两类欧拉角的差别在于：在第三次转动时，是用第一两类欧拉角的差别在于：在第三次转动时，是用第一两类欧拉角的差别在于：在第三次转动时，是用第一次转动用过的轴还是用前两次都未用过的轴。次转动用过的轴还是用前两次都未用过的轴。次转动用过的轴还是用前两次都未用过的轴。次转动用过的轴还是用前两次都未用过的轴。对于无限小角度对于无限小角度对于无限小角度对于无限小角度转动，第转动，第转动，第转动，第类类类类欧拉角的三个参欧拉角的三个参欧拉角的三个参欧拉角的三个参数独立。数独立。数独立。
15、数独立。第17页，本讲稿共57页2022/10/1618五五五五 定点转动刚体角速度的欧拉角描述定点转动刚体角速度的欧拉角描述定点转动刚体角速度的欧拉角描述定点转动刚体角速度的欧拉角描述1.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法第18页，本讲稿共57页2022/10/1619为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体转为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体转为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体转为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体转动角速度在中间坐标系中的投影：动角速度在中间坐标系中的投影：动角速度在中间坐标系中的投影：动角
16、速度在中间坐标系中的投影：第19页，本讲稿共57页2022/10/16201.1 1.1 刚体的角位置与角速度描述方法刚体的角位置与角速度描述方法五五五五 定点转动刚体角速度的欧拉角描述定点转动刚体角速度的欧拉角描述定点转动刚体角速度的欧拉角描述定点转动刚体角速度的欧拉角描述第20页，本讲稿共57页2022/10/16211.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系常用参考坐标系常用参考坐标系一一一一 惯性坐标系惯性坐标系惯性坐标系惯性坐标系1.1.1.1.日心惯性坐标系日心惯性坐标系日心惯性坐标系日心惯性坐标系2.2.2.2.地心惯性坐标系地心惯性坐标系地心惯性坐标系地心惯性坐标系 日心坐标
17、系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的恒星。日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的恒星。日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的恒星。日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的恒星。地心坐标系的原点设在地球中心处，地心坐标系的原点设在地球中心处，地心坐标系的原点设在地球中心处，地心坐标系的原点设在地球中心处，x x和和和和y y轴位于地球赤道平面轴位于地球赤道平面轴位于地球赤道平面轴位于地球赤道平面并分别指向确定的恒星，并分别指向确定的恒星，并分别指向确定的恒星，并分别指向确定的恒星，z z轴轴轴轴与地球自转轴（地球极轴）重与地球自转轴（地球极轴）重与地球自转轴（地球
18、极轴）重与地球自转轴（地球极轴）重合，并指向北极星。合，并指向北极星。合，并指向北极星。合，并指向北极星。第21页，本讲稿共57页2022/10/16221.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系二二二二 地球坐标系及其旋转角速度地球坐标系及其旋转角速度地球坐标系及其旋转角速度地球坐标系及其旋转角速度坐标系原点设在地球中心坐标系原点设在地球中心坐标系原点设在地球中心坐标系原点设在地球中心,三根轴与地球相固结。三根轴与地球相固结。三根轴与地球相固结。三根轴与地球相固结。第22页，本讲稿共57页2022/10/16231.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系三三三三 地理坐标系地理坐标系地理
19、坐标系地理坐标系1.1.1.1.地固地理坐标系地固地理坐标系地固地理坐标系地固地理坐标系 原点选在地球上任一点，三根原点选在地球上任一点，三根原点选在地球上任一点，三根原点选在地球上任一点，三根轴与地球固结，东北天指向轴与地球固结，东北天指向轴与地球固结，东北天指向轴与地球固结，东北天指向。第23页，本讲稿共57页2022/10/16241.2 1.2 1.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系常用参考坐标系常用参考坐标系2.2.2.2.当地地理坐标系当地地理坐标系当地地理坐标系当地地理坐标系 原点设在沿地球表面运动的物体上，原点设在沿地球表面运动的物体上，原点设在沿地球表面运动的物体上，原
20、点设在沿地球表面运动的物体上，轴与地固地理坐标系的指向相同，轴与地固地理坐标系的指向相同，轴与地固地理坐标系的指向相同，轴与地固地理坐标系的指向相同，不与地球固结。除随地球自转以外，不与地球固结。除随地球自转以外，不与地球固结。除随地球自转以外，不与地球固结。除随地球自转以外，还随物体相对地球运动，但不参与还随物体相对地球运动，但不参与还随物体相对地球运动，但不参与还随物体相对地球运动，但不参与物体俯仰、倾斜等运动。物体俯仰、倾斜等运动。物体俯仰、倾斜等运动。物体俯仰、倾斜等运动。NKVE第24页，本讲稿共57页2022/10/16251.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系2.2.2.2
21、.当地地理坐标系当地地理坐标系当地地理坐标系当地地理坐标系 第25页，本讲稿共57页2022/10/16261.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系四四四四 地平坐标系地平坐标系地平坐标系地平坐标系原点设在运载体质心，原点设在运载体质心，原点设在运载体质心，原点设在运载体质心，y y轴水平并沿载体运动方向轴水平并沿载体运动方向轴水平并沿载体运动方向轴水平并沿载体运动方向,z z轴铅直轴铅直轴铅直轴铅直向上向上向上向上。第26页，本讲稿共57页2022/10/16271.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系五五五五 载体坐标系载体坐标系载体坐标系载体坐标系坐标原点设在载体质心，三个坐标轴
22、与载体相固结。坐标原点设在载体质心，三个坐标轴与载体相固结。坐标原点设在载体质心，三个坐标轴与载体相固结。坐标原点设在载体质心，三个坐标轴与载体相固结。第27页，本讲稿共57页2022/10/16281.2 1.2 常用参考坐标系常用参考坐标系六六六六 陀螺坐标系陀螺坐标系陀螺坐标系陀螺坐标系第28页，本讲稿共57页2022/10/1629哥氏定理描述的是哥氏定理描述的是哥氏定理描述的是哥氏定理描述的是一般的空间自由质点相对于不同参考一般的空间自由质点相对于不同参考一般的空间自由质点相对于不同参考一般的空间自由质点相对于不同参考系的速度和加速度。系的速度和加速度。系的速度和加速度。系的速度和加
23、速度。1.3 1.3 刚体定点转动的一般原理刚体定点转动的一般原理一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度两个参考系之间存在相对转动时，质点的速度和加速两个参考系之间存在相对转动时，质点的速度和加速两个参考系之间存在相对转动时，质点的速度和加速两个参考系之间存在相对转动时，质点的速度和加速度与两坐标系相对静止时有所差别。度与两坐标系相对静止时有所差别。度与两坐标系相对静止时有所差别。度与两坐标系相对静止时有所差别。第29页，本讲稿共57页2022/10/1630两个参考系之间相对静止时，质点的速度和加速度没有差别。两个参考系之间相对静止时，质点的速度和加速度没有差别。两个参考系之间相对静
24、止时，质点的速度和加速度没有差别。两个参考系之间相对静止时，质点的速度和加速度没有差别。n系b系一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度第30页，本讲稿共57页2022/10/1631两个参考系之间相对转动时两个参考系之间相对转动时两个参考系之间相对转动时两个参考系之间相对转动时大小变化大小变化大小变化大小变化b系的方位变化系的方位变化系的方位变化系的方位变化一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度第31页，本讲稿共57页2022/10/1632两个参考系之间相对转动时两个参考系之间相对转动时两个参考系之间相对转动时两个参考系之间相对转动时一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加
25、速度第32页，本讲稿共57页2022/10/1633哥氏定理的向量表示哥氏定理的向量表示同一个向量相对两个不同参考坐标系对时间取导数之间的同一个向量相对两个不同参考坐标系对时间取导数之间的同一个向量相对两个不同参考坐标系对时间取导数之间的同一个向量相对两个不同参考坐标系对时间取导数之间的关系。只有在两个参考系之间无相对转动时，二者才相等。关系。只有在两个参考系之间无相对转动时，二者才相等。关系。只有在两个参考系之间无相对转动时，二者才相等。关系。只有在两个参考系之间无相对转动时，二者才相等。有时称左边为绝对导数，右边第一项为相对导数。有时称左边为绝对导数，右边第一项为相对导数。有时称左边为绝对
26、导数，右边第一项为相对导数。有时称左边为绝对导数，右边第一项为相对导数。一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度第33页，本讲稿共57页2022/10/1634由哥氏定理可得到速度合成公式由哥氏定理可得到速度合成公式质点相对于参考系的速度。质点相对于参考系的速度。质点相对于参考系的速度。质点相对于参考系的速度。坐标系相对于参考系的速度坐标系相对于参考系的速度坐标系相对于参考系的速度坐标系相对于参考系的速度质点相对于坐标系的速度质点相对于坐标系的速度质点相对于坐标系的速度质点相对于坐标系的速度附加速度附加速度附加速度附加速度牵连速度牵连速度牵连速度牵连速度一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理
27、与哥氏加速度第34页，本讲稿共57页2022/10/1635对速度合成公式再取一次时间导数，可得到加速度之间的向量合成关系：对速度合成公式再取一次时间导数，可得到加速度之间的向量合成关系：对速度合成公式再取一次时间导数，可得到加速度之间的向量合成关系：对速度合成公式再取一次时间导数，可得到加速度之间的向量合成关系：一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度第35页，本讲稿共57页2022/10/1636一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度动点在参考坐标系中的视加速度动点在参考坐标系中的视加速度动点在参考坐标系中的视加速度动点在参考坐标系中的视加速度 动点的爱因斯坦加速度，是动系线
28、性加速运动产生的。动点的爱因斯坦加速度，是动系线性加速运动产生的。动点的爱因斯坦加速度，是动系线性加速运动产生的。动点的爱因斯坦加速度，是动系线性加速运动产生的。动点在动坐标系中的相对加速度动点在动坐标系中的相对加速度动点在动坐标系中的相对加速度动点在动坐标系中的相对加速度 第36页，本讲稿共57页2022/10/1637一一 哥氏定理与哥氏加速度哥氏定理与哥氏加速度动点的哥氏加速度动点的哥氏加速度动点的哥氏加速度动点的哥氏加速度 动点的欧拉加速度动点的欧拉加速度动点的欧拉加速度动点的欧拉加速度 动点的向心加速度动点的向心加速度动点的向心加速度动点的向心加速度 牵连加速度 第37页，本讲稿共5
29、7页2022/10/1638讨论：讨论：用哥氏定理研究近地表面物体用哥氏定理研究近地表面物体 b=eb=e 系：地球坐标系系：地球坐标系系：地球坐标系系：地球坐标系i i 系系系系 地心惯性系地心惯性系地心惯性系地心惯性系速度速度速度速度加速度加速度加速度加速度第38页，本讲稿共57页2022/10/1639讨论：讨论：用哥氏定理研究近地表面运动物体用哥氏定理研究近地表面运动物体 e e 系：地球坐标系系：地球坐标系系：地球坐标系系：地球坐标系i i 系系系系 地心惯性系地心惯性系地心惯性系地心惯性系第39页，本讲稿共57页2022/10/1640二二 非惯性系中的牛顿定律非惯性系中的牛顿定律
30、惯性系中的牛顿第二定律：惯性系中的牛顿第二定律：惯性系中的牛顿第二定律：惯性系中的牛顿第二定律：根据哥氏定理：根据哥氏定理：根据哥氏定理：根据哥氏定理：牵连惯性力：牵连惯性力：牵连惯性力：牵连惯性力：哥氏惯性力：哥氏惯性力：哥氏惯性力：哥氏惯性力 第40页，本讲稿共57页2022/10/1641二二 非惯性系中的牛顿定律非惯性系中的牛顿定律达朗贝尔原理的一般形式达朗贝尔原理的一般形式达朗贝尔原理的一般形式达朗贝尔原理的一般形式 第41页，本讲稿共57页2022/10/1642三三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转动惯量、惯量椭球与惯性主轴l l刚体对任意轴转动惯量的表达式刚体对任意轴转动惯量的表
31、达式刚体对任意轴转动惯量的表达式刚体对任意轴转动惯量的表达式 第42页，本讲稿共57页2022/10/1643l l刚体对任意轴转动惯量的表达式刚体对任意轴转动惯量的表达式刚体对任意轴转动惯量的表达式刚体对任意轴转动惯量的表达式 三三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转动惯量、惯量椭球与惯性主轴定义：定义：定义：定义：刚体对x轴的转动惯量；刚体对y轴的转动惯量；刚体对z轴的转动惯量；刚体对y轴和z轴的惯量积；刚体对z轴和x轴的惯量积；刚体对x轴和y轴的惯量积；第43页，本讲稿共57页2022/10/1644三三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转动惯量、惯量椭球与惯性主轴l l刚体对任意轴转动惯量的表
32、达式刚体对任意轴转动惯量的表达式刚体对任意轴转动惯量的表达式刚体对任意轴转动惯量的表达式 刚体对任意转动轴的转动惯量可以用刚体对坐标轴的转刚体对任意转动轴的转动惯量可以用刚体对坐标轴的转刚体对任意转动轴的转动惯量可以用刚体对坐标轴的转刚体对任意转动轴的转动惯量可以用刚体对坐标轴的转动惯量、惯量积以及转动轴的方向余弦来表示。动惯量、惯量积以及转动轴的方向余弦来表示。动惯量、惯量积以及转动轴的方向余弦来表示。动惯量、惯量积以及转动轴的方向余弦来表示。第44页，本讲稿共57页2022/10/1645讨论：转动惯量的求解l 求下图装置对不同坐标系的转动惯量求下图装置对不同坐标系的转动惯量第45页，本讲
33、稿共57页2022/10/1646l求圆环与匀质圆盘的转动惯量求圆环与匀质圆盘的转动惯量圆环匀质圆盘第46页，本讲稿共57页2022/10/1647转动惯量矩阵转动惯量矩阵转动惯量矩阵转动惯量矩阵 三三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转动惯量、惯量椭球与惯性主轴第47页，本讲稿共57页2022/10/1648三三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转动惯量、惯量椭球与惯性主轴l l惯量椭球惯量椭球惯量椭球惯量椭球P（x,y,z）lxyzod第48页，本讲稿共57页2022/10/1649l l惯量椭球惯量椭球惯量椭球惯量椭球三三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转动惯量、惯量椭球与惯性主轴 过坐标原点到椭
34、球面上的任意点的距离，反映了刚过坐标原点到椭球面上的任意点的距离，反映了刚过坐标原点到椭球面上的任意点的距离，反映了刚过坐标原点到椭球面上的任意点的距离，反映了刚体对该任意轴的转动惯量。该椭球可用来描述刚体对所体对该任意轴的转动惯量。该椭球可用来描述刚体对所体对该任意轴的转动惯量。该椭球可用来描述刚体对所体对该任意轴的转动惯量。该椭球可用来描述刚体对所有过原点的轴的转动惯量的情况。称之为刚体的惯量椭有过原点的轴的转动惯量的情况。称之为刚体的惯量椭有过原点的轴的转动惯量的情况。称之为刚体的惯量椭有过原点的轴的转动惯量的情况。称之为刚体的惯量椭球或惯性椭球。球或惯性椭球。球或惯性椭球。球或惯性椭球
35、。第49页，本讲稿共57页2022/10/1650l l 惯性主轴惯性主轴惯性主轴惯性主轴三三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转动惯量、惯量椭球与惯性主轴如果刚体对某根轴的惯量积为零，则称该轴为刚体的惯性主轴，如果刚体对某根轴的惯量积为零，则称该轴为刚体的惯性主轴，如果刚体对某根轴的惯量积为零，则称该轴为刚体的惯性主轴，如果刚体对某根轴的惯量积为零，则称该轴为刚体的惯性主轴，对于惯量椭球的三根对称轴，刚体的惯量积是为零，所以这三根对于惯量椭球的三根对称轴，刚体的惯量积是为零，所以这三根对于惯量椭球的三根对称轴，刚体的惯量积是为零，所以这三根对于惯量椭球的三根对称轴，刚体的惯量积是为零，所以这三根
36、对称轴是刚体的惯性主轴。对称轴是刚体的惯性主轴。对称轴是刚体的惯性主轴。对称轴是刚体的惯性主轴。第50页，本讲稿共57页2022/10/1651l l陀螺转子的转动惯量陀螺转子的转动惯量陀螺转子的转动惯量陀螺转子的转动惯量 三三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转动惯量、惯量椭球与惯性主轴转转转转子子子子形形形形状状状状对对对对自自自自转转转转轴轴轴轴对对对对称称称称，自自自自转转转转轴轴轴轴是是是是转转转转子子子子的的的的惯惯惯惯性性性性主主主主轴轴轴轴；包包包包含含含含自自自自转转转转轴轴轴轴的的的的任任任任何何何何平平平平面面面面都都都都是是是是转转转转子子子子的的的的对对对对称称称称平平平
37、平面面面面，可可可可判判判判断断断断出出出出垂垂垂垂直直直直于于于于自自自自转转转转轴轴轴轴的的的的任任任任意意意意轴轴轴轴均均均均是是是是转转转转子子子子的的的的惯惯惯惯性性性性主主主主轴轴轴轴。在在在在转转转转子子子子赤赤赤赤道道道道平平平平面面面面内内内内的的的的任任任任意意意意赤赤赤赤道道道道轴轴轴轴都都都都是是是是垂垂垂垂直直直直于于于于自自自自转轴的，故任意赤道轴也均是转子的惯性主轴。转轴的，故任意赤道轴也均是转子的惯性主轴。转轴的，故任意赤道轴也均是转子的惯性主轴。转轴的，故任意赤道轴也均是转子的惯性主轴。对对对对于于于于旋旋旋旋转转转转质质质质量量量量陀陀陀陀螺螺螺螺仪仪仪仪，
38、转转转转子子子子的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量是是是是一一一一个个个个重重重重要要要要的的的的参参参参数数数数，陀陀陀陀螺螺螺螺电电电电机机机机采采采采用用用用“内内内内定定定定子子子子、外外外外转转转转子子子子”结结结结构构构构，使使使使质质质质量量量量分分分分布布布布远远远远离离离离自自自自转转转转轴轴轴轴。而而而而且且且且，转转转转子采用金属材料，使其具有较大的转动惯量。子采用金属材料，使其具有较大的转动惯量。子采用金属材料，使其具有较大的转动惯量。子采用金属材料，使其具有较大的转动惯量。第51页，本讲稿共57页2022/10/1652四四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程角
39、动量、角动量定理与欧拉动力学方程l质点的角动量及角动量定理质点的角动量及角动量定理质点的角动量及角动量定理质点的角动量及角动量定理 第52页，本讲稿共57页2022/10/1653l l定点转动刚体的角动量定点转动刚体的角动量定点转动刚体的角动量定点转动刚体的角动量 四四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程角动量、角动量定理与欧拉动力学方程第53页，本讲稿共57页2022/10/1654四四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程角动量、角动量定理与欧拉动力学方程l l定点转动刚体的角动量定点转动刚体的角动量定点转动刚体的角动量定点转动刚体的角动量 惯性主轴惯性主轴惯性主轴惯性主轴第54页，本讲稿
40、共57页2022/10/1655l l刚体的角动量定理与欧拉动力学方程刚体的角动量定理与欧拉动力学方程刚体的角动量定理与欧拉动力学方程刚体的角动量定理与欧拉动力学方程 四四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程角动量、角动量定理与欧拉动力学方程哥氏定理哥氏定理哥氏定理哥氏定理角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理第55页，本讲稿共57页2022/10/1656l刚体的角动量定理与欧拉动力学方程刚体的角动量定理与欧拉动力学方程刚体的角动量定理与欧拉动力学方程刚体的角动量定理与欧拉动力学方程四四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程角动量、角动量定理与欧拉动力学方程刚体系取惯性主轴刚体系取惯性主轴刚
41、体系取惯性主轴刚体系取惯性主轴第56页，本讲稿共57页2022/10/1657第一章小结第一章小结l l 刚体的角位置与角速度描述刚体的角位置与角速度描述刚体的角位置与角速度描述刚体的角位置与角速度描述 方向余弦矩阵的定义、性质及求取；方向余弦矩阵的定义、性质及求取；方向余弦矩阵的定义、性质及求取；方向余弦矩阵的定义、性质及求取；欧拉角的定义、坐标变换；欧拉角的定义、坐标变换；欧拉角的定义、坐标变换；欧拉角的定义、坐标变换；瞬时角速度的欧拉角表示。瞬时角速度的欧拉角表示。瞬时角速度的欧拉角表示。瞬时角速度的欧拉角表示。l l 常用坐标系常用坐标系常用坐标系常用坐标系 惯性坐标系、地球坐标系、地理坐标系；惯性坐标系、地球坐标系、地理坐标系；惯性坐标系、地球坐标系、地理坐标系；惯性坐标系、地球坐标系、地理坐标系；常用坐标系的角速度及不同坐标系间的转换。常用坐标系的角速度及不同坐标系间的转换。常用坐标系的角速度及不同坐标系间的转换。常用坐标系的角速度及不同坐标系间的转换。l l 基本定理与基本方法基本定理与基本方法基本定理与基本方法基本定理与基本方法 哥氏定理、转动惯量、角动量定理、哥氏定理、转动惯量、角动量定理、哥氏定理、转动惯量、角动量定理、哥氏定理、转动惯量、角动量定理、欧拉方程。欧拉方程。欧拉方程。欧拉方程。第57页，本讲稿共57页