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1、由两块等腰直角三角板旋转所想到的课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望AEDCB ACDBCEBE=ADBE垂直垂直AD将两个全等的等腰直角三角重叠在一起，将两个全等的等腰直角三角重叠在一起，一个直角三角板固定，另一个直角三角一个直角三角板固定，另一个直角三角板绕直角顶点旋转，旋转后把对应顶点板绕直角顶点旋转，旋转后把对应顶点连接，得到两个三角形连接，得到两个三角形.CBAED ACD BCEBE:AD=BC:ACBE垂直垂直AD1 1、(09(09
2、白白银银)如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90，D为AB边上一点，求证：（1）（2）2、（11广西防城港）如图，点广西防城港）如图，点G是正方形是正方形ABCD对对角线角线CA的延长线上任意一点，以线段的延长线上任意一点，以线段AG为边作为边作一个正方形一个正方形AEFG，线段，线段EB和和GD相交于点相交于点H（1）求证：）求证：EBGD；（2）判断）判断EB与与GD的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；（3）若）若AB2，AG，求，求EB的长的长3、（12资阳）资阳）（1）如图（）如图（1），正方形），正方形AEGH的顶点的顶点E、H在在正方形正方形ABCD的
3、边上，直接写出的边上，直接写出HD GC EB的结果（不必写计的结果（不必写计算过程）；算过程）；（2）将图（）将图（1）中的正方形）中的正方形AEGH绕点绕点A旋转一定角度，如图旋转一定角度，如图（2），求），求HD GC EB；（3）把图（）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知），且已知A ABHA AEm:n，此时，此时HD GC EB的值与（的值与（2）小题的结）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）计算过程）4、（、（12莱芜）莱芜）如图如图1，在，
4、在ABC中，中，ABAC，BAC90，D、E分别是分别是AB、AC边的中边的中点将点将ABC绕点绕点A顺时针旋转角顺时针旋转角(0180)，得到，得到ABC(如图如图2)(1)探究探究DB与与EC的数量关系，并给予证明；的数量关系，并给予证明；(2)当当DBAE时，试求旋转角的度数时，试求旋转角的度数5、（、（11安徽）安徽）在在ABC中，中，ACB90，ABC30，将将ABC绕顶点绕顶点C顺时针旋转，旋转角为顺时针旋转，旋转角为(0 180)，得到，得到A1B1C(1)如图如图1，当，当ABCB1时，设时，设A1B1与与BC相交于点相交于点D证明：证明：A1CD是等边三角形；是等边三角形；(
5、2)如图如图2，连接，连接AA1、BB1，设，设ACA1和和BCB1的面积分别的面积分别为为S1、S2求证：求证：S1 S21 3；(3)如图如图3，设，设AC的中点为的中点为E，A1B1的中点为的中点为P，ACa，连接，连接EP当当 时，时，EP的长度最大，最大值为的长度最大，最大值为 6、（、（12金华）金华）在锐角在锐角ABC中，中，AB=4，BC=5，ACB=45，将，将ABC绕点绕点B按逆时针方向旋转，按逆时针方向旋转，得到得到A1BC1（1）如图）如图1，当点，当点C1在线段在线段CA的延长线上时，求的延长线上时，求CC1A1的度数；的度数；（2）如图）如图2，连接，连接AA1，C
6、C1若若ABA1的面积为的面积为4，求，求CBC1的面积；的面积；（3）如图）如图3，点，点E为线段为线段AB中点，点中点，点P是线段是线段AC上上的动点，在的动点，在ABC绕点绕点B按逆时针方向旋转过程中，按逆时针方向旋转过程中，点点P的对应点是点的对应点是点P1，求线段，求线段EP1长度的最大值与最长度的最大值与最小值小值将一个等腰直角三角板的直角顶点，放在另一个等腰将一个等腰直角三角板的直角顶点，放在另一个等腰直角三角板直角三角板ABC斜边斜边AB的中点的中点P处，并绕处，并绕P点旋转，点旋转，三角板的两直角边分别交三角板的两直角边分别交AC、BC于于D、E两点，讨论两点，讨论图形旋转中
7、有哪些等量关系？图形旋转中有哪些等量关系？CBPED2NMA1OANM如图如图AO是是 MAN的角平分线，的角平分线，且且 MAN+MON=180ED则有则有 ODMOEN1、（11牡丹江）牡丹江）如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点O为对角为对角线线AC的中点，过点的中点，过点O作射线作射线OM、ON分别交分别交AB、BC于于点点E、F，且，且EOF=90，BO、EF交于点交于点P则下列结则下列结论中：（论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方）正方形形ABCD的面积等于四边形的面积等于四边形OEBF面积的面积的4倍；倍；（3）BE+BF
8、=OA；（；（4）AE2+CF2=2OPOB，正确的，正确的结论有（结论有（）个 A1 B2C3 D42、（、（09牡丹江）牡丹江）已知中已知中RtABC中中，BC=AC=2,C=90，D为为AB边的中点边的中点,EDF绕绕D点旋转，它的两边分别点旋转，它的两边分别交交AC、CB（或它们的延长线）于（或它们的延长线）于E、F.（1）当）当 EDF绕点绕点D旋转到旋转到DEAC于于E时（如图时（如图1），），易证易证 （2）当）当 EDF绕点绕点D旋转到旋转到DE与与AC不垂直时，在图不垂直时，在图2和图和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；这两种情况下，上述结论是否成立？若
9、成立，请给予证明；若不成立，若不成立，又有怎样的数量关系？请写又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明出你的猜想，不需证明AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F3、（12黑龙江黑河）黑龙江黑河）RtABC中，中，AB=AC，点，点D为为BC中中点点MDN=900，MDN绕点绕点D旋转，旋转，DM、DN分别与边分别与边AB、AC交于交于E、F两点下列结论两点下列结论(BE+CF)=BC，ADEF，ADEF，AD与与EF可能互可能互相平分，其中正确结论的个数是（相平分，其中正确结论的个数是（）4、（、（08 山东山东 临沂）临沂）已知MAN，AC平分MAN。在图1中，若MAN120，
10、ABCADC90，求证：ABADAC;在图2中，若MAN120，ABCADC180，则中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;在图3中：若MAN60，ABCADC180，则ABAD_AC;若MAN（0180），ABCADC180，则ABAD_AC（用含的三角函数表示），并给出证明。图1图2图3（03绍兴）绍兴）5、已知已知AOB=90，OM是是AOB的平分线，按以下要求解答问题：的平分线，按以下要求解答问题：(1)将三角板的直角顶点将三角板的直角顶点P在射线在射线OM上移动，两直角边分别与边上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点交于点C，D.在图甲中，证明：在图甲中，
11、证明：PC=PD；在图乙中，点在图乙中，点G是是CD与与OP的交点，且的交点，且PG=PD，求，求POD与与PDG的面积之比的面积之比.（2）将三角板的直角顶点）将三角板的直角顶点P在射线在射线OM上移动，一直角边与边上移动，一直角边与边OB交于交于点点D，OD=1，另一直角边与直线，另一直角边与直线OA，直线，直线OB分别交于点分别交于点C，E，使以使以P，D，E为顶点的三角形与为顶点的三角形与OCD相似，在图丙中作出图形，相似，在图丙中作出图形，试求试求OP的长的长.GACBPNM将一个等腰直角三角板将一个等腰直角三角板45角的顶点，放角的顶点，放在另一个等腰直角三角板在另一个等腰直角三角
12、板ABC斜边斜边AB的的中点中点P处，并绕处，并绕P点旋转，三角板的两直点旋转，三角板的两直角边分别交角边分别交AC、BC于于M、N两点两点.ACBPNMACBPNM3030ACBP30NMyyACBPyNM基本图形基本图形为在等腰三角形为在等腰三角形ABC中，点中，点P为为AB上任意一点，若上任意一点，若A=B=NPM,则有则有APMBNP ANBPM1、（、（12成都）成都）如图，如图，ABC和和DEF是两个全等的等腰直角是两个全等的等腰直角三角形，三角形，BAC=EDF=90，DEF的顶点的顶点E与与ABC的斜边的斜边BC的中点重合将的中点重合将DEF绕点绕点E旋转，旋转过程中，线段旋转
13、，旋转过程中，线段DE与线与线段段AB相交于点相交于点P，线段，线段EF与射线与射线CA相交于点相交于点Q（1）如图）如图，当点，当点Q在线段在线段AC上，且上，且AP=AQ时，求证：时，求证：BPECQE；（2）如图）如图，当点，当点Q在线段在线段CA的延长线上时，求证：的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当；并求当BP=a，CQ=时，时，P、Q两点间的距离两点间的距离(用含用含a的代数式表示的代数式表示)2、（、（2011年宁波市海曙区中考数学模拟试卷）年宁波市海曙区中考数学模拟试卷）等腰梯形等腰梯形ABCD中，中，AD/BC，BC=，AD=，B=45.直角三角形含直角三角形含45角的顶
14、点角的顶点E在边在边BC上移动（不与点上移动（不与点C重合），一重合），一直角边始终经过点直角边始终经过点A（如图），斜边与（如图），斜边与CD交于点交于点F，设，设BE=，CF=.（1）求证：）求证：ABEECF(2)求求 关于关于 的函数解析式，并求出当点的函数解析式，并求出当点E移动到什么位置时移动到什么位置时 的值最大，最大值是多少？的值最大，最大值是多少？（3）连结）连结AF，当，当AEF为直角三角形时，求为直角三角形时，求 的值；的值；（4）求点）求点E移动过程中，移动过程中，ADF外接圆半径的最小值外接圆半径的最小值.（2009年山西省太原市）年山西省太原市）3、如图，在等腰梯形
15、ABCD中，ADCB，BC=4,AD=，B=45直角三角板含45角的顶点在边BC上移动，一直角边始终经过A点，斜边与CD交于点F若ABE为等腰三角形，则CF的长等于 DBCAEF4、(2009成都)已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线 l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且AED=90（1）如图，如果AB=6，BC=16且BE:EC=1:3，求AD的长（2）如图，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之
16、间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明ADCEBl图ADCEBl图5、（、（06湖南常德）湖南常德）把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板的锐角顶点D与三角板的斜边中点O重合，其中，ABC=DEF=90，C=F=45，AB=DE=4,把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕O点旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于Q点（1）如图1，当射线DE经过点B，即点Q与点B重合时，易证:APDCDQ 此时，APCQ=_（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为 其中030，问的值是否改变？说明你的理由（3）在（2）的条件下，设
17、CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式()()()B(Q)CFEAP图1图2图3（07山山东滨东滨州）州）6、如图1所示，在ABC中，AB=AC=2,A=90，O为BC的中点，动点E在AB边上自由移动，动点F在AC边上自由移动（1）E,F点的移动过程中，EOF是否能成为EOF=45的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置若不能，请说明理由（2）当EOF=45时，设BE=x,CF=y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图2），试探究直线EF与O的位置关系，并证明你的结论BACOFE图1BACOFE图2A
18、BC将一个等腰直角三角板将一个等腰直角三角板45角的顶点，放在另一个等角的顶点，放在另一个等腰直角三角板腰直角三角板ABC的直角顶点的直角顶点A，并绕，并绕A点旋转，三点旋转，三角板的直角边和斜边分别交角板的直角边和斜边分别交BC于于F、E两点两点.CABEFABFECAAEFABCEFD ADEAEFDBE为为Rt1、（08年湖北省咸宁市）如图，在RtABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且DAE=45，将ADC绕点A顺时针旋转90后，得到AFB，连接EF，下列结论：AEDAEF；ABEACD；BE+DC=ED；其中正确的是 【】A；B；C；D2、（、（11咸宁）咸宁）（1）如图）
19、如图，在正方形，在正方形ABCD中，中，AEF的顶点的顶点E，F分别在分别在BC，CD边上，高边上，高AG与正方形的边长相等，与正方形的边长相等，求求EAF的度数的度数（2）如图）如图，在，在RtABD中，中，BAD=90，AB=AD，点，点M，N是是BD边上的任意两点，且边上的任意两点，且MAN=45，将，将ABM绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转90至至ADH位置，连接位置，连接NH，试判断，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由之间的数量关系，并说明理由（3）在图）在图中，连接中，连接BD分别交分别交AE，AF于点于点M，N，若，若EG=4，GF=6，BM=3 ，求，求AG，MN的
20、长的长3、（、（10安徽蚌埠二中）安徽蚌埠二中）如图如图1、2是两个相似比为是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形的等腰直角三角形，将两个三角形如图如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.在图在图3中，绕点中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点交于点E、F，如图，如图4.求求证：证：；若在图若在图3中，绕点中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与延长线分别与AB交于点交于点E、F，如图如图5，此时结论，此时结论
21、是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。请说明理由。如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，E、F分别是边分别是边BC、CD上的点，满足上的点，满足CEF的周长等于正方形的周长等于正方形ABCD的周长的一半，的周长的一半，AE、AF分别与对角线分别与对角线BD交于交于M、N，试问线段，试问线段BM、MN、DN能否构能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由.4、（、（12福建宁德）福建宁德）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程
22、如下：某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图如图1，在等腰，在等腰ABC中，中，ABAC，BAC90，小敏将一块三角板中含，小敏将一块三角板中含45角角的顶点放在点的顶点放在点A处，从处，从AB边开始绕点边开始绕点A顺时针旋转一个角顺时针旋转一个角 ，其中三角板斜边，其中三角板斜边所在的直线交直线所在的直线交直线BC于点于点D，直角边所在的直线交直线，直角边所在的直线交直线BC于点于点E(1)小敏在线段小敏在线段BC上取一点上取一点M，连接，连接AM，旋转中发现：若，旋转中发现：若AD平分平分MAB，则也，则也平分平分MAC请你证明小敏发现的结论；请你证明小敏发现的结论；(2)当当0 4
23、5时，小敏在旋转的过程中发现线段时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下之间存在如下等量关系：等量关系：BD2CE2DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：解决：小颖的方法：将小颖的方法：将ABD沿沿AD所在的直线对折得到所在的直线对折得到ADF，连接，连接EF(如图如图2)；小亮的方法：将小亮的方法：将ABD绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转90得到得到ACG，连接，连接EG(如图如图3)请你从中任选一种方法进行证明；请你从中任选一种方法进行证明；(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当小敏继续旋转三角板，在探究中得
24、出：当45 135且且 90时，等量时，等量关系关系BD2CE2DE2仍然成立现请你继续探究：当仍然成立现请你继续探究：当135 180时时(如图如图4)，等量关系，等量关系BD2CE2DE2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由明理由5、（08恩恩施施州州）如如图图1，在在同同一一平平面面内内,将将两两个个全全等等的的等等腰腰直直角角三三角角形形ABC和和AFG摆摆放放在在一一起起，A为为公公共共顶顶点点，BACBAC=AGFAGF=90=90，它它们们的的斜斜边边长长为为2，若若ABC固固定定不不动动，AFG绕绕点点A旋旋转转，AF、
25、AG与与边边BC的的交交点分点分别为别为D、E(点点D不与点不与点B重合重合,点点E不与点不与点C重合重合),设设BE=m，CD=n.（1）请请在在图图中找出两中找出两对对相似而不全等的三角形，并相似而不全等的三角形，并选选取其中一取其中一对进对进行行证证明明.（2）求）求m与与n的函数关系式，直接写出自的函数关系式，直接写出自变变量量n的取的取值值范范围围.（3）以以ABC的的斜斜边边BC所所在在的的直直线线为为x轴轴，BC边边上上的的高高所所在在的的直直线线为为y轴轴，建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系(如如图图2).在在边边BC上上找找一一点点D，使使BD=CE，求求出出D点点的的坐坐
26、标标，并通，并通过计过计算算验证验证BD DCECE=DEDE.（4）在在旋旋转转过过程程中中,(3)中中的的等等量量关关系系BD DCECE=DEDE是是否否始始终终成成立立,若若成成立立,请请证证明明,若不成立若不成立,请说请说明理由明理由.G图1FEDCBAGyx图2OFEDCBA6、（、（12江苏宿迁）（江苏宿迁）（1）如图）如图1，在，在ABC中，中，BA=BC，D，E是是AC边上边上的两点，且满足的两点，且满足DBE=ABC（0CBEABC）以点）以点B为为旋转中心，将旋转中心，将BEC按逆时针旋转按逆时针旋转ABC，得到，得到BEA（点（点C与点与点A重合，重合，点点E到点到点E处）连接处）连接DE，求证：，求证：DE=DE（2）如图）如图2，在，在ABC中，中，BA=BC，ABC=90，D，E是是AC边上的两边上的两点，且满足点，且满足DBE=ABC（0CBE45）求证：求证：DE2=AD2+EC2延伸yyy延伸OANM延伸 MAN+MON=180关键是引导学生关键是引导学生找到两个三角形找到两个三角形全等（或相似）全等（或相似）