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1、五节隐函数求导公式 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、隐函数存在定理简介隐函数:由方程所确定的函数.隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点 的某一邻域内具有连续偏导数,且 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件 ,并有 1.一个方程的情形例 验证方程在点能确定一个有连续导数、当时的隐函数解设则由定理1得:方程在点的某邻域内能确定一个有连续导数、当时的隐函数的某邻域内隐函数存在定理2 设函数的某一
2、邻域内具有连续偏导数,且 ,则方程F(x,y,z)=0在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),它满足条件 并有(2)2、方程组的情形隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在 点 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又 且偏导数所组成的函数行列式或称雅可比(Jacobi)式:在点 不等于零,则的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u(x,y),v=v(x,y),它们满足条件并有方程组(3)下面,总假设隐函数存在且可导,在此前提下来讨论求隐函数的导数或偏导数的方法。1、一个方程的情形(1)设该方程确定了函数:
3、即等式两端同时对 x 求导,得+=0二、隐函数的求导法(2)设该方程确定了函数:即等式两端同时对 x 求偏导,得+=0+等式两端同时对 y 求偏导,得+=0+(3)设该方程确定了函数:即等式两端同时对 x 求偏导,得+=0+类似可得+解=例2 解(1)设=(2)=注意2.方程组的情形设该方程组确定了方程组两端同时对 x 求导,得+即+=设该方程组确定了:方程组两端同时对 x 求偏导,得+即+=同理,方程组两边同时对 y 求偏导,可得+即+=例3 解+=0+=0即+=+=解得=例4 解+(=0+=0即+=+=+)解得=方法:由可确定(*)式两边同时对 x 求偏导,可求得(*)式两边同时对 y 求
4、偏导,可求得(*)又=,例5在点(x,y,u,v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数 u=u(x,y),v=v(x,y);例6 设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某一邻域内连续且有连续偏导数,又(2)求反函数u=u(x,y),v=v(x,y)对x,y的偏导数.由隐函数存在定理3,得(1)证在点(x,y,u,v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u(x,y),v=v(x,y).它们是 x=x(u,v),y=y(u,v)的反函数。设方程组(#):(2)解等式两边同时对 x 求偏导,得确定了函数 u=u(x,y),v=v(x,y)即=作业P892,4,6,7,9,10,11