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1、三角形的中位线拓展【例题【例题1】.如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD中，点中，点E，F，G，H分别是分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线有在同一条直线上上求证：求证：EF和和GH互相平分互相平分证明：证明：连接连接EG、GF、FH、HE，点点E、F、G、H分别是分别是AB、CD、AC、BD的中点的中点EG=HF同理同理EH=GF四边形四边形EGFH为平行四边形为平行四边形EF与与GH互相平分互相平分【例题【例题2】.如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD的对角线的对角线AC与与BD相交于点相交于点O，且，且AC=BD，M、N分别是分别是
2、AB、CD的中点，的中点，MN分别交分别交BD、AC于点于点E、F求证：求证：OEOF.证明：证明：取取AD的中点的中点G，连接，连接MG，NG，G、N分别为分别为AD、CD的中点，的中点，GN是是ACD的中位线，的中位线，AC=BD，GN=GM1=2，又又MGBD，NGAC，3=1，2=4，3=4OE=OF【例题【例题3】.如图，已知：四边形如图，已知：四边形ABCD中，中，AD=BC，E、F分别是分别是DC、AB的中点，直线的中点，直线EF分别与分别与BC、AD的延长线相交于的延长线相交于G、H.求证：求证：AHF=BGF证明：证明：连接连接AC，作，作AC的中点的中点M，连接，连接ME，
3、MF，E是是CD的中点，的中点，M是是AC的中点，的中点，AD=BC，ME=MF，即即MEF=MFEEMAH，MEF=AHFFMBG，MFE=BGFAHF=BGF【例题【例题4】.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，一组对边中，一组对边AB=CD，另一，另一组对边组对边ADBC，分别取，分别取AD、BC的中点的中点M、N，连接，连接MN则则AB与与MN的关系是（）的关系是（）AAB=MN BABMN CABMN D上述三种情况均可能出现上述三种情况均可能出现 解：解：连接连接BD，BD的中点的中点P，连接，连接PN，PM点点P，M，N分别是分别是BD，AD，BC的中点，的中点，AB=CD，
4、PM+PN=AB，PM+PNMN，ABMN故选故选BB【例题【例题5】.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AD、BD、BC、AC上的中点，上的中点，AB=5，CD=7求四边形求四边形EFGH的周长的周长.解：解：E、F分别是分别是AD、BD的中点，的中点，EF是是ABD的中位线，的中位线，EFAB，且，且同理同理GHAB，且且四边形四边形EFGH为平行四边形，为平行四边形，四边形四边形EFGH的周长的周长=2（EF+EH）2(2.5+3.5)=26=12【例题【例题6】.如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，AB=10，BC=6，E、F分别是分
5、别是AD、DC的中点，若的中点，若EF=7，则四边形，则四边形EACF的周长是的周长是_.解：解：已知平行四边形已知平行四边形ABCD，AD=BC=6，CD=AB=10，又又E、F分别是分别是AD、DC的中点，的中点，AC=2EF=14，所以四边形所以四边形EACF的周长为：的周长为：AE+EF+CF+AC=3+7+5+14=29故答案为：故答案为：29【例题【例题7】.已知：如图，已知：如图，E为为 ABCD中中DC边的延长线上一点，边的延长线上一点，且且CE=DC，连接，连接AE，分别交，分别交BC、BD于点于点F、G，连接，连接AC交交BD于于O，连接，连接OF，判断，判断AB与与OF的
6、位置关系和大小关系，并证明你的位置关系和大小关系，并证明你的结论的结论解：解：AB=2OF证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AB=CD，AB CD，OA=OC1=E，ABF=2CE=DC，又，又CD=AB，AB=CE在在ABF和和ECF中，中，1=EAB=CEABF=2，ABFECF（ASA），），BF=CF又又OA=OC，OF是是ABC的中位线，的中位线，AB=2OF，ABOF【例题【例题8】.如图，如图，ABC中，中，M是是BC的中点，的中点，AD是是A的平分的平分线，线，BDAD于于D，AB=12，AC=18，求，求DM的长的长解：延长解：延长BD交交AC于于E
7、BDADADB=ADE=90AD是是BAC的平分线的平分线1=2在在ABD与与AED中中1=2AD=ADADB=ADEABDAED (ASA)BD=ED，AE=AB=12EC=AC-AE=18-12=6M是是BC的中点，的中点，D是是BE的中点，的中点，DM是是BCE的中位线，的中位线，【例题【例题9】.如图，在如图，在ABC，B=2C，ADBC于于D，M为为BC的中点，的中点，AB=10cm，求证：，求证：解：解：作作AC的中点的中点E，连接，连接EM，DE，又又M为为BC的中点，的中点，EM为为ABC的中位线，的中位线，EMAB，B1，ADBC，E为为AC的中点，的中点，DECE，2C12
8、3，B2C，23DMEM，【例题【例题10】.如图，已知如图，已知AD为为ABC的角平分线，的角平分线，ABAC，在在AC上截取上截取CE=AB，M、N分别为分别为BC、AE的中点求证：的中点求证：MNAD证明：连接证明：连接BE，记，记BE中点为中点为F，连接，连接FN、FM，FN为为EAB的中位线，的中位线，BAEMNCFM为为BCE的中位线，的中位线，45CE=AB，FN=FM，3=4，又又4=5，3=5，AD平分平分BAC，1=2，BAEMNC即即1+2=3+5，1=2，2=5，NMAD【例题【例题11】.已知：如图，已知：如图，AD是是ABC的高，的高，AB=AC，BE=2AE，点，
9、点N是是CE的中点求证：的中点求证：M是是AD的中点的中点证明：证明：AB=AC，ADBC，BD=CDCN=EN，DNBE，BE=2AE，DN=AEAEDN，MAE=MDN，MEA=MNDAEMDNMAM=DM，即即M是是AD的中点的中点【例题【例题12】.如图，已知：在如图，已知：在ABC中，中，BAC=90，延长，延长BA到到点点D，使，使AD=1/2AB，点，点G、E、F分别为边分别为边AB、BC、AC的中点的中点求证：求证：DF=BE证法（一）：连接证法（一）：连接GF，点点G为为AB边的中点，边的中点，AD=AG又又BAC=90，即，即AFBD，AF为线段为线段DG的垂直平分线，的垂
10、直平分线，DF=GFEF为为ABC的中位线，的中位线，BG=EF，BGEF四边形四边形BEFG为平行四边形为平行四边形GF=BEBE=DF【例题【例题12】.如图，已知：在如图，已知：在ABC中，中，BAC=90，延长，延长BA到到点点D，使，使AD=1/2AB，点，点G、E、F分别为边分别为边AB、BC、AC的中点的中点.求证：求证：DF=BE证法（二）：证法（二）：F，E是是AC，BC的中点，的中点，AD=EF，点点F是是AC中点，中点，AF=CF，EFAB，BAC=90，EFCBAC=90DAFFEC，DF=EC，E是是BC的中点，的中点，BEEC，DF=BE【例题【例题13】.如图：如
11、图：AD是是ABC的高，的高，M、N、E分别是分别是AB、AC、BC边上的中点边上的中点（1）求证：）求证：ME=DN；（2）若）若BC=AD=12，AC=13，求四边形，求四边形DEMN的面积的面积解：（解：（1）证明：）证明：M、E、N分别是分别是AB、BC、AC的中点的中点根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，得根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，得ND=1/2AC，根据三角形中位线定理，得根据三角形中位线定理，得EM=1/2ACEGBC，EFAC，四边形四边形MECN为平行四边形，为平行四边形，EM=NC又又DEEC，EDMN四边形四边形MEDN是梯形是梯形又又ADBC，DG=1
12、/2ACEM=DN（2）AD=12，AC=13，CD=5，四边形四边形MECN为平行四边形，为平行四边形，EC=MN=6，ED=6-5=1，四边形四边形DEMN的面积的面积=12(6+1)6=21【例题【例题13】.如图：如图：AD是是ABC的高，的高，M、N、E分别是分别是AB、AC、BC边上的中点边上的中点（1）求证：）求证：ME=DN；（2）若）若BC=AD=12，AC=13，求四边形，求四边形DEMN的面积的面积【例题【例题14】.如图，如图，ABC的中线的中线BD、CE交于点交于点O，F、G分别是分别是OB、OC的中点求证：的中点求证：EF=DG且且EFDG证明：证明：BD、CE是是
13、ABC的中线，的中线，D、E分别为分别为AC、AB的中点，的中点，DE为为ABC的中位线，的中位线，FG=DE，FGDE，四边形四边形DEFG是平行四边形，是平行四边形，EF=DG且且EFDG【例题【例题15】.如图，在如图，在ABC中，中，BD、CE是是ABC的中线，的中线，BD与与CE相交于点相交于点O，点，点F、G分别是分别是BO、CO的中点，连接的中点，连接AO若若AO=6cm，BC=8cm，则四边形，则四边形DEFG的周长是（）的周长是（）A14cmB18cmC24cmD28cm解：解：BD，CE是是ABC的中线，的中线，D、E分别为分别为AC、AB的中点，的中点，DE为为ABC的中
14、位线，的中位线，四边形四边形EFDG的周长为的周长为3+4+3+4=14（cm）故选故选AA【例题【例题16】.如图，如图，ABC的边的边AC、AB上的中线上的中线BD、CE相交于相交于点点O，M、N分别是分别是BO、CO的中点，顺次连接点的中点，顺次连接点D、E、M、N求证：四边形求证：四边形DEMN是平行四边形；是平行四边形；证明：证明：BD、CE为为ABC的的AC、AB上的中线，上的中线，D、E分别为分别为AC、AB的中点，的中点，DE为为ABC的中位线的中位线，M、N分别是分别是BO、CO的中点，的中点，DEMN且且DE=MN，四边形四边形MNEF是平行四边形是平行四边形【例题【例题1
15、7】.如图，如图，BD是是ABC的高，的高，E、F、G分别是分别是BC、AB、AC的中点，求证：的中点，求证：FG=DE证明：证明：G，F分别是分别是AB，AC的中点的中点，GF是是ABC的中位线，的中位线，BD是是ABC的高，的高，BCD是是Rt三角形，三角形，又又E点是点是BC的中点，的中点，FG=DE【例题【例题18】.如图，如图，ABC中，中，ACB=90，点，点E、F分别是分别是AD、AB的中点，的中点，AD=BD证明：证明：CF是是ECB的平分线的平分线证明：证明：点点E、F分别是分别是AD、AB的中点，的中点，1=2，在在ABC中，中，ACB=90中，中，E是是AD的中点，的中点
16、，AD=BD，EF=CE，3=2，1=3，CF是是ECB的平分线的平分线【例题【例题19】.如图，如图，D，E分别为分别为ABC的的AC，BC边的中点，将边的中点，将此三角形沿此三角形沿DE折叠，使点折叠，使点C落在落在AB边上的点边上的点P处若处若CDE=48，则，则APD等于（）等于（）A42B48C52D58解：解：PED是是CED翻折变换来的，翻折变换来的，PEDCED，1=2=48，DE是是ABC的中位线，的中位线，DEAB，APD=1=48，故选故选BB【例题【例题20】.在在ABC中，中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是是BC边上边上的高将的高将ABC按如图所示的方式折叠
17、，使点按如图所示的方式折叠，使点A与点与点D重合，折痕重合，折痕为为EF，则，则DEF的周长为（）的周长为（）A9.5B10.5C11D15.5解：解：EDF是是EAF折叠以后形成的图形，折叠以后形成的图形，EDFEAF，1=2，DEAEAD是是BC边上的高，边上的高，EFCB，1=B，3=2，B=3，BE=DE，又又DEAE，AEBE，同理同理，AFCFEF为为ABC的中位线，的中位线，且且DEF的周长的周长EAF的周长，的周长，即即AE+EF+AF故选故选DD【例题【例题21】.如图，将非等腰如图，将非等腰ABC的纸片沿的纸片沿DE折叠后，使点折叠后，使点A落在落在BC边上的点边上的点F处
18、若点处若点D为为AB边的中点，则下列论：边的中点，则下列论：BDF是等腰三角形；是等腰三角形；DFE=CFE；DE是是ABC的中的中位线，成立的有（）位线，成立的有（）ABCD解：由于解：由于DFE是是ADE对折而成，故对折而成，故DFEADE，AD=FD，又又点点D为为AB边的中点，边的中点，AD=BD，BD=DF，即，即BDF是等腰三角形，故（是等腰三角形，故（1）正确；）正确；由于由于DFE是是ADE对折而成，故对折而成，故DFEDAE，1=2，ADF=22=B+3=23，2=3，DEBC，点，点E也是也是AC的中点，故（的中点，故（3）正确；）正确；同理可得同理可得EFC也为等腰三角形
19、，也为等腰三角形，C=EFC，由于，由于ABC是非等腰的，是非等腰的，CB，也即，也即EFCDFB，EFC与与DFB，DFE不都等于不都等于60，DFE=CFE就不成立就不成立故选故选BB【例题【例题22】.如图所示，已知如图所示，已知ABC的周长为的周长为1，连接，连接ABC三三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，成第三个三角形，依此类推，第依此类推，第2006个三角形的周长为（）个三角形的周长为（）解：解：ABC的周长为的周长为1，新的三角形的三条边为新的三角形的三条边为ABC的三条中位线，的三条中
20、位线，根据中位线定理，根据中位线定理，三条中位线之和为三角形三条边的，三条中位线之和为三角形三条边的，所以第所以第2个三角形周长为；个三角形周长为；第第3个三角形的周长为；个三角形的周长为；以此类推，第以此类推，第N个三角形的周长为；个三角形的周长为；所以第所以第2006个三角形的周长为个三角形的周长为故选择故选择D【例题【例题23】.如图，如图，ABC中，中线中，中线BD，CE相交于相交于OF、G分别为分别为BO，CO的中点的中点（1）求证：四边形）求证：四边形EFGD是平行四边形；是平行四边形；（2）若）若ABC的面积为的面积为12，求四边形，求四边形EFGD的面积的面积（1）证明：）证明
21、：BD，CE是是ABC的中线的中线F，G分别为分别为BO，CO的中点的中点ED，FG分别为分别为ABC，OBC的中位线的中位线EDFG，ED=FG四边形四边形EFGD是平行四边形是平行四边形（2）解：）解：DE，BD分别是分别是ABD，ABC的中线的中线四边形四边形EFGD是平行四边形，是平行四边形，F为为BO的中点的中点OD=OF=BF，OE=OGSGOF=SGDO=SEFO=SEDO=1S平行四边形平行四边形EFGD=4SEFO=4【例题【例题24】.如图，在如图，在ABC中，中，D是是AB上一点，且上一点，且AD=AC，AECD，垂足是，垂足是E，F是是CB的中点求证：的中点求证：BD=
22、2EF解：解：在在ACD中，中，AD=AC 且且AECD，E为为CD的中点，的中点，又又F是是CB的中点，的中点，EF为为BCD的中位线，的中位线，EFBD，BD=2EF【例题【例题25】.如图所示如图所示D，E分别在分别在AB，AC上，上，BD=CE，BE，CD的中点分别是的中点分别是M，N，直线，直线MN分别交分别交AB，AC于于P，Q求证：求证：AP=AQ.MHEC，N，H为为CD，BC的中点，的中点，NHBD，BD=CE，MH=NH1=2；MHEC，NHBD2=4，1=3证明：证明：作作BC的中点的中点H，连接连接MH，NHM，H为为BE，BC的中点，的中点，3=4AP=AQ 此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢