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1、二无界函数的反常积分 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例.曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.设若存在,则称此极限为 f(x)的无穷限反常积分反常积分,记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定义(c 为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散
2、.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分.并非不定型,说明说明:上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散.引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.计算反常积分解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:分析分析:原积分发散!注意注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例例2.证明第一类 p 积分证证:当 p=1 时有 当 p 1 时有 当 p 1 时收敛;p1 时发散.因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为当 p1 时,反常积分发散.机动 目录 上页 下
3、页 返回 结束 例例3.计算反常积分解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线所围成的与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2.设而在点 a 的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f(x)在 a,b 上的反常积分,记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反
4、常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点瑕点(奇点奇点).例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义注意注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则则可相消吗可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 下述解法是否正确:,积分收敛例例4.计算反常积分解解:显然瑕点为 a,所以原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.讨论反常积分的收敛性.解解:所以反常积分发散.例例6.证明反常积分证证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1 时发散.当 q1 时所以当 q 1 时,该广义积分
5、收敛,其值为当 q 1 时,该广义积分发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.解解：求的无穷间断点,故 I 为反常积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2.两个重要的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.(3)有时需考虑主值意义下的反常积分.其定义为P256 题 1(1),(2),(7),(8)机动 目录 上页 下页 返回 结束 常积分收敛.注意注意:主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反思考与练习思考与练习P256 1(4),(5),(6),(9),(10);2;3第五节 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:P256 题2求其最大值.作业作业备用题备用题 试证,并求其值.解解:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束