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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页含参量无界函数的反常积分 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一含参量反常积分一致收敛性设设函数函数定定义义在无界区域在无界区域上上,其其中中是任意区是任意区间间.若若反常反常积积分分 都收都收敛敛，则则上的函数上的函数.称称(1)为为定定义义在在上的含参量上的含参量 x 的无的无穷穷限反常限反常积积分分,或或称称含参量反常含参量反常积积分分.返回返回返回返回
2、后页后页后页后页前页前页前页前页定定义义1 若含参量反常若含参量反常积积分分(1)与函数与函数 I(x)对对 使得当使得当时时,对对一切一切 都有都有 即即则则称含参量反常称含参量反常积积分分(1)在在上一致收上一致收敛敛于于I(x),或或简简 单单地地说说含参量含参量积积分分(1)在在上一致收上一致收敛敛.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注1 由定由定义义,在在 上一致收上一致收敛敛的的 充要条件是充要条件是 注注2 由定由定义义,在在 上不一致收上不一致收敛敛 的充要条件是的充要条件是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 讨论讨论含参量反常含参量反常积
3、积分分 的一致收的一致收敛敛性性.解解 若若则则 于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此,含参量含参量积积分在分在上非一致收上非一致收敛敛.因此因此,该该含参量含参量积积分在分在上一致收上一致收敛敛.而而对对于任何正数于任何正数 ,有有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二含参量反常积分一致收敛性的判别 定理定理19.7(一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则)含参量反常积分含参量反常积分(1)在在上一致收上一致收敛敛的充要条件是的充要条件是:使得当使得当时时,对对一切的一切的都有都有 证证 必要性必要性 若若 在在上一致收上一致收敛敛,则则返回返回返回返回
4、后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则则令令 这这就就证证明了明了在在上一致收上一致收敛敛.例例2 证明含参量反常积分证明含参量反常积分充分性充分性 若若返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在但在但在 内内不一致收敛不一致收敛.证证 作作变变量代量代换换得得其中其中由于由于收收敛敛,故故对对任任给给的正数的正数 总总存在某一存在某一实实数数M,当当时时就有就有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页取取 由由(5)式式所以所以(4)在在 上一致收上一致收敛敛.现证现证明明(4)在在内不一致收内不一致收敛敛.由一致收由一
5、致收敛敛定定义义的注的注2,只要只要证证明明:存在某一正数存在某一正数 使得使得对对任何任何使得使得,总总相相应应地存在某个地存在某个及某个及某个实数实数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由于非正常由于非正常积积分分收收敛敛(在本在本节节例例6 中我中我们们 将将求出求出这这个个积积分的分的值值),故故对对总总 使得使得即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页现现令令由由(5)及不等式及不等式(6)的左端就有的左端就有所以所以(4)在在内不一致收内不一致收敛敛.收收敛敛之之间间的的联联系有下述定理系有下述定理.关于含参量反常关于含参量反常积积分一致收分一致收敛敛性与函
6、数性与函数项级项级数一致数一致定理定理19.8 含参量反常含参量反常积积分分(1)在在上一致收上一致收敛敛的充要的充要 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页条件是条件是:对对任一任一趋趋于于的的递递增数列增数列 证证 必要性必要性 由由(1)在在上一致收上一致收敛敛,故故使得当使得当对对一切一切总总有有函数项级数函数项级数在在上一致收上一致收敛敛,其中其中返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又由又由所以所以对对正数正数M,存在正整数存在正整数N,只要当只要当时时,就有就有由由(8)对对一切一切 就有就有这这就就证证明了明了级级数数(7)在在上一致收上一致收敛敛.充分性充
7、分性 用反用反证证法法.假若假若(1)在在上不一致收上不一致收敛敛,则则 对对使得使得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页现现取取使得使得 一般地一般地,取取则则有有 使得使得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由上述所得到的数列由上述所得到的数列是是递递增数列增数列,且且由由(9)式知存在正数式知存在正数对对任何正整数任何正整数N,只要只要 就有某个就有某个使得使得这这与与级级数数(7)在在上一致收上一致收敛敛的假的假设设矛盾矛盾.故含参量故含参量现在考虑级数现在考虑级数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页反反常常积积分在分在上一致收上一致收敛敛.注注
8、由定理由定理19.8,含参量反常积分可看作连续型的函含参量反常积分可看作连续型的函函数项级数函数项级数.它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿,我们我们下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法.它它用柯西准则证明魏尔斯特拉斯用柯西准则证明魏尔斯特拉斯M判别法和狄利克雷判别法和狄利克雷判别法判别法.阿贝耳判别法的证明留给读者阿贝耳判别法的证明留给读者.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 M 判别法判别法 设有函数设有函数 g(y),使得使得 若若上一致收上一致收敛敛.证证 由于由于
9、因此因此返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页从而从而 上一致收上一致收敛敛.狄利克雷判别法狄利克雷判别法 设设(i)对对一切一切实实数数 含参量正常含参量正常积积分分对对参量参量 x 在在 上一致有界上一致有界,即存在正数即存在正数M,对对一切一切及一切及一切都有都有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(ii)对对每一个每一个函数函数关于关于 y 单调单调且当且当则则含参量反常含参量反常积积分分在在上一致收上一致收敛敛.证证 时时,对对参量参量 x,一致收一致收敛敛于于0,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是,由由积积分第二中分第二中值值定理，定理，
10、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由一致收由一致收敛敛的柯西准的柯西准则则,在在上一致收上一致收敛敛.阿阿贝贝耳判耳判别别法法 设设(i)(ii)对对每一个每一个函数函数为为 y 的的单调单调函数函数,且且对对参量参量 x,在在上一致有界上一致有界,则则含参量反常含参量反常积积分分在在上一致收上一致收敛敛.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 证明含参量反常积分证明含参量反常积分在在上一致收上一致收敛敛.证证 由于对任何实数由于对任何实数 y 有有及反常及反常积积分分收收敛敛,故由魏故由魏尔尔斯特拉斯斯特拉斯M判判 别别法法,含参量反常含参量反常积积分分(10)
11、在在上一致收上一致收敛敛.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在上一致收上一致收敛敛.证证 由于反常由于反常积积分分收收敛敛(当然当然,对对于参量于参量y,它在它在上一致收上一致收敛敛),函数函数对对每一每一例例4 4 证明含参量反常积分证明含参量反常积分个个单调单调,且且对对任何任何都有都有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页故由阿故由阿贝贝耳判耳判别别法即得含参量反常法即得含参量反常积积分分(11)在在上一致收敛上一致收敛.例例5 证证明明:若若上上连续连续,又又在在上收上收敛敛,但在但在 处发处发散散,则则 在在上不一致收上不一致收敛敛.返回返回返回返回后页后页
12、后页后页前页前页前页前页证证 用反用反证证法法.假若假若积积分在分在上一致收上一致收敛敛,则对则对于于任任给给总总存在存在当当时对时对一切一切 恒有恒有因因上上连续连续,所以所以是是的的连续连续函数函数.在上面不等式中令在上面不等式中令 得到当得到当 时时,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页而而是任是任给给的的,因此因此 在在处处收收敛敛,这与这与假假设设矛盾矛盾.所以所以积积分分 在在上上不一致收敛不一致收敛.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、含参量反常积分的性质定理定理19.9(含参量反常积分的连续性含参量反常积分的连续性)设设上上连续连续,若含参量反常若含
13、参量反常积积分分证证 由定理由定理19.8,对对任一任一递递增且增且趋趋于于 的数列的数列 在在 J 上一致收上一致收敛敛,则则 I(x)在在 J 上连续上连续.函数函数项级项级数数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在上一致收上一致收敛敛.又由于又由于 上上连连续续,故每个故每个 上上连续连续.根据函数根据函数项级项级数的数的连续性连续性定理定理,函数函数 I(x)在在 J 上连续上连续.这个定理也证明了在一致收敛的条件下这个定理也证明了在一致收敛的条件下,极限运算极限运算 与积分运算可以交换与积分运算可以交换:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理19.1
14、0(含参量反常积分的可微性含参量反常积分的可微性)设设在区域在区域 上上连续连续.若若 在在 上收上收敛敛,在在上一致收上一致收敛敛,则则I(x)在在 上可微上可微,且且 证证 对对任一任一递递增且增且趋趋于于 的数列的数列令令返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由定理由定理19.3推得推得 由由在在J上一致收上一致收敛敛及定理及定理19.8,可得函数可得函数 项级数项级数在在 J上一致收上一致收敛敛,因此因此根据函数根据函数项级项级数的逐数的逐项项求求导导 定理定理,即得即得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页或写作或写作最后结果表明在定理条件下最后结果表明在定理条件
15、下,求导运算和积分运算求导运算和积分运算 可以交换可以交换.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上上连续连续,若若 在在 上一致收上一致收敛敛,则则I(x)在在 上可上可积积,且且 上可上可积积.又由定理又由定理19.9的证明中可以看到的证明中可以看到,函数项级数函数项级数(13)在在 上一致收上一致收敛敛,且各且各项项 上上连续连续,因此因此证证 由定理由定理19.9知道知道 在在上上连续连续,从而从而I(x)在在 定理定理19.11(含参量反常含参量反常积积分的可分的可积积性性)设设 在在返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这里最后一步是根据定理这里最后一步是根据定
16、理19.6关于积分顺序的可交关于积分顺序的可交 换性换性.(17)式又可写作式又可写作 这就是这就是(16)式式.根据函数项级数逐项求积定理根据函数项级数逐项求积定理,有有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(i)在任何在任何 上一致收上一致收敛敛,关于关于 x 在任何在任何 上一致收上一致收敛敛;(ii)积分积分 中有一个收敛中有一个收敛.则必有则必有定理定理19.12 设设在在上上连续连续,且且 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页也收也收敛敛.证证 不妨不妨设设(18)中第一个中第一个积积分分收敛收敛,由此推得由此推得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页
17、前页根据条件根据条件(i)及定理及定理19.11,有有由条件由条件(ii),对对于任于任给给的的 有有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页把这两个结果应用到把这两个结果应用到(20)式式,得到得到使得当使得当 时有时有选选定定A 后后,由由 的一致收的一致收敛敛性性,存在存在Mc,即即这这就就证证明了明了(19)式式.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 计算计算解解 因因为为所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由于由于及反常及反常积积分分 收收敛敛,根根据据M判定法判定法,含参量反常积分含参量反常积分 在区在区间间 上一致收上一致收敛敛.由于
18、由于 在在 上上连续连续,根据定理根据定理19.11交交换积换积分分(21)的的顺序顺序,积分积分I 的值不变的值不变.于是于是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例7 计计算算解解 在上例中在上例中,令令 b=0,则有则有由阿由阿贝贝耳判耳判别别法可得上述含参量反常法可得上述含参量反常积积分在分在 上上 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一致收一致收敛敛.于是由定理于是由定理19.9,上上连续连续,且且又由又由(22)式式例例8 计算计算 解解 由于由于 对对任一任一实实数数 r成立及反常成立及反常积积返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页分分收收敛敛
19、,所以所以积积分分(23)在在 上上收敛收敛.由于由于成成立及反常立及反常积积分分收收敛敛,根据根据M判判定法定法,含含参量参量反常反常积积分分(24)在在上一致收上一致收敛敛.考察含参量反常积分考察含参量反常积分返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页综合上述结果由定理综合上述结果由定理19.10即得即得于是有于是有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页从而从而 又由又由(23)式式,因此得到因此得到所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、含参量无界函数的反常积分设设上有定上有定义义.若若对对x的某的某些些值值,y=d 为为函数函数的瑕点的瑕点,则则称称
20、为含参量为含参量x的无界函数反常积分的无界函数反常积分,或简称为含参量反或简称为含参量反常常积积分分.若若对对每一个每一个 积积分分(25)都收都收敛敛,则则其其积积上取上取值值的函数的函数.含参量反常含参量反常积积分分(25)积分值是积分值是 在在 上一致收敛的定义是上一致收敛的定义是:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定定义义2 2 对对任任给给正数正数 总总存在某正数存在某正数 使得使得则则称含参量反常称含参量反常积积分分(25)在在 上一致收上一致收敛敛参量无界函数反常积分的一致收敛性判别法参量无界函数反常积分的一致收敛性判别法,并讨并讨读者可以参照无穷限反常积分的办法建立相应的含读者可以参照无穷限反常积分的办法建立相应的含论它们的性质论它们的性质.时时,对对一切一切 都有都有当当