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1、微分方程基本概念微分方程基本概念(2)(2)一、引言一、引言下面的例子说明，下面的例子说明，实际问题中较容易建立起来的实际问题中较容易建立起来的是各个学科是各个学科 进行科学研究的强有力进行科学研究的强有力的工具的工具.例：例：已知曲线上点已知曲线上点 P(x,y)处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为Q且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分,求此曲线所满足的方程。求此曲线所满足的方程。方程往往是它们的导数、自变量或函数之间关系方程往往是它们的导数、自变量或函数之间关系的方程。的方程。微分方程的概念微分方程的概念常微分方程的一般形式是常微分方程的一般形式是:其中其中为为自变量自变量,是
2、未知函数是未知函数,在方程在方程中中,必须出现必须出现,而其余变量而其余变量可以不出现可以不出现,微分方程微分方程中中,其余变量其余变量都没有出现都没有出现.能从方程能从方程中中就得到微分方程就得到微分方程例如在例如在阶阶如果如果解出最解出最高阶导数高阶导数,以后我们讨论的微分方程以后我们讨论的微分方程 主要是形如主要是形如的的微分方微分方微分方程的概念微分方程的概念以后我们讨论的微分方程以后我们讨论的微分方程 主要是形如主要是形如的的微分方微分方微分方程的概念微分方程的概念以后我们讨论的微分方程以后我们讨论的微分方程 主要是形如主要是形如的的微分方微分方程程,并且假设并且假设式右端的函数式右
3、端的函数在所讨论的范围内在所讨论的范围内连续连续.如果方程如果方程可表示为如下形式可表示为如下形式:其中其中和和知知函数函数.不能表示成形如不能表示成形如的的方程方程,统称为统称为非非线性线性微分方程微分方程.均为自变量均为自变量的已的已则称方程则称方程为为 阶线性阶线性微分方程微分方程.n例例1设一物体的温度为设一物体的温度为温度为温度为的环境中冷却的环境中冷却.根据冷却定律根据冷却定律:温度的变化率温度的变化率设物体的温度设物体的温度与时间与时间 的函数关系为的函数关系为则可建立起函数则可建立起函数满足的微分方程满足的微分方程将其放置在空气将其放置在空气物体物体与物体和当时空气温度之差成正
4、比与物体和当时空气温度之差成正比,其中其中为比例常数为比例常数.这就是这就是物体冷却的物体冷却的数数根据题意根据题意,还需满足条件还需满足条件学模型学模型.例例2 设一质量为设一质量为的物体只受重力的作用的物体只受重力的作用始始自由垂直降落自由垂直降落.根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律:等于物体的质量等于物体的质量与物体运动的加速度与物体运动的加速度的乘积的乘积,即即若取物体降落的铅垂线为若取物体降落的铅垂线为轴轴,由静止开由静止开物体所受的力物体所受的力朝下朝下,物物体体下下落落的的起起点点为为原原点点,间是间是则可建立起函数则可建立起函数满足的微分方程满足的微分方程并并设设开开始始下下落落
5、的的时时的函数关系为的函数关系为物体下落的距离物体下落的距离与时间与时间其中其中为重力加速度常数为重力加速度常数.这就是这就是学模型学模型.根据题意根据题意,自由落体运动的数自由落体运动的数还需满足条件还需满足条件其正向其正向例例3 试指出下列方程是什么方程试指出下列方程是什么方程,并指出微分并指出微分方程方程的阶数的阶数.解解(1)是一阶线性微分方程是一阶线性微分方程,因方程中含有的因方程中含有的和和都是一次都是一次.(2)是一阶非线性微分方程是一阶非线性微分方程,因方程中含有的因方程中含有的的平方项的平方项.例例3 试指出下列方程是什么方程试指出下列方程是什么方程,并指出微分并指出微分方程
6、方程的阶数的阶数.解解例例3 试指出下列方程是什么方程试指出下列方程是什么方程,并指出微分并指出微分方程方程的阶数的阶数.解解(3)是二阶非线性微分方程是二阶非线性微分方程,因方程中含有的因方程中含有的的三次方的三次方.(4)是二阶非线性微分方程是二阶非线性微分方程,因方程中含有非线性因方程中含有非线性函数函数和和微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式代入微分方程能使方程成为恒等式 的函数的函数.微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相
7、同.满足满足(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.解的图像解的图像:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图像通解的图像:积分曲线族积分曲线族.微分方程的解的图形是一条微分方程的解的图形是一条曲线曲线,称为微分方程称为微分方程的的积分曲线积分曲线.微分方程解的概念微分方程解的概念例如例如,在例在例1和例和例2中，可以验证函数中，可以验证函数和和都是微分方程都是微分方程的的解解,其中其中为任意为任意常数常数;而函数而函数和和都是微分方程都是微分方程的的解解,其中其中为任意为任意常数常数.上述上述和和分别为分别为其微分方程的特解其微分方程的特解,而而和和分
8、别为分别为其微分方程的通解其微分方程的通解.微分方程解的概念微分方程解的概念一般地一般地,微分方程的不含有任意常数的解微分方程的不含有任意常数的解称为微称为微分方程的分方程的特解特解.含有相互含有相互独立的任意常数独立的任意常数,且任意常且任意常数的个数数的个数 与微分方程的阶数相等的解与微分方程的阶数相等的解 称为微分方程称为微分方程的的通解通解(一般解一般解).所谓通解的所谓通解的意思是指意思是指:当其中的任意当其中的任意常数取遍所有实数时常数取遍所有实数时,就可以得到就可以得到微分方程的所有解微分方程的所有解(至多有个别例外至多有个别例外).).注注:这里所说的相互独立的任意常数这里所说
9、的相互独立的任意常数,是指它们是指它们不能通过合并不能通过合并而使得而使得通解中的任意常数的个数减少通解中的任意常数的个数减少.微分方程解的概念微分方程解的概念许多实际问题许多实际问题都要求寻找满足某些都要求寻找满足某些附加条件的解附加条件的解,此时此时,这类附加条这类附加条件就可以用来件就可以用来确定通解中的确定通解中的任意任意常数常数,这类附加条件这类附加条件 称为称为初始条件初始条件,也称为也称为定解条件定解条件.一般地一般地,一阶微分方程一阶微分方程的初始条的初始条件为件为其中其中都是都是已知常数已知常数.二阶微分方程二阶微分方程的初始条件为的初始条件为过定点的积分曲线过定点的积分曲线
10、;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题求微分方程满足初始条件的特解的问题.带有初始条件的微分方程带有初始条件的微分方程称为微分方程的称为微分方程的初值初值问题问题.微分方程解的概念微分方程解的概念初值问题初值问题的的几何意义是几何意义是:求微分方程求微分方程的通过点的通过点的那条的那条积分曲线积分曲线.二阶微分方程的二阶微分方程的初值问题初值问题,其几何意义是其几何意义是:求微分方程的通过点求微分方程的通过点且在该且在该点处的切线斜率为点处的切线斜率为的那条的那条积分曲线积
11、分曲线.例例4 求曲线族求曲线族满足的微分方程满足的微分方程,其中其中为任意常数为任意常数.解解 求曲线族所满足的方程求曲线族所满足的方程,就是求一微分方程就是求一微分方程,所所给给的的曲曲线线族族正正好好是是该该微微分分方方程程的的积积分分曲曲线线族族.此所求的微分方程的阶数应与此所求的微分方程的阶数应与常数的个数相等常数的个数相等.这里这里,法法来得到所求的微分方程来得到所求的微分方程.已已知知曲曲线线族族中中的的任任意意我们通过消去任意常数的方我们通过消去任意常数的方对对求导求导,得得再从再从解出解出代入上式得代入上式得使使因因在等式在等式两端两端化简即得到所求的微分方程化简即得到所求的
12、微分方程例例5验证函数验证函数是方程是方程的通解的通解,满足初始条件满足初始条件的特解的特解.并求并求解解要验证一个函数是否是方程的通解要验证一个函数是否是方程的通解,函数代入方程函数代入方程,看是否恒等看是否恒等,独立的任意常数独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同的个数是否与方程的阶数相同.只要将只要将再看函数式中所含的再看函数式中所含的将将求一阶导数求一阶导数,得得把把和和代入方程左边得代入方程左边得例例5验证函数验证函数是方程是方程的通解的通解,满足初始条件满足初始条件的特解的特解.并求并求解解把把和和代入方程左边得代入方程左边得例例5验证函数验证函数是方程是方程的通解的通解,满足初
13、始条件满足初始条件的特解的特解.并求并求解解把把和和代入方程左边得代入方程左边得因方程两边恒等因方程两边恒等,且且中含有一个任意常数中含有一个任意常数,故故是题设方程的通解是题设方程的通解.例例5验证函数验证函数是方程是方程的通解的通解,满足初始条件满足初始条件的特解的特解.并求并求解解因方程两边恒等因方程两边恒等,且且中含有一个任意常数中含有一个任意常数,故故是题设方程的通解是题设方程的通解.例例5验证函数验证函数是方程是方程的通解的通解,满足初始条件满足初始条件的特解的特解.并求并求解解 因方程两边恒等因方程两边恒等,且且中含有一个任意常数中含有一个任意常数,故故是题设方程的通解是题设方程的通解.将初始条件将初始条件代入通解代入通解中中,得得从而所求特解为从而所求特解为课堂练习课堂练习