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1、第一节微分方程的基本概念 第十二章第十二章 二二 、基本概念、基本概念 一、问题的提出一、问题的提出 眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观一、问题的提出一、问题的提出例例1.)!3(03的的和和函函数数求求 nnnx,)!3()(03 nnnxxss),( x )!3(! 9! 6! 313963nxxxxn )!13(! 8! 5! 213852nxxxxsn )!23(! 7! 4! 12374nxxxxsn解解 sssxe? s.0)0(, 1)0( ss眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛
2、的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观例例2使试确定连续已知)(.)(, 1)(xxyxxxyxxLd)(d)(sin .与与路路径径无无关关解解PQ依依题题设设，知知xQyP )(1)(sinxxxx 即即得得1)(,sin)(1)( xxxxx?)( x 曲线积分曲线积分眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观次次的的与与纵纵坐坐标标为为底底的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为曲曲边边，以以若若以以连连续续曲曲线线1, 0)0)()( nyxtftfy例例3x)(tfy )(xf解解10)(d)( nxxfk
3、ttf)()()1()(xfxfnkxfn tyo, 1)()()1(1 xfxfnkn?)( xf. 1)1(, 0)0( ff., 1)1(, 0)0(方方程程求求此此曲曲线线幂幂成成正正比比，且且已已知知 ff眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观1.微分方程微分方程:二、基本概念二、基本概念含有未知函数的导数或微分的方程含有未知函数的导数或微分的方程叫叫微分方程微分方程.未知函数是一元函数的未知函数是一元函数的微分方程称为微分方程称为常微分方程；常微分方程；未知函未知函数是多元函数的微分方程称为数是多元函数的微分方
4、程称为偏微偏微分方程分方程. 常微分方程的一般形式：常微分方程的一般形式：)5 .12(0)dd,dd,( nnxyxyyxF眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观如：如：,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy ,yzxxz 实质实质: : 联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数未知函数以及未知函数的某些导数的某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程222yuatu 眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视
5、力测查中情况都不容乐观2. 微分方程的阶微分方程的阶:, 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程),(yxfy 高阶高阶(n2)微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy显式方程显式方程隐式方程隐式方程微分方程中出现的未知函数微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之的最高阶导数的阶数称之.眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观.)5 .12()5 .12(则则，称称它它为为非非线线性性方方程程为为线线性性方方程程；否否一一次次有有理理整整式式，则则称称及及其其各各阶阶导导数
6、数的的为为式式的的左左端端若若yF3. 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程:);()(xQyxPy 如：如：; 02)(2 xyyyx(关于关于 y 线性线性)(非线性非线性), 0d)4(d22 yyxxy,42dd2yxyxy 变形变形(关于关于 y 非线性非线性)yyxyx24dd2 (关于关于x 线性线性)眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观4. 微分方程的解微分方程的解若若阶阶导导数数上上有有在在区区间间设设,)(nIxy )(, 0)(,),(),(,()(IxxxxxFn 为为方方程程则则称称)()(
7、Ixxy 由由方方程程：的的解解若若方方程程)()5 .12(xy 0),( yx所所确确定定，则则称称.)5 .12(0),(式式的的隐隐式式解解为为 yx)5 .12(0)dd,dd,( nnxyxyyxF的解；的解；眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观5. 微分方程的解的分类微分方程的解的分类(1) 通解通解:中中含含的的解解阶阶微微分分方方程程若若),;()5 .12(21ncccxyn n 个个相互独立相互独立的任意常数的任意常数c1,即即,2ncc ),(),(21)1(nncccJ 0)1(2)1(1)1(
8、2121 nnnnnnccccccccc .)5 .12(的通解则称此解为眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观通俗地说，通俗地说， 微分方程的微分方程的通解通解中含有任意常数中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这些常数之间没有任阶数相同，这些常数之间没有任何关系何关系.(2) 特解特解: : 不含有任意常数的解不含有任意常数的解., yy 如如：;xcey 通通解解, 0 yy;cossin21xcxcy 通通解解思考思考 通解是否一定包含了此方程的所有解？通解是否一定包含了
9、此方程的所有解？不一定不一定.眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定用来确定n阶微分方程阶微分方程,dd2yxy 对对于于如如：是是其其通通解解，可可以以验验证证：cxy 1.0 y但但不不包包含含特特解解：)5 .12(0)dd,dd,( nnxyxyyxF特解的条件：特解的条件：.)(,)(,)()1(00)1(0000 nnyxyyxyyxyOxy眼睛是心灵的窗户，是
10、人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00)(),(yxyyxfy一阶一阶:二阶二阶: 0000)(,)(),(yxyyxyyyxfy过定点且在定点过定点且在定点的切线的斜率为的切线的斜率为定值的积分曲线定值的积分曲线.6. 初值问题初值问题: 求微分方程满足初始条件求微分方程满足初始条件的解的问题的解的问题. 0),()(nyyyxFn阶阶：) 6 .12()(,)(,)() 1(00) 1(0000 nnyxyyxyyxy眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学
11、期的视力测查中情况都不容乐观例例8求以双参数函数族求以双参数函数族xxeCeCy421 为通解的微分方程为通解的微分方程(C1, C2为任意常数为任意常数).解解xxeCeCy4214 xxeCeCy42116 212121),(),(CyCyCyCyCCDyyDJ xxxxeeee444 035 xe(1)眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 两个任意常数两个任意常数C1, C2 相互独立相互独立故所求方程必是一个二阶微分方程故所求方程必是一个二阶微分方程xxeCeCy421 xxeCeCy4214 由由解得解得)(3
12、1),4(31421yyeCyyeCxx 代入代入(1)式式, 整理得整理得. 045 yyy眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观的初等解法的初等解法: 初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)在在2 4中中, 将讨论方程将讨论方程),(yxfy 眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵的感觉器官，可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件; 特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线.内容小结内容小结