《3.2 随机向量的数字特征.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.2 随机向量的数字特征.pdf（40页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、3.2 随机向量的随机向量的数字特征数字特征一、二维随机向量函数的数字特征一、二维随机向量函数的数字特征二、数学期望与方差的运算性质二、数学期望与方差的运算性质三、随机变量的协方差与相关系数三、随机变量的协方差与相关系数四、随机向量的四、随机向量的协方差矩阵协方差矩阵与与相关矩阵相关矩阵一、二维随机向量函数的数字特征一、二维随机向量函数的数字特征设设 (X1,X2,Xn)T是是 n 随机向量随机向量, ,且每个分量且每个分量 Xi 的数学期望的数学期望 E(Xi) (i=1,2, ,n) 存在，则称存在，则称(E(X1),E(X2),E(Xn)T是随机向量是随机向量 (X1,X2,Xn)T的的
2、期望向量期望向量或或均值向量均值向量. .定义定义3.2.1（期望向量）（期望向量）特别地，当特别地，当 n = 2 时，随机向量时，随机向量 ( X,Y ) 的期望向量的期望向量为为 ( E(X), E(Y) ) .设设(X,Y)是二维随机向量，如果函数是二维随机向量，如果函数 g(X,Y) 的数学期的数学期望存在，则望存在，则(1) 当当(X,Y)是离散型随机向量时，是离散型随机向量时，定理定理3.2.1(3.2.1(随机向量随机向量函数函数的数学期望的数学期望) )其中其中 pij= P(X = xi, Y = Yj) (i,j=1,2,) 是是 (X,Y) 的的联合分布律联合分布律.
3、.(2) 当当(X,Y)是连续型随机向量时，是连续型随机向量时，,ijijjig xpE g XyY,d dE g X Yx ygfx yx y 其中其中f(x,y)是是(X,Y)的联合密度函数的联合密度函数. .(1) 当当 g(X,Y)=X 时时, ,特例：特例：即分量即分量 X 的数学期望就是利用边缘密度的数学期望就是利用边缘密度 fX(x) 算得算得的数学期望，该结论对的数学期望，该结论对 Y 同样成立同样成立. .(2) 当当 g(X,Y)=X-E(X)2时，时，,d dE g X YE Xxf x yx y dd,f x yxyx dXxxfx22,d dE g X YE XE X
4、xE Xf x yx y 2d,dfxXxEyxy 2dXxE XxfxD X即分量即分量 X 的方差就是利用边缘密度的方差就是利用边缘密度 fX(x) 算得的方算得的方差，该结论对差，该结论对 Y 同样成立同样成立. . 以上结论对离散型随机向量同样成立以上结论对离散型随机向量同样成立. .解：对于解：对于 g(X,Y)=X, , 有有例例1. . 设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为对于对于 g(X,Y)=Y, , 有有对于对于 g(X,Y)=XY, , 有有试求试求 E(X), E(Y) 和和 E(XY). .1,0,0.1f x yyxx 其他,d d
5、E Xg x y fx yx y 10,d dddxxxf x yx yx yx 12022d3xx 10,d ddd0 xxE Yg x y f x yx yy yx 10,d ddd0 xxE XYg x y f x yx yxy yx 二、数学期望与方差的运算性质二、数学期望与方差的运算性质证：不妨假定证：不妨假定(X,Y)是连续型随机向量是连续型随机向量, ,令令g(X,Y)=X+Y. . 则则性质性质(1) 设设(X,Y)为二维随机向量，且为二维随机向量，且 E(X)和和 E(Y)都存在，则有都存在，则有 E XYE XE Y,d dE XYxy f x yx y d,d,ddxf
6、x yxyyxyf xy ddYXxxyyxfyf E XE Y 该性质可表述为“该性质可表述为“和的数学期望等于数学期望和的数学期望等于数学期望的和的和”. . 离散型随机向量也有类似的性质离散型随机向量也有类似的性质. . 推广：设推广：设 X1,X2,Xn的数学期望都存在，的数学期望都存在，a1,a2,an是常数，则有是常数，则有E(a1X1+a2X2+anXn)= = a1E(X1)+ a2E(X2)+ an E(Xn)注：注：证：不妨假定证：不妨假定 (X,Y) 是连续型随机向量是连续型随机向量. .由由 X 和和 Y 的的独独立性立性可知可知 f(x,y)=fX(x)fY(y).
7、令令 g(X,Y)=XY, ,则则性质性质(2) 设设 X 与与 Y 相互相互独立独立，且，且 E(X) 和和 E(Y) 都存都存在，则有在，则有E(XY)=E(X)E(Y),d dE XYxyfx yx y d dYXfxyfyxx y ddXYxfxxyfyy E XE Y 该性质在离散情形也成立该性质在离散情形也成立. . 该性质可表述为“独立随机变量乘积的期望该性质可表述为“独立随机变量乘积的期望等于数学期望的乘积”等于数学期望的乘积”, ,其中其中“独立性”条件“独立性”条件不可忽略不可忽略. . 该性质的逆命题不成立该性质的逆命题不成立. . 推广：设相互独立的随机变量推广：设相互
8、独立的随机变量 X1, X2, , Xn的数学期望都存在，则有的数学期望都存在，则有E(X1X2Xn)= = E(X1) E(X2) E(Xn)注：注：证：证：对任意实数对任意实数 t, , 令令g(t)=E(X + tY )2例例2. 对于两个随机变量对于两个随机变量 X 和和 Y，设，设 E(X2) 和和 E(Y2)都存在，证明都存在，证明E(XY)2 E(X2)E(Y2).据数学期望的性质，有据数学期望的性质，有E(X+tY)2 = E(X2+2tXY+t2Y2)= E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2),因此因此 g(t)= E(Y2)t2+2E(XY)t+E(X2). 由于由于g
9、(t)0，可知关，可知关于于 t 的二次多项式的二次多项式 g(t) 的判别式小于或等于的判别式小于或等于 0，即，即=4E(XY)2-4E(X2)E(Y2) 0.从而从而E(XY)2E(X2)E(Y2).该不等式称为该不等式称为柯西柯西-施瓦茨不等式施瓦茨不等式.解解: :设设* *例例3. . 一民航机场的送客大巴载有一民航机场的送客大巴载有 20 位乘客位乘客, ,自机场自机场开始，沿途有开始，沿途有 10 个车站个车站. .如果到达一个车站没有乘客如果到达一个车站没有乘客下车下车, ,就不停车就不停车. .以以 X 表示停车次数表示停车次数, ,求求 E(X).(.(假设每假设每个乘客
10、在各车站下车是等可能的个乘客在各车站下车是等可能的, ,且各旅客是否下车相且各旅客是否下车相互独立互独立.).)则则 X=X1+X2+X10. . 因此因此, ,为求为求 E(X), ,只需求只需求 E(Xi)(i=1,2,10)即可即可. .由于任一乘客在第由于任一乘客在第 i 个车站不下车的概率为个车站不下车的概率为 0.9, ,有乘客是否下车彼此独立有乘客是否下车彼此独立, ,因此因此, ,20 位乘客在第位乘客在第 i 个车个车站不下车的概率为站不下车的概率为(0.9)20, ,在第在第 i 个车站有人下车的概个车站有人下车的概率为率为1-(0.9)20, ,即即 Xi(i=1,2,1
11、0)的概率分布律为的概率分布律为1,1,2,100,iiXii第 个车站有乘客下车，第 个车站无乘客下车，从而从而E(Xi)=1- (0.9)20i=1,2,10故故E(X) E(X1)+E(X2)+E(X10) 101-(0.9)20 8.784 ( (次次) )即送客汽车平均停车即送客汽车平均停车 8.784 次次. .Xi01p(0.9)201-(0.9)20试求随机变量试求随机变量 Z=XY 的数学期望的数学期望. .例例4. 设设 X 和和 Y 是两个相互是两个相互独立独立的随机变量，其概率的随机变量，其概率密度分别为密度分别为解：由数学期望的性质解：由数学期望的性质(2)，可知，可
12、知 22 ,01,2,0,.0,.yXYxxeyfxfy 其他 其他 E XYEE ZE XY ddXYxfxxyfyy122022ddyxxyey2323 证证: : 由方差的定义可知由方差的定义可知D(XY) = E(XY)-E(XY)2= E(X-E(X)(Y-E(Y)2= EX-E(X)2 + EY-E(Y)2 2E(X-E(X) (Y-E(Y)= D(X)+D(Y) 2E(X-E(X) (Y-E(Y)性质性质(3) 设设 X 与与 Y 是相互是相互独立独立的随机变量，且方的随机变量，且方差都存在，则差都存在，则D(XY)=D(X)+D(Y)因为因为 X 与与 Y 相互相互独立独立，故
13、，故 X-E(X) 与与 Y-E(Y) 相互相互独立独立，由性质，由性质(2)可知可知E(X-E(X) (Y-E(Y)= EX-E(X) EY-E(Y)=0故性质故性质(3)得证得证. . 性质性质(3)的成立需要“独立性”条件的成立需要“独立性”条件. . 性质性质(3)可表述为“可表述为“独立随机变量和或差的方独立随机变量和或差的方差等于方差之和差等于方差之和”. . 推广：设相互独立随机变量推广：设相互独立随机变量 X1, X2, , Xn的的方差都存在，方差都存在，a1, a2, , an是常数，则有是常数，则有注：注：21122122212nnnnD a Xa Xa XD XDXaa
14、aXD三、随机变量的协方差与相关系数三、随机变量的协方差与相关系数设随机变量设随机变量 X 与与 Y 的方差都存在，称的方差都存在，称 X 的离差的离差X-E(X) 与与 Y 的离差的离差 Y-E(Y) 乘积的数学期望为乘积的数学期望为 X与与 Y 的协方差的协方差, , 记为记为cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)特别地，特别地，cov(X,X)=D(X).定义定义3.2.2( (协方差协方差) )因为因为E(X-E(X)(Y-E(Y)=EXY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)= E(XY)-E(Y)E(X)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)= E(XY)-E(Y)E(
15、X)所以所以, cov(X,Y) = E(XY)-E(Y)E(X). 如果如果 cov(X,Y)0, ,则称则称 X 与与 Y 正相关正相关，此时，此时 X 与与Y 大体上保持“同步”：当大体上保持“同步”：当 XE(X) 时，大体上也时，大体上也有有 YE(Y); ;当当 XE(X) 时，大体上也有时，大体上也有 YE(Y). .这这种“同步”关系的强弱由后面的相关系数衡量种“同步”关系的强弱由后面的相关系数衡量. . 如果如果 cov(X,Y)E(X) 时，大体上有时，大体上有YE(Y); ;当当 XE(Y). .这种这种“反向”关系的强弱也由相关系数衡量“反向”关系的强弱也由相关系数衡量
16、. . 如果如果 cov(X,Y)=0, ,则称则称 X 与与 Y 不相关不相关. .注：注：设随机变量设随机变量 X 与与 Y 的协方差为的协方差为 cov(X,Y)，则，则 对称性：对称性：cov(X,Y)=cov(Y,X). 对任意实数对任意实数 a 与与 b，有，有cov(aX,bY)=ab cov(X,Y) 若若 X 与与 Y 相互独立，则相互独立，则cov(X,Y)=0. . 特别地，特别地，对任意常数对任意常数 c, cov(X,c)=0. . 设设 Z 是随机变量，且是随机变量，且 cov(X,Z) 和和 cov(Y,Z)都都存在，则存在，则cov(X+Y,Z)=cov(X,Z
17、)+cov(Y,Z).协方差的运算性质协方差的运算性质设随机变量设随机变量X X与与Y Y的方差都存在，则的方差都存在，则D(XY) = D(X)+D(Y)2cov(X,Y)定理定理3.2.2证证: : 有方差的定义可知有方差的定义可知D(XY) = E(XY)-E(XY)2= E(X-E(X)(Y-E(Y)2= EX-E(X)2 + EY-E(Y)2 2E(X-E(X) (Y-E(Y)= D(X)+D(Y) 2cov(X,Y)解：据题意，可知解：据题意，可知E(X) = 10.25+2(0.5+0.25) = 1.75,E(Y) = -1(0.25+0.5)+10.25 = -0.5,E(X
18、Y) = -10.25+10+(-2)0.5+20.25 = -0.75,所以所以cov(XY) = E(XY)-E(X)E(Y) = 0.125.例例5. 设二维随机向量设二维随机向量 (X,Y) 的联合分布律为的联合分布律为求求 cov(X,Y). .YX-1110.25020.50.25求求 cov(X,Y). .例例6. 设二维连续型随机向量设二维连续型随机向量 (X,Y) 的联合密度函数为的联合密度函数为解：据题意可知，解：据题意可知，由对称性可知由对称性可知1sin,0,0,2220,.xyxyf x y 其他00221,d dsindd2E Xxf x yx yxyxxy 20s
19、incos1d24xxxx .4E Y又因为又因为20222000202011sinddd2211dsincos d(1)si(2)1cos sin dcosn2222yxE XYxyxyyxxy yxxxyxxxyy 22cov,112164X YE XYE X E Y 解：因为解：因为 E(X)=0，E(Y)=D(X)=1，所以，所以例例7. 设设 XN(0,1), Y=X2, 求求 cov(X,Y). . cov,X YE XYE X E Y3E X2321d2xxex0设设 (X,Y) 是二维随机向量，是二维随机向量，且且 D(X)0, D(Y)0, , 则称则称定义定义3.2.3 (
20、 (相关系数相关系数) )为为 X 和和 Y 的的线性相关系数线性相关系数，简称，简称相关系数相关系数. .设设 X 和和 Y 为任意随机变量，且它们的相关系数为任意随机变量，且它们的相关系数XY存在，则存在，则 | XY|1. cov,XYX YD XD Y定理定理3.2.3 证证: :由相关系数的定义可知由相关系数的定义可知, ,只需证明只需证明 cov2(X,Y) D(X)D(Y). 事实事实上由上由柯西柯西- -施瓦茨不等式施瓦茨不等式，可得，可得cov2(X,Y) EX-E(X)Y-E(Y)2 EX-E(X)2EY-E(Y)2 D(X)D(Y)设随机变量设随机变量 X 的方差的方差
21、D(X) 存在且不等于存在且不等于0，Y=aX+b. . 则则 a0 时时 XY=1; a 0 时时 XY=1， a 0，则称，则称 X 与与 Y 正相关正相关. .如果如果 XY = 1，则称则称 X 与与 Y 完全正相关完全正相关. . 如果如果 XY 0,P(X a, Y a2) = P(X a, X2 a2)= P(X a, -a X a)= P(-a X a) P(X a) P(-a X a)= P( X a ) P(Y a2)所以所以 X 与与 Y 并不相互独立并不相互独立. 该定理表明两个随机变量之间的“独立”和“不该定理表明两个随机变量之间的“独立”和“不相关”是两个不同的概念
22、相关”是两个不同的概念. . “不相关不相关”仅说明两个随机变量之间”仅说明两个随机变量之间不存在线性不存在线性关系关系. . “独立独立”说明两个随机变量之间既”说明两个随机变量之间既不存在不存在线性关线性关系，也系，也不存在不存在非线性关系非线性关系. . “独立”必然导致“不相关”，反之则不然“独立”必然导致“不相关”，反之则不然. .注：注：证：证： ( X,Y )的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为例例8. .设设X 的边缘密度函数为的边缘密度函数为Y 的边缘密度函数为的边缘密度函数为221212,.X YN 试证试证 X 与与 Y 相互相互独立独立的的充要条件充要条件是是 X
23、与与 Y 不相关不相关. .221122222211221211,exp22 121,.xxyyf x yxy 212111exp,22Xxfxx 222221exp,22Yyfyy 因此因此而而 221212,E XE YD XD Y cov,X YEXE XYE Y12,d dxyfx yx y 2112221121exp221xxy 2212211expd d2 1yxx y令令由于由于则有则有212211,1yxv11,xu22-2222121cov,1eed d2vuX Yvuuv u 222-12221eded2vuvvuu 22-2221211eded22vuvuu 22-22e
24、de0,vvvvv 2-2ed0,uuu2-21ed1,2vv2-221ed1.2uuu因此可得因此可得由上节可知，若由上节可知，若相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 =0. . 由于由于 XY = ，所以，所以 X与与 Y 相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 X 与与 Y 不相关不相关. .12cov,X Y 所以所以 1212cov,XYX YD XD Y 221212,X YN 则则 X 与与 Y注：注： 该例表明，对该例表明，对二元正态分布二元正态分布随机向量，分量的随机向量，分量的“独立”关系和“不相关”关系等价“独立”关系和“不相关”关系等价. . 判断二元正态向量两个
25、分量独立性的问题简化为判断二元正态向量两个分量独立性的问题简化为判断判断 是否等于是否等于 0 的问题的问题. .解：据题可知，解：据题可知，E(X)=0(0.07+0.18+0.15)+1(0.08+0.32+0.2)=0.6,E(Y)=-1(0.07+0.08)+0(0.18+0.32)+1(0.15+0.2)=0.2,E(XY)= -100.07+000.18+010.15+(-1) 10.08+010.32+110.2=0.12,cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.所以所以 XY = 0.* *例例9. 设随机变量设随机变量 X 与与 Y 的联合分布律为的联合分布律为求
26、求 XY. .YX-10100.070.180.1510.080.320.2例例10. 设随机变量设随机变量 X 与与 Y 的相关系数为的相关系数为 0.9，令，令Z=X-0.4，求，求 Y 与与 Z 的相关系数的相关系数. . 解：解： cov,YZY ZE YZE Y E ZD YD ZD YD Z 0.40.40.4E Y XE Y E XD YD X 0.40.4E YXE YE Y E XE YD YD X E YXE Y E XD YD X0.9XY解：据题可知解：据题可知例例11.设随机变量设随机变量 X 与与 Y 满足满足 D(X)=1, D(Y)=4, cov(X,Y)=1.
27、 记记 U=X-2Y, V=2X-Y. 求求 UV. . 222cov, 2D UD XYD XDYXY 44cov,D XD YX Y13 44cov,D XD YD VX Y4 cov,cov2 ,2cov,2cov,cov2 ,2cov2 ,2cov,4cov,2U VXYXYXXXYYXYYD XX YY XD Y 225cov,D XD YX Y5所以所以 cov,55 13.2613 4UVU VD UD V四、随机向量的协方差矩阵和相关矩阵四、随机向量的协方差矩阵和相关矩阵设设 (X1,X2,Xn) 是是 n 维随机向量，且每个分量维随机向量，且每个分量 Xi (i=1,2,n)
28、 的方差的方差 D(Xi) 都存在，则称矩阵都存在，则称矩阵定义定义3.2.43.2.4（协方差矩阵）（协方差矩阵）为为 n 维随机向量维随机向量 (X1,X2,Xn) 的的协方差矩阵协方差矩阵.注：注： V 是对称矩阵，即是对称矩阵，即 VT=V. . V 是半正定矩阵是半正定矩阵. .111212122212cov,cov,cov,cov,cov,cov,cov,cov,cov,nnnnnnXXXXXXXXXXXXVXXXXXX注：注： ii=1 (i=1,2,n); ij为为 Xi和和 Xj的相关系数的相关系数; RT=R; R 为半正定矩阵为半正定矩阵. .定义定义3.2.5( (相关
29、矩阵相关矩阵) )设设 (X1,X2,Xn) 是是 n 维随机向量，且每个分量维随机向量，且每个分量 Xi (i=1,2,n) 的方差的方差 D(Xi) 都存在，则称矩阵都存在，则称矩阵为为 n 维随机向量维随机向量 (X1,X2,Xn) 的的相关矩阵相关矩阵.111212122212nnnnnnR求其相关矩阵求其相关矩阵. .例例12. .已知随机向量已知随机向量 (X,Y,Z) 的协方差矩阵为的协方差矩阵为解：由题可知解：由题可知 D(X)=2, D(Y)=4, D(Z)=9, cov(X,Y)=-2, cov(X,Z)=3, cov(Y,Z)=5.所以相关矩阵为所以相关矩阵为223245
30、359221222512625126则称则称 (X1,X2,Xn) T 服从服从 n 维正态分布维正态分布, ,其中其中 x=(x1, x2, xn) T 是任意是任意 n 维实数向量，维实数向量，|V|是协方差是协方差矩阵的行列式矩阵的行列式. .定义定义3.2.6 (n 维正态分布维正态分布)设设 n 维随机向量维随机向量 (X1,X2,Xn) T 的期望向量为的期望向量为= (1, 2, n) T, ,协方差矩阵协方差矩阵 V 是正定矩阵，若是正定矩阵，若(X1,X2,Xn) T 的联合密度函数为的联合密度函数为1122211,exp22Tnnnfx xxxVxV作业作业105页页（2）（4）（17）（18）