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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2.3 二 次 函 数 与 一 元 二 次 不 等 式预 备 知 识一 元 二 次 方 程 的 解 法 二 次 函 数 的 图 象 乘 积 的 符 号 法 就 因 式 分 解 重 点 解 一 元 二 次 不 等 式 求 数 集 的 并 集 难 点求 一 元 二 次 不 等 式 的 解 集 学 习 要 求 掌 握 一 元 二 次 不 等 式 的 求 解 方 法 , 能 结 合 二 次 函 数 图 象 求 一 元 二 次 不 等 式 的 解 集名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - -
2、- - 在 前 两 节,出 现 在 不 等 式 中 的 变 量 总 是 一 次 的但 在 客 观 实 际 中 有 很 多 问 题 , 必 须 要 用 到 含 有 变 量 二 次 方 的 不 等 式 这 类 不 等 式 就 是 本 节 要 学 习 的 内 容 一 元 二 次 不 等 式 为 了 表 示 这 种 不 等 式 的 解 集 , 你 仍 将 学 习 集 合 的 并 集 的 概 念 1. 一 元 二 次 不 等 式 1 一 元 二 次 方 程 在 初 中 你 已 经 学 习 过 一 元 二 次 方 程ax2+bx +c=0a 02-3-1它 的 解 集 是 由 满 足 2 -3-1 的 全
3、 部 x 构 成 你 不 要 觉 得 这 种 说 法 很 新 奇 , 本 质 上 就 是 那 么 一 回 事 我 们 已经 知 道 , 满 足 2-3-1 的x 称 为 一 元 二 次 方 程 2-3-1 的 根 , 因 此 2-3-1 的 解 集 是 由 2-3-1 的 根 组 成 , 所 谓 解 方 程 2-3-1 , 实 际 上 就 是 求 它 的 解 集 , 也 就 是 求 出 它 的 全 部 根 2-3-1 有 没有 根 、 有 几 个 根 , 取 决 于 判 别 式 =b 2-4ac 的 符 号 ：0 2-3-1 有 两 个 相 异 实 根,x 1=1 - b+ 2 a, x 2=
4、1 - b -2 a方 程 2-3-1 的 解 集 是 x 1, x 2；=0 2-3-1 有 两 个 相 同 重 根x 1= x 2=b,2 a方 程 2-3-1 的 解 集 是 x 1 ；0 时 开 口 向 上 , a0 时 的 三 种 情 况 的 示 意 图 如 图 2-5 ：-0x 2 x = 0-0x 单 击 此 处 可 以 打 开y y y 课 件（ 此 课 件 由“几x 1 -o bo x 1,x 2 4 ao -b何 画 板 ”制 作 , 请确 认 您 的 系 统 中 已正 确 安 装 了 “几 何画 板 ” ）2ax 4 a-b 2 a2a图 2-5在a0 时 ,2-3-2
5、的 图 象 与 x 轴 的 位 置 关, 图 象 与 x 轴 有个交 点 ；系 是当=b2- 4ac=0 时 ,2-3-2 的 图 象 与 x 轴 的 位 置 关, 图 象 与 x 轴 有个交 点 ；系 是当=b2- 4ac0 时 ,2-3-2 的 图 象 与 x 轴 的 位 置 关, 图 象 与 x 轴 有个交 点 把 二 次 函 数 2-3-2 与 一 元 二 次 方 程 2-3-1 关 联 起 来 看 , 你 可 以 发 现 , 其 实 , 2-3-1 的 根 就 是 使 函 数 2-3-2 等 于 零 的 点 称 为 函 数 的 零 点 , 也 就 是 2-3-2 的 图 象与 x 轴
6、 交 点 的 横 坐 标 , 因 此 2-3-1 的 解名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 集 也 就 是 2-3-2 的 图 象 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 所 构 成 的 数 集 这 样 可 以 从 图 象 中 , 直 观 地 得 到 关 于 一 元 二 次方 程 存 在 根 的 结 论 3 一 元 二 次 不 等 式 一 元 二 次 方 程 反 映 数 量 相 等 关 系 我 们 来 看 一 个 实 例 人 口 控 制 是 我 国 的 一 项 基 本 国 策 , 今 年 我 国 的 人 口 是 A =1
7、3 亿 ； 设 年 出 生 率 是 x , 年 死 亡 率 是 2,就 实 际 增 长 率 为 x -0.002 , 那 么 明 年 我 国 的 人 口 总 数 将 是 B=A 1+x -0.002 =13x +0.998 = 13x +12.974 亿 ,后 年 我 国 的 人 口 总 数 将 是 y=B x+0.998 = 13x+ 12.974 x +0.998 即y=13 x2+25. 948x +12. 948052 亿 2-3-3 计 划 生 育 通 过 控 制 x 来 控 制 人 口 y 的 增长 如 果 要 求 后 年 人 口 是 13. 1 亿 , 那 么 2-3-3 给 出
8、 一 个 等 量 关 系 13. 1=13 x 2+25. 948 x +12. 948052 即 13x2+25. 948 x- 0. 151948 =0,这 表 明 ,为 了 使 后 年 人 口 正 好 是 13.1 亿 ,出 生 率 x 应 该 满 足 一 个 一 元 二 次 方 程 如 果 要 求 后 年 的 总 人 口 不 要 超 过 13.1 亿 ,那 么 从 2-3-3 得 到 的 将是 一 个 不 等 式即13x2+25. 948 x+12. 948052013. 1, 2-3-4 13x2+25. 948 x- 0. 151948我 们 的 任 务 也 就 是 求 出 不 等
9、 式 2-3-4 的 解 集 2-3-4 与 你 以 前 接 触 到 的 不 等 式 相 比 ,式 中 的 变 量 x 虽 然 只 有 一 个 ,但 它 是 二 次 方 我 们 称 它 为 一 元 二 次 不 等 式 一 般 地 ,如 果 不 是 要 求 二 次 函 数 2-3-2 的 函 数 值 等 于 某 个 量,而 是 要 求 它 小 于 或 大 于 , 或 不 小 于 , 或 不名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 大 于 某 个 量 , 就 会 遇 到 一 元 二 次 不 等 式 问 题 . 因 此 一 元
10、二 次 不 等 式 的 一 般 形 式 是ax2+bx +c0,或0, 或0 2-3-5 2. 一 元 二 次 不 等 式的 解 法 下 面 我 们 学 习 如 何 解 一 元 二 次 不 等 式 前 面 已 经 学 习 了 解 一 元 一 次 不 等 式 , 因 此 首 先 考 虑 能 不 能 用 它来 解 一 元 二 次 不 等 式 1 化 为 一 元 一 次 不等 式 组 解 法 这 种 解 法 的 基 础 是 对 一 元 二 次 式 作 因 式 分 解 例 1 求 不 等 式 x2- x - 120 的 解 集 解 对 x 2- x- 12 作 因 式 分 解 , 不 等 式 化 为
11、x +3 x - 4 0 ,根 据 乘 积 的 符 号 法 就 , 这 个 不 等 式 相 当 于 x+30 x +30 x - 44, 解 集 为A = 4,+ ；解 不 等 式 组 2 , 得 x - 3, 解 集 为 B =-,- 3 注 意 , 当 1 成 立 , 即 x A , 原 不 等 式 就 成 立 ；当 2 成 立 , 即 x B , 原 不 等 式 也 成 立 , 因 此 原 不 等 式 的 解 集 应 该 是 A 中 的 元 素 与 B 中 的 元 素 合 并 起 来 所 构 成 的 数 集 C, 我 们 把 数 集 C 称 为 数 集 A 和 数 集 B 的 并 集 ,
12、 记 作 C=A B 2 数 集 的 并 集 用 特 性 描 述 法 表 示 A 和 B 合 并 后 的 数 集 C ,应当 是C= xxA 或 xB 回 忆 两 个 数 集A , B的 交 集D是D =A B = xxA 且 xB ,虽 然 只 有 一 字 之 差 , 但 意 义 和 结 果 大 不 相 同 ！ 我 们 形名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 象 地 用 一 个 圆 圈 表 示 一 个 数 集 我 们 在 第 一 章 就 这 么表 示 过 , 交 集 是 取 它 们 的 公 共 部 分 , 而 并 集
13、 就 是 取AA BBAA BB图 2-6它 们 的 全 部 覆 盖 部 分 见 图2- 6 在 数 轴 上 表 示 , 你也 能 看 出 数 集 的 并 与 交 之 间 的 区 别 图 2- 7 是 例 1 的1,2 的 解 集 的并 和 交 , 显 然 交 集 是 一 个 空 集 ：B -4-3 -2 -101234567A x-5B -4-3 -2 -1A B3456A x7012-5A B =图 2-7一 般 地 , 设A ,B是 两 个 数 集 , 由A , B的 全 部 元 素 组 成 的 数 集 C 称 为 A , B 的 并集 数 集 的 并 也 是 一 种 数 集 间 的 运
14、 算,数 集 A 并 数 集 B 的 结 果 得 到 一 个 新 的 、由 数 集 A ,B 的 全 部 元 素 构 成 的 数 集 C 数 集 的 并 运 算 的 符 号 是 “ ”, 因 此 数 集 A ,B 的 并 集 可 以 记 为 A B用 特 性 描 述 法 表 示 并 集 , 就 是A B = xxA 或 xB 引 用 并 集 的 概 念 , 例 1 的 解 集 C 是 =C=-,- 3 4,+ 4,+ x x-,- 3 或 x把 例 1 改 为 求 不 等 式x 2- x- 12 0 的 解 集 , 你 能 不能 准 确 地 填 好 下 面 的 空 格 ：名师归纳总结 x2-
15、x - 120 相 当 于第 6 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x+301x +302x- 40x - 40,不 等 式 组 1 的 解 集 是 A = ； 不 等 式 组 2 的 解 集 是 B = , 原 不 等 式 的 解 集 是 A B =小 结 一 下 用 化 为 一 元 一 次 不 等 式 组 方 法 解 题 的 步 骤 ：第 一 步 对 二 次 式 分 解 因 式 ；第 二 步 据 乘 积 符 号 法 就 列 出 两 个 一 元 一 次 不 等 式 组 ；第 三 步 分 别 解 两 个 一 元 一 次 不 等 式 组
16、, 得 到 它 们 的 解 集 A , B ；第 四 步 求 出 A , B 的 并 集 , 得 原 不 等 式 的 解 集 课 内 练 习 1 1. 用 化 为 一 元 一 次 不 等 式 组 的 方 法 解 下 列 一 元 二 次不 等 式 ： 1 x2+x - 120； 2 x2- 2x - 303 图 象 求 解 法 化 为 一 元 一 次 不 等 式 组 解 法 的 基 础 是 对 二 次 三 项 式 作 因 式 分 解 但 并 非 所 有 的 二 次 三 项 式 都 能 很 方 便 地 作 因 式 分 解 ,例 如 很 难 对 二 次 三 项 式 2-3-4 作 因 式 分 解 所
17、 以 我 们 仍 必 须 学 习 一 元 二 次 不 等 式 的 更 一 般 的 解 法 , 这 就 是 下 面 要 介 绍 的 图 象 求 解 法 图 象 求 解 法 是 受 启 示 于 二 次 函 数 的 图 象 设 要 求 不 等 式ax2+bx +c0,或0, 或0 2-3-5 的 解 集 , 其中 x 的 二 次 项 系数 下 二 次 函 数a0让 我 们 来 回 忆 一名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - y= ax2+bx +c的 图 象 见 图 2-5, 就 你 立 即 能 发 现 如 下 规 律 记
18、住=b 2-4ac , 并 注 意 y 的 正 负 ： 当 0 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点 方 程ax 2+bx +c=0 有 两 个 相 异 实 根 x 1,x 2x 1x 2 在 两 根之 间 , 即 当 x 1x x 2 时 , 有 y 0, 在 两 根 之 外 , 即 当x x2 时 , 有 y 0； 当 =0 图 象 与 x 轴 相 切 于 一 点 方 程ax 2+bx +c=0 有 两 个 相 同 重 根 x 1=x 2 对 任 何 x x 1 的 实数 , 均 有 y 0； 当 0据 此 ,立 即 就 能 得 到 一 元 二 次 不 等 式 2-3-5 的 解集 ,
19、请 你 填 充 下 一 页 的 表 来 完 成 这 项 任 务 注 意 a0,解 集 用 区 间 形 式 表 示 ：总 结 上 面 的 讨 论 ,得 到 解 一 元 二 次 不 等 式 2-3-5的 步 骤 如 下 ：第 一 步 把 系 数 a 化 为 正 数 ；第 二 步 作 二 次 函 数 的 草 图 , 讨 论 一 元 二 次 方 程ax2+bx +c= 0的 根 ；名师归纳总结 第 三 步据 表 2-1 或 观 察 草 图 得 到 解 集 的 结 论 单 击 此 处 可 以 打 开第 8 页,共 14 页例 2 解 下 列 不 等 式 ： 1 x2- 2x+30 ；y何 画 板 ”制
20、作 , 请确 认 您 的 系 统 中 已正 确 安 装 了 “几 何第 二 步作y =x 2- 2x +3 的 草5画 板 ” ）4图 见 附 图 ,3123x2=b2-4ac =4-120 ax 2+bx+c0表 ax 集 0 解 式 等 不 2+bx+c a0次 ax元 一 2+bx+c0 a 0 二2-1 ax 2+bx+c y=ax 形 图 的 y xx 0 y 1=x x 0 2y 0 表 x x x型 类集 解y= 判 的 0 根 和 式 别 异 相 0,有 x x根 实 21 同 相 =0,有 =x x根 重 21 程 0 ；yx第 二 步作 y =2x2- 2x+4 的59/2
21、草 图 见 附 图 ；4因 为=b2- 4ac=4-320 的 解 集,11；y0 的 解 集o-1-2-3 2 y4 3 -11323xy0 的 解 集,21y0 的 解 集；oy5 4 3名师归纳总结 -11223x第 10 页,共 14 页o1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 0 的 解 集,y0 的 解 集2. 解 下 列 不 等 式 ： 1- x2- 3x - 3 0； 2 x2- 4x +4 0 3 4x2- x- 3 0如 果 你 能 记 住 表 2- 1 的 结 论 , 也 可 以 免 去 第 二 步 作 草 图 的 操 作 , 直
22、 接 得 到 不 等 式 解 集 为 了 记 住 表 2-1 ,你 只 要 记 住 一 个 前 提 a0 和 三 句 话 ：根 上 等 于 零 , 根 间 小 于 零 , 根 外 大 于 零 下 面 例 子 中 我 们 将 不再 作 草 图 , 你 能 接 受 吗 ？ 如 果 你 实 在 觉 得 有 困 难 , 可 以 在 草 稿 纸 上 画 一 个 草 图 , 以 帮 助 你 确 定 图 象 的 大 致 位 置 令 x例 2解 下 列 不 等 式 , 并 用 区 间 表 示 解 集 ： 1- x2+5x 0 ； 2 x2+6x +909解 1 化 x2 项 为 正 系 数 , 得x2- 5x
23、 0 ；2- 5x =0, 解 得 x 1=0, x 2=5；据 “ 根 间 小 于 零 ” 的 结 论 , 即 得 x2- 5x 0 的 解 集 为 0,5 解 2 x2项的 系 数 已 为 正 数 ；令 x2+6x +9=0, 得 解 x 1=x 2=- 3；据 “ 根 上 等 于 零 ,根 外 大 于 零 ”的 结 论 ,即 得 x2+6x +90名师归纳总结 的 解 集 为第 11 页,共 14 页解 3 化x 2项 为 正 系 数 , 得x 2- 2x +3 0；令x2- 2x +3=0 因 为=b2-4ac =4-12=- 80 的 解 集 为 -9,1 31 ,+ 3 现 在 让
24、 我 们 回 过 头 来 看 所 谓 化 为 一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 法 这 种 解 法 的 基 础 , 是 对 一 元 二 次 式 作 因 式 分 解 , 一 旦 因 式 分 解 成 功 , 一 元 二 次 方 程 的 根 也 就 得 到 了 , 以 下 完 全 可 以 按 图 像 法 来 得 到 解 集 , 不 必 化 为 一 元 一 次 不 等 式 组 来 解 了 按 照 这 个 思 路 , 来 重 解 一 下 例 1 求 不等 式 x 2- x- 120 的 解 集 , 你 会 发 现 , 要 比 化 为 一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 法 简 便 得 多 分
25、解 因 式 x2- x - 12= x +3 x -4 得 根 x 1=-3, x 2=4；根 据 “ 根 外 大 于 零 ” 的 结 论 , 即 得 解 集 为 -,- 3 4,+ 这 表 明 , 能 用 化 为 一 元 一 次 不 等 式 组 解 法 的 , 必 定 可 以 用 图 像 法 计 算 因 此 对 一 元 二 次 不 等 式 , 我 们 强 调 图 像 法 最 后 , 让 我 们 来 解 决 本 节 最 初 提 出 的 人 口 控 制 问 题 不 等 式 13x2+25. 948 x- 0. 151948 0 是 为 了 保 证 二 年 后 人 口 不 超 过 13. 1 亿
26、, 出 生 率 x 所 必 须 满 足 的 不 等 式 应 用 图 解 法 , 并 借 助 计 算 器 , 精 确 到 小 数 点 后 4 位 , 你 可 以 得 到 它 的 解 集 是 - 2. 0021 , 0. 0061 即 每 年 出 生 率 不 超 过 千 分 之 六 具 体 解 算 过 程 , 是 课名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 内 练 习 任 务 之 一 课 内 练 习 31. 解 下 列 不 等 式 , 并 用 区 间 表 示 解 集 ： 1 x +1 x - 2 0； 4 x2+2x +1
27、0；5- x2- 4x 52. 借 助 计 算 器 解 不 等 式 13x2+25. 948 x+12. 94805213实 现 人 口 负 增 长 的 出 生 率 课 外 习 题A 组1. 在 数 轴 上 表 示 下 列 数 集 ：1 x x-1 或 x 2 ；2 x 0 x6 ；3 x x5 ；4 x -3x2 2. 用 区 间 法 表 示 下 列 数 集 ：1 x x-3 ；2 x x 3 或 x 4 ；5 x x 0 ；24 x2-8x +160 B 组1. 求 下 列 不 等 式 的 解 集 ：名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 x20；22 x2+3 x-20 ；36+ x-x20 的3 一 个 区 间 ；4 两 个 区 间 的 并 C 组1. 求 下 列 不 等 式 的 解 集 ：名师归纳总结 12x2+3x -12x-1 ； 2 x2+4 x -32 x2+2x -7；第 14 页,共 14 页3 x2+14 x +32+bx +c6x +2 对2. 试 确 定 b,c 应 满 足 的 不 等 式 , 使 -x一 切 xR 都 成 立 - - - - - - -