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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点基本不等式专题辅导一、学问点总结1、基本不等式原始形式（1）如a,bR,就a2b22ab（2）如a,bR*R,就aba22b22、基本不等式一般形式（均值不等式）如a ,b,就a2abb3、基本不等式的两个重要变形（1）如a ,bR*,就a2bab（2）如a,bR*,就aba2b2总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值；=”当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值；特殊说明：以上不等式中,当且仅当ab时取“4、求最值的条件： “ 一正,二定,三相等”5、常用结论（1）如 x 0,就 x 1 2 当且仅当 x 1 时取
2、“=”）x（2）如 x 0,就 x 12 当且仅当 x 1 时取“=” ）x（3）如 ab 0,就 a b2 当且仅当 a b 时取“=” ）b a2 2（4）如 a, b R,就 ab a b 2 a b2 2（5）如 a , b R *,就1 11 ab a2 b a 22 b 2a b特殊说明：以上不等式中,当且仅当 a b 时取“=”6、柯西不等式（1）如a b c dR ,就a22 bc2d2acbd22 b 12b 22b 322 b 1a b 1 1a b 2a b 32a b 2 2a b n n2（2）如a a2,a b b b 31R ,就有：2 a 1a 22a 32（3
3、）设2 a 1a 22 a b 22b n2a b 1 1a a 2,a n与b 1,b 2,bn是两组实数,就有二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设a,b均为正数,证明不等式:ab 121ab2bc2abbccaab2、已知a,b,c为两两不相等的实数,求证：a23、已知abc1,求证：a2b2c21 1 1c8 abc34、已知a b cR ,且abc1,求证： 1已知a b cR ,且abc1,求证：1111118abc6、选 修 45：不等式选 讲设a b c 均为正数 , 且abc1, 证明: abbcca1; 2a22b2c21. 3bca7、选 修 45：不等式选
4、讲：已知ab0,求证 :2a3b3ab2ab题型二：利用不等式求函数值域名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点1、求以下函数的值域（1）y3 x21（2）yx4x （3）yx1 x x0 （4）yx1 x x02x2题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知x2,求函数y2x4244的最小值；x变式 1：已知x2,求函数y2x244的最小值；x变式 2：已知xx2,求函数yy2x44的最大值；2x5 4,求函数练习： 1、已知4x215的最小值；4 x2、已知x5,求函数y4x2415的最大值；4
5、x题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）1、当时,求yx82 x 的最大值；变式 1：当时,求y4 82 x 的最大值；变式 2：设0x3,求函数y4x32x 的最大值；22、如 0x2,求 yx 63 x 的最大值；变式 ：如0x4,求yx 82x的最大值；3、求函数y2x152x1x5的最大值；（提示：平方,利用基本不等式）22变式： 求函数y4x3114x3x11的最大值；44题型五：巧用“1” 的代换求最值问题1、已知a ,b0 ,a2 b1,求 t11 的最小值；ba法一：法二：变式 1：已知a,b0,a2b2,求 t11 的最小值；ba ,b,x,yR且ab1,求xy的最小值；a
6、变式 2：已知x y0,281,求 xy 的最小值；xy变式 3：已知x, y0,且1 x19,求 xy 的最小值；y变式 4：已知x, y0,且1 x94,求 xy 的最小值；y变式 5：（1）如x, y0且2xy1,求1 x1的最小值；（ 2）如yxy名师归纳总结 第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 6：已知正项等比数列a n满意：a7a 6学习必备精品学问点a , ma n,使得a man4a 1,求14的最小值；2a 5,如存在两项mn题型六：分别换元法求最值（明白）1、求函数yx27x10x1 的值域；变式： 求函数
7、yx28 1x1的值域；x1x2、求函数yx2 5的最大值；（提示：换元法）变式： 求函数y4x1 9的最大值；2xx题型七：基本不等式的综合应用1、已知log2alog2b1,求3a9b的最小值2A,如点A在直线2、（2022 天津）已知a,b0,求112ab的最小值；ab变式 1：（2022 四川）假如ab0,求关于a,b的表达式a21a 1b的最小值；aba变式 2：（2022 湖北武汉诊断）已知,当a0 a1时,函数ylogax1 1的图像恒过定点mxyn0上,求4mn 2的最小值；的最大值为 （ 1 ）3、已知x , y0,x2y2xy8,求x2y最小值；变式 1：已知a,b0,满意
8、abab3,求 ab范畴；变式 2：（2022 山东） 已知x, y0,21x21y1,求 xy最大值；（提示：通分或三角换元）3变式 3：（2022 浙江） 已知x, y0,x2y2xy1,求 xy最大值；4、（2022 年山东 （理）设正实数x ,y ,z满意x23 xy4 y2z0, 就当xy 取得最大值时 , z21xyz（提示：代入换元, 利用基本不等式以及函数求最值）变式： 设x ,y ,z是正数,满意x2y3z0,求y2的最小值；xz题型八：利用基本不等式求参数范畴1、（2022 沈阳检测）已知xx , y0,且xny1a9恒成立,求正实数a 的最小值；xy2、已知xyz0且1y
9、1xz恒成立,假如nN,求 n 的最大值；（参考： 4）yz（提示：分别参数,换元法）变式： 已知a ,b0满就142,如abc恒成立,求 c 的取值范畴；ab题型九：利用柯西不等式求最值名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点1、二维柯西不等式a,b,c,dR,当且仅当ab；即adbc 时等号成立如a b c dR ,就a2b2c2d2acbd2cd2、二维形式的柯西不等式的变式 1 a2bb2c2d2acbd,a,b,c,da R , 当且仅当ca R , 当且仅当ca 0 , 当且仅当cb；即 a
10、ddb；即 addb；即 addbc 时等号成立2 a2b 2c2d2acbda,b,c,dbc 时等号成立3acdacbd2,a,b,c,dbc 时等号成立3、二维形式的柯西不等式的向量形式,当且仅当0,或存在实数k,使ak时,等号成立4、三维柯西不等式如a a2,a3,b b b 3R,就有：2 a 1a 22a 321b 1222b 22b 32a b 1 1a b 2n2a b 32a b 2 2a b n n2a i i ,b iR,当且仅当a 1a2a3时等号成立b 1b 2b32a2 a 2 b 1b 22ba b 1 15、一般 n 维柯西不等式设a a2,a n与b 1,b2
11、,b n是两组实数,就有: a 1a i i ,b iR,当且仅当a 1a 2an时等号成立b 1b 2b n题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设x y zR ,如x2y2z24,就x2y2z的最小值为时,x ,y ,z zAns: 12 第 4 页,共 4 页析：x2y2z 2x2y2z21222224936,x2y2z最小值为6此时xyz2 162222,x2,y4,z4122233332、设x y zR , 2xy2z6,求x2y22 z 的最小值 m ,并求此时x y z 之值；Ans：m4 ;x,y,z 4,2,34 3x2y12z2之最小值为,此时 y333、设x y zR ,2x3yz,求（析：2x3yz32x3 y1 z0）4、（2022 年湖南卷（理） ）已知a b c,a2 b3c6,就a24 b22 9 c 的最小值是 5、（2022 年湖北卷（理） ）设x y zR , 且满意 :x2y22 z1,x2y3z14, 求xy的值；22）6、求2sin3cossincoscos的最大值与最小值； （ Ans：最大值为22,最小值为析：构造法：令a 2sin ,3 cos , cos , b 1,sin ,cos 名师归纳总结 - - - - - - -