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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载第三十一讲 回来课本含肯定值的不等式1.肯定值不等式的性质： aR 1|a|0当且仅当 a0 时取“ ”；2|a|a；3 |a|a|a|；2；4|a 2|a| 2a 5|ab|a|b|,|a b|a| |b|. 2两数和差的肯定值的性质：|a|b|a b|a|b|. 特殊留意此式, 它是和差的肯定值与肯定值的和差性质最值时肯定要留意等号成立的条件|ab|a|b|. ab0；|ab|a|b|. ab0；|a|b|ab|. abb0；|a|b|ab|. abb0. 应用此式求某些函数的3解含肯定
2、值不等式的思路： 化去肯定值符号, 转化为不含肯定值的不等式 解 法如下：1|fx|aa0. afxa；2|fx|aa0. fxa 或 fxa；3|fx|gx. gx fxgx；4|fx|gx. fx gx或 fxgx；5|fx|gx|. fx2gx2. 6含有多个肯定值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于形如 |xa|xb| m 或|xa| |xb|mm 为正常数 的不等式,利用实数肯定值的几何意 义求解较简便考点陪练1.设 ab0,下面四个不等式中,正确选项 |ab|a|；|ab|b|； |ab|a|b|. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -
3、- - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A和学习必备欢迎下载B和C和D和解析： ab0,a,b 同号,|ab|a|b|,和正确答案： C 2假如 x 是实数,那么使 |x|2 成立的必要且不充分条件是 A |x1|1 B|x1|2 C|x1|3 D|x1|1解析： |x|2. 2x2. 又|x1|1. 2x0；|x1|2. 3x1；|x1|3. 4x2；|x1|1. 0x2,|x|2. |x1|3.答案： C 3天津八校联考 假如 a、b 是满意 ab 0 的实数,就下面结论肯
4、定不正确选项 A |ab|ab| B |ab|ab| C|ab|a|b| D |ab|0 时,就 A 正确, B 错,C 错, D 正确当 ab0 时,就 A 错,B 正确, C 错, D 错肯定不正确的为 C.答案： C 4不等式 1|x1|3 的解集为 A0,2 B2,02,4 C4,0 D4, 20,2解析： 1|x1|3. 1x13 或 3x1 1 . 0x2 或 4x2.不等式的解集为4,20,2答案： D 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 -
5、 - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载5不等式 |x22x1|2 的解集是 _解析： |x22x1|2.x22x12 或 x22x12,由 x22x12 得x120,故 x 1；由 x22x12 得 x3 或 x1. 综上知,原不等式解集为x|x3 或 x1 或 x1答案： x|x 3 或 x 1 或 x1 类型一肯定值不等式的性质应用 解题预备： |a|b|ab|a| |b|,当 ab0 时,|ab|a|b|,当 ab0 时,|ab|a|b|. 【典例 1】1设 xy|xy| B|xy|x|y| C|xy|xy| D|xy|x|y| |ab|,n|a|b|
6、 |ab|,就 m,n 之间的大小关系是 _2已知 |a| |b|,m|a|b|解析1解法一：特殊值法 取 x1,y 2,就满意 xy 20,这样有 |xy|12|1,|xy|12|3,|x| |y|123,|x|y|12|1,只有选项 C 成立,而 A、B、D 都不成立解法二：由 xy0 得 x,y 异号,易知 |xy|x|y|,选项C 成立, A、B、D 均不成立 2由于 |a|b|ab|,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -
7、 - - - - - - - -所以|a|b|1,即 m1,|ab|学习必备欢迎下载又由于 |ab|a|b|,所以|a|b|1,即 n1,所以 m1n. |ab|点评 肯定值不等式性质的重要作用在于放缩,放缩的思路主要有两种：分子不变,分母变小,就分数值变大；分子变大,分母不变,就分数值也变大留意放 缩后等号是否仍能成立类型二 含肯定值不等式的解法 解题预备： 如不等式中有多个肯定值符号, 一般可用数形结合和区间争论两种方法1数形结合是依据肯定值的几何意义在数轴上直接找出满意不等式的数,写出 解集,或构造函数,画出图象,由图象直接写出未知数的取值范畴,得出解集；2分区间争论是先求出肯定值内因式
8、的根,这些根把实数集分成如干个区间,在每个区间上解不等式,最终求出并集,即为原不等式的解集2解法一： |x1|x3|,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载两边平方得 x12x32,8x8,x1.原不等式的解集为 x|x1 解法二：分段争论当 x1 时,有 x1x3,此时 x.；当 1x3,此时 13 时,有 x1x3 成立,x3. 原不等式解集为.x|13 x|x1 类型三 含肯定
9、值不等式的证明 解题预备： 把含有肯定值的不等式等价转化为不含有肯定值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法等进行证明,其中去掉肯定值符号的常用方法是平方法证法二：当 a b 时,原不等式明显成立,当 a b 时,细心整理归纳 精选学习资料 |1a 21b 2| 1a 2 1b 2 | 第 5 页,共 6 页 1a 22 1b|a 2b 2| ab ab |ab|,|ab|a|b| - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载原不等式成立快速解题技法 求证：|a|b| 1|a|b|ab|fxx11x1 x0,不等式的左端1x1|ab|快解： 由题中两端形式联想到函数f|a|b|,右端 f|ab|fx在1,上单调递增,由 |a|b|ab|0知原不等式成立细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -