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1、定积分的概念与计算1、设、设f(x)是连续函数，且是连续函数，且2、设、设 f(x)是连续是连续 函数，且函数，且则则 f(x)=.x-1(3)可积函数类：可积函数类：3 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义4 4、定积分的性质、定积分的性质5 5、变上限的、变上限的积分积分连续连续记作记作6 6、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式条件：条件：换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式7 7、定积分的计算法、定积分的计算法8.定积分常用公式定积分常用公式9.9.广义积分广义积分（2）无界函数的积分无界函数的积分1.定积分与什么有关与什么无关定积分
2、与什么有关与什么无关?5.积分上限的函数有一个重要性质是什么积分上限的函数有一个重要性质是什么?由此重要性质得出了一个重要结论是什么由此重要性质得出了一个重要结论是什么?微积公基本公式是什么微积公基本公式是什么?4.定积分有哪些重要性质定积分有哪些重要性质?3.定积分的几何意义是什么定积分的几何意义是什么?2.定积分与不定积分有何区别与联系定积分与不定积分有何区别与联系?提提 问问8.广义积分的定义及敛散性广义积分的定义及敛散性?7.定积分有那些常用公式定积分有那些常用公式?6.定积分计算法与不定积分法有何不同定积分计算法与不定积分法有何不同?答答二、典型例题二、典型例题例例1 1一、利用定积
3、分求极限一、利用定积分求极限解解证明证明 利用对数的性质得利用对数的性质得例例2 2例例解解提示：先用夹逼准则提示：先用夹逼准则二、含有变上限积分的有关题目二、含有变上限积分的有关题目7 7设设 f(x)是是a,+)上的连续单调增加函数上的连续单调增加函数,求证：求证：在在a,+)上也是单调增加函数上也是单调增加函数.13 解解解解从而有从而有证明证明解解7 7设设 f(x)是是a,+)上的连续单调增加函数上的连续单调增加函数,求证：求证：在在a,+)上也是单调增加函数上也是单调增加函数.证明证明F(x)在在(a,+)内连续，而在内连续，而在 x=a 处处令令F(a)=f(a),则则F(x)在
4、在a,+)上连续上连续.a x，f(x)单调增加单调增加x-a 0,F(x)0;故故F(x)在在a,+)上单调增加上单调增加.证明证明解解解解证证令令13 解解 构造辅助函数构造辅助函数三、与换元有关的题目三、与换元有关的题目 3.设设f(x)为连续函数，证明为连续函数，证明 证明证明证明证明证明证明证明证明提示提示解解将上式两边对将上式两边对x求导得求导得从而有从而有四、与分部积分有关的题目求解四、与分部积分有关的题目求解（2）5.积分第二中值定理积分第二中值定理解解5.积分第二中值定理积分第二中值定理用分部积分法和积分中值定理用分部积分法和积分中值定理提示提示：五、综合极限，定积分概念，解
5、方程五、综合极限，定积分概念，解方程1设设 f(x)是连续是连续 函数，且函数，且则则 f(x)=.x-1解解设设于是于是两边在两边在0，1上积分上积分1设设 f(x)是连续是连续 函数，且函数，且则则 f(x)=.解解定积分为常数定积分为常数,设设,则则故应用积分法定此常数故应用积分法定此常数.六、积分不等式性质六、积分不等式性质证明证明.证明证明证明证明提示：求被积函数在积分区间上的最大最小值提示：求被积函数在积分区间上的最大最小值证明证明解解 因为因为即即七、积分不等式证明七、积分不等式证明设设上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数，试证试证都有不等式都有不等式明对于任何明对于任何
6、设设f(x)在在a,b上存在连续导数上存在连续导数f(a)=0，求证：求证：证明证明证法证法1证法证法2作辅助函数（构造变上限积分作辅助函数（构造变上限积分）证法证法1 构造变上限积分构造变上限积分证法证法2证法证法3证明证明类似于上一题的方法类似于上一题的方法1构造变上限函数构造变上限函数证法证法1 构造变上限积分构造变上限积分证法证法2 2 对不等式的左边对不等式的左边证法证法2 2 对不等式的右边对不等式的右边设设上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数，试证试证都有不等式都有不等式明对于任何明对于任何利用定积分性质利用定积分性质证法证法1 1(用积分中值定理用积分中值定理)故所给不
7、等式成立故所给不等式成立.设设上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数，试证试证都有不等式都有不等式明对于任何明对于任何证法证法2 2换元法换元法设设上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数，试证试证都有不等式都有不等式明对于任何明对于任何证法证法 即要证即要证令令只须证只须证证法证法4 4 即要证即要证设设上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数，试证试证都有不等式都有不等式明对于任何明对于任何设设f(x)在在a,b上存在连续导数上存在连续导数f(a)=0，求证：求证：证法证法1 1：由拉格朗日中值定理，在：由拉格朗日中值定理，在a,x上上设设f(x)在在a,b上存在连续导数上存在连续导数f(a)=0，求证：求证：证法证法2：八、其它证明题八、其它证明题2.设设 f(x)是周期为是周期为T的连续的连续 函数，证明：函数，证明：-周期函数的一个性质周期函数的一个性质方法方法1 1方法方法1 1方法方法2 22.设设 f(x)是周期为是周期为T的连续的连续 函数，证明：函数，证明：证明证明1 12 23 3课堂练习课堂练习一、计算下列积分一、计算下列积分一、计算下列积分一、计算下列积分1 1解解2 2解解解解解解解解解解是偶函数是偶函数,解解解解结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！103